Educación Cristiana Alternativa

Educación es algo muy diferente de lo que usted piensa …

Niños educados en casa se convierten en aprendedores independientes

Esta es hasta ahora la experiencia más grata en la educación de nuestros hijos: Al entrar a la adolescencia, ellos se volvieron cada día más independientes en su aprendizaje. Raras veces necesitan que papá o mamá les den libros acerca de los temas que estudian, o que les demos tareas específicas a cumplir. Ellos ahora ya saben encontrar las informaciones por sí mismos, y poco a poco están aprendiendo también a trazarse sus propias metas, y a ser responsables en cumplirlas. En breve: Están creciendo en su capacidad de gestionar su aprendizaje ellos mismos.

En el mundo del futuro cercano, esta capacidad de auto-aprendizaje tendrá una importancia creciente. Muchas instituciones de educación superior están actualmente experimentando con diversas formas de aprendizaje virtual por internet. Se ha reconocido que este nuevo modelo podrá facilitar una buena educación superior a muchas personas que hasta ahora no tenían acceso a ella por razones económicas o geográficas, por lo cual no pueden asistir a una universidad. Ahora se está desarrollando la posibilidad de llevar cursos a un nivel universitario por internet, sin tener que asistir físicamente a una universidad. Hay solamente un problema: Para participar exitosamente en un tal curso, uno tiene que estar acostumbrado a aprender de manera activa e independiente. Y esta es una cualidad que no se fomenta en el sistema escolar dominante.

Uno de los pioneros de las nuevas formas de aprendizaje virtual, el matemático Keith Devlin de la universidad de Stanford, escribe al respecto en su blog:

“Parece que muchos perciben la educación como algo que otras personas les hacen a ellos; otras personas que tienen control sobre ellos. Esto es completamente equivocado, y es lo contrario de lo que uno encontrará en una buena universidad. (…) ‘Aprender’ es un verbo activo. El enfoque debe estar en crear un ambiente donde el estudiante puede aprender, quiere aprender, y puede obtener el apoyo que necesita para ello. No existe otro camino; y cualquiera que pretende poder hacer algo más que ayudarte a aprender, está solamente intentando sacar dinero de ti.

Segundo, hay una idea común de que la educación consista más que todo en conseguir buenas notas en los exámenes – generalmente mediante los medios más eficaces (lo que significa obviar el verdadero aprendizaje). (…)

El ingrediente esencial para beneficiarse de la gran oportunidad que ofrecen los cursos por internet, es saber cómo aprender. Esta debería ser la capacidad más importante que los estudiantes adquieren en su educación básica. Desafortunadamente, con el sistema actual que gira alrededor del “ser enseñado” y “ser examinado”, solamente muy pocos estudiantes emergen con esta capacidad tan importante; y los pocos que la adquieren, normalmente dicen que lo lograron a pesar de su educación escolar.”

(Keith Devlin en http://mooctalk.org.)

Las grandes tendencias en la educación – sobre todo en la educación superior – van claramente hacia el aprendizaje autogestionado, activo e independiente. Y la educación en casa brinda las mejores posibilidades para adquirir estas capacidades.

Efectivamente, este año nuestro hijo mayor ha completado exitosamente su primer MOOC (curso abierto masivo por internet) – en inglés. Fue acerca de un tema del cual nosotros como padres sabemos muy poco, así que no pudimos ayudarle mucho. Y nuestro hijo tenía solamente dos años de aprender inglés; pero en esos dos años había aprendido más de lo que los alumnos de secundaria aprenden en cinco años de colegio. Es que él lo hizo por interés propio. Su deseo de aprender inglés despertó cuando él empezó a usar unos programas de computadora cuya documentación existía solamente en inglés. Entonces empezó a aprender para poder comprender los manuales. Cuando empezamos a darle unas clases formales, nos dimos con la sorpresa de que él ya conocía casi todas las palabras; solamente le faltaba aprender la pronunciación y mejorar su gramática.

Ahora, esta capacidad del auto-aprendizaje no cae así no más del cielo. Es el fruto de un método educativo que desde el inicio valora la actividad propia del niño, y sus propios intereses, en vez de imponerle lecciones y contenidos. Un niño que es sometido bajo un currículo rígido y exámenes normados, se vuelve dependiente. Pierde su creatividad y su curiosidad natural; ya no le interesa aprender; solamente le interesa pasar los exámenes. No averigua nada por sí mismo, porque está acostumbrado a absorber pasivamente los trozos de conocimiento que el profesor le pone delante.

No es entonces simplemente la educación “en casa” la que produce aprendedores independientes. Una familia que educa a sus hijos según un currículo inflexible, preprogramado, aunque sea “en casa”, reproducirá en su propio hogar muchos de los problemas del sistema escolar. En cambio, los modelos educativos que nos inspiran (más notablemente la “Fórmula Moore” y la “escuela activa”), permiten al niño avanzar a su propio paso y según sus propios intereses. Esto podría realizarse incluso en una escuela (alternativa), con tal que la escuela encuentre una forma de permitir a cada niño que avance según su propio “currículo individual”.

Por ejemplo, nunca hemos obligado a nuestros hijos a aprender a leer “porque a su edad deberían aprenderlo”. En cambio, hemos observado atentamente su desarrollo; y cuando notamos las señales de que el cerebro de un niño había alcanzado la madurez necesaria para aprender a leer, entonces se lo enseñamos. Cuando se espera pacientemente hasta ese momento – que en algunos niños puede llegar recién a los ocho años o aun más tarde – , entonces los niños aprenden a leer sin dificultad dentro de dos a tres meses.
El resultado fue, en el caso de nuestros hijos, que se alegraron tanto de su nueva capacidad de leer, que enseguida leyeron todos los libros aptos para su edad que pudieron encontrar en nuestra casa, y pidieron más libros. Encontes buscamos y compramos más: Libros de cuentos; una Biblia infantil más amplia de la que ya tenían; libros sobre experimentos, trabajos manuales, plantas, animales, etc. Ya en la edad de primaria, nuestros hijos nos sorprendieron con conocimientos acerca de algunos temas (por ejemplo animales) que nosotros mismos no sabíamos, pero ellos lo habían aprendido de sus libros.
En triste contraste, observamos en los niños escolares que atendemos, que para ellos el leer es un deber impuesto que solamente les causa molestias; y casi nunca sacan un libro de la biblioteca por interés propio.

En la edad de primaria, como padres todavía nos tocó tomar la iniciativa en muchos proyectos educativos. Por ejemplo, animamos a nuestros hijos a observar la luna y las estrellas – lo que los incentivó a leer libros sobre astronomía. O después de un viaje, los animamos a buscar en el mapa los lugares por donde habíamos pasado, y a medir las distancias. Pero ellos pronto comenzaron a encontrar y sugerir sus propios proyectos. Por ejemplo, alrededor de los once años dijeron que querían hacer experimentos químicos. Entonces empezamos a leer sobre el tema, conseguimos unos tubos de ensayo, un mechero, unos guantes y lentes de protección, y unas sustancias químicas. Hicimos experimentos y anotamos nuestras experiencias. En el transcurso de este proyecto (que duró varios meses), nuestros hijos aprendieron la mitad de los conceptos químicos que los alumnos de secundaria aprenden varios años más tarde.
El lector atento se habrá dado cuenta de que nosotros mismos, los padres, también tuvimos que aprender mucho en estos proyectos. Si queremos que nuestros hijos sean aprendedores, nosotros mismos también tenemos que ser aprendedores. Como en todas las áreas de la vida, nuestro propio ejemplo es decisivo.

Entonces, nuestro currículo no está definido por lo que unos funcionarios piensan que se debería aprender a una edad determinada. Es que cada niño es diferente, tiene intereses distintos y un ritmo de desarrollo distinto. Por eso, nuestro currículo está definido por los intereses y el desarrollo individual de cada niño. Esto significa que en algunas áreas de su interés están muy “adelantados” en comparación con el currículo escolar, mientras en otras áreas están “atrasados” – o sea, simplemente no invirtieron mucho tiempo en aprenderlas porque no les interesaba. ¿Es eso una desventaja? No lo creo. No es posible saber “todo”. Cada persona tiene que elegir entre todos los saberes posibles, aquellos que quiere aprender. Si quiere ser ingeniero, ¿para qué pasar tantos años estudiando historia? – Si quiere ser historiador, ¿para qué llenarse de trigonometría o de termodinámica? – Una característica importante del aprendedor independiente es que él sabe decidir cuáles conocimientos necesita adquirir para alcanzar sus metas. Y esta capacidad de decisión no se adquiere cuando todo el tiempo alguien decide por ti lo que debes aprender.

Uno podría objetar aquí que entonces un aprendedor independiente tendrá un conocimiento “incompleto”. Pero lo mismo es cierto para los alumnos del sistema escolar. Pregunte a cualquier alumno promedio acerca de un tema que estudió hace medio año. Si no es un tema que le interesa mucho, recordará poco o nada. Pero a diferencia del aprendedor independiente, perdió mucho más tiempo estudiando esos temas, solamente para volver a olvidarlos después del examen.

La gran ventaja del aprendedor independiente es esta: Cuando tiene necesidad de ciertos conocimientos nuevos, los puede adquirir por sí mismo, con poca ayuda y en poco tiempo. Y esta capacidad tendrá cada vez más importancia en un mundo que avanza y cambia rápidamente.

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Paul Lockhart: Matemática en la escuela

Extractos traducidos de “A Mathematician’s Lament”, por Paul Lockhart.

La manera más segura de destruir el entusiasmo y el interés por un tema, consiste en hacer de ello una asignatura escolar obligatoria. Si además lo incluimos como parte principal de los exámenes de rendimiento estandarizados, la burocracia escolar lo matará por completo. Las autoridades escolares no comprenden lo que es la matemática. Tampoco lo comprenden los expertos en pedagogía, los autores y editores de libros escolares – y tristemente, la mayoría de los profesores de matemática tampoco lo comprenden. El problema es tan enorme que no sé donde empezar a tratarlo.

Empezaremos con el desastre de las reformas escolares. (…) Todas estas disputas acerca del currículo, cuáles “temas” se deberían enseñar en qué orden, si se debe usar esta o aquella forma de notación, o qué modelos de calculadoras se deben usar – esto es como arreglar de otra manera las sillas en la cubierta del “Titánic”. La matemática es la música de la mente. Hacer matemática significa participar en una aventura de descubrimientos y conjeturas, intuición e inspiración; entrar en confusión – no porque no hace sentido, pero porque usted le dio un sentido, y aun así no entiende lo que hace su criatura; tener una idea genial; ser frustrado como artista; ser abrumado por una belleza casi dolorosa; ser vivo. Si usted quita todo esto de la matemática, entonces puede hacer tantas conferencias como quiere, no arreglará nada. Doctores, operen tanto como quieren: vuestro paciente ya está muerto.

Lo más triste en estas “reformas” son los intentos de “hacer que la matemática sea interesante” y “significativa para la vida de los niños”. No hay necesidad de hacer que la matemática sea interesante – ¡ya es más interesante de lo que podemos soportar! Y su gloria consiste en que no tiene ningún significado para nuestra vida. ¡Por eso es divertida!

Estos intentos de hacer que la matemática sea relevante para la vida diaria, siempre salen forzados y artificiales: “Miren, niños, si ustedes saben álgebra, entonces pueden descubrir cuántos años tiene María, si sabemos que tiene dos años más que lo doble de su edad hace siete años.” (Como si alguien alguna vez tuviera acceso a una información tan ridícula, en vez de saber la edad de María.) – El álgebra no trata de la vida diaria; trata de números y de simetrías – y esta es una ocupación valiosa por sí misma.

“Supongamos que conozco la suma y la diferencia de dos números. ¿Cómo puedo descubrir estos números?”

Esta es una pregunta sencilla y elegante, y no hay necesidad de esfuerzos adicionales para hacer que parezca interesante. Los antiguos babilonios se deleitaban en reflexionar sobre problemas como este, y nuestros alumnos también. (¡Y espero que también a usted le guste pensar acerca de ello!) No necesitamos hacer malabares para que la matemática sea “significativa”. Ella ya es tan significativa como cualquier otro arte: como una experiencia humana que tiene sentido.

Nota del traductor: Lockhart tiene mucha razón cuando dice que los problemas en los libros de matemática tienen solamente una apariencia de ser “significativos”. ¿Para qué debo resolver problemas acerca de una granja o una tienda, mientras en realidad estoy sentado delante de una pizarra en un aula escolar estéril? – Pero la cosa se ve diferente si el niño puede realmente vivir en una granja por algún tiempo, o ayudar a vender en una tienda. Será inevitable que su entorno real le planteará unos problemas matemáticos concretos: ¿De qué tamaño tiene que ser un balde, para que sea suficiente para ordeñar dos vacas? – ¿Cuánto de vuelto tengo que dar? – etc.
Yo veo en Lockhart el problema de que él sigue pensando solamente en el entorno estéril de la escuela. Como dice Raymond Moore, este entorno puede proveer solamente una imagen “bidimensional”, “plana”, de la vida verdadera, tridimensional. En cambio, la educación en el hogar provee una gran variedad de oportunidades para realizar actividades de la vida real (como por ejemplo ayudar en una granja o en una tienda). Si se hace un uso adecuado de estas actividades, siempre proveerán oportunidades para entrenar el pensamiento matemático. El entendimiento matemático no debe limitarse a abstracciones. Igualmente importante es la capacidad de “traducir” conceptos matemáticos a las situaciones de la vida práctica, y viceversa.

Sigue un ejemplo auténtico que demuestra como los problemas prácticos y la abstracción matemática se complementan y se enriquecen mutuamente:
Una vecina nuestra había comprado un terreno, pero sospechaba que la habían engañado en cuanto a su área. Por tanto hizo medir los lados y las diagonales (era un cuadrilátero irregular), y después vino a mi hijo mayor con las medidas y le pidió que calculase el área. El se dio cuenta inmediatamente de que una diagonal divide el terreno en dos triángulos, y que los lados de estos triángulos eran conocidos. Pero él no sabía como se podía calcular el área a partir de estos datos. “¡Si tan solamente supiéramos la altura del triángulo!” – “Pero quizás la podemos calcular. Vamos a dibujarla, y vamos a anotar todos los datos que sabemos.”

– Mediante el teorema de Pitágoras y tres ecuaciones, llegamos entonces a una fórmula para calcular la altura, y por tanto el área. Nuestro resultado era así:

y por tanto:

Después buscamos en un libro de fórmulas matemáticas, si podíamos encontrar algo parecido. Quisimos comprobar si habíamos calculado correctamente, y además, simplemente estábamos curiosos por saber qué habían encontrado los matemáticos. Encontramos la fórmula de Herón, que es así:

– donde p significa la mitad del perímetro del triángulo. A primera vista, esta fórmula es mucho más bella y elegante que la nuestra. En particular, es simétrica respecto a los tres lados a, b y c (lo que era de esperar). Pero no se puede ver a primera vista si esta fórmula es realmente equivalente a la nuestra. Por tanto, surgió la pregunta si se puede comprobar que las dos fórmulas son realmente iguales. Ahora, esta es una pregunta abstracta que ya no tiene nada que ver con el problema práctico del terreno. Encontramos que en nuestra fórmula se puede factorizar la expresión debajo de la raíz. (Esto era algo que mi hijo estaba practicando justo en ese tiempo.) Y después de algunas transformaciones llegamos efectivamente a la forma como estaba escrita en el libro.
Así mi hijo llegó a deducir la fórmula de una manera casi independiente, y con relación a un problema práctico. De esta manera, el aprendizaje fue mucho más intensivo que en una clase escolar de matemática. Sin haberlo planeado, habíamos efectivamente “tratado” todos los siguientes temas:
– Geometría elemental del triángulo y del cuadrilátero
– Teorema de Pitágoras
– Resolución de un sistema de ecuaciones con varias incógnitas
– Factorización de una expresión algebraica, inclusive el uso de la fórmula binómica para (a+b)2
– Fórmula de Herón para el área de un triángulo.

Y nuestra vecina estuvo contenta porque ahora conocía el área de su terreno.

Un comentario más: Este problema contiene todavía un asunto adicional para investigar. Los antiguos griegos no conocían el álgebra. Ellos hicieron casi todas sus conclusiones y demostraciones matemáticas de manera gráfica y geométrica. Por tanto, Herón no puede haber encontrado su fórmula de la manera como nosotros lo hicimos. ¿Cómo se puede deducir esta fórmula de una manera puramente geométrica?

¿Piensa usted que los niños realmente desean algo que es relevante para su vida diaria? ¿Piensa usted que ellos se entusiasmarán por algo tan práctico como el interés compuesto? – Mas bien, ellos se deleitan en la imaginación, y esto es exactamente lo que la matemática puede proveer – un descanso de la vida diaria, un antídoto contra el mundo del trabajo.

Nota del traductor: Aquí se nota que Lockhart es un seguidor de G.H.Hardy – un matemático que dijo que la verdadera matemática no tiene ninguna aplicación práctica y no tiene nada que ver con el mundo físico real; y que tan pronto como se le da una aplicación práctica, la matemática deja de ser matemática. Con esto, él evita la pregunta por qué la matemática concuerda tan exactamente con las leyes del universo físico. Esto no se esperaría de una construcción mental completamente “imaginaria”. (Solamente de vez en cuando Lockhart menciona al margen, que a veces los conceptos matemáticos encuentran posteriormente “por casualidad” (¿?) una aplicación práctica.)
Algunos intentan explicar este fenómeno, diciendo que la matemática surgió de la observación del mundo físico, y en respuesta a necesidades prácticas. Pero esta explicación tampoco convence: Muchos conceptos matemáticos fueron inventados mucho antes de descubrir su aplicación al mundo físico y su correspondencia con las leyes de la física. Por ejemplo, los antiguos griegos ya investigaban las propiedades de las secciones cónicas; pero pasaron muchos siglos hasta que Kepler descubrió que unas secciones cónicas describen exactamente las órbitas de los planetas y de otros cuerpos celestiales.
Para mí, la explicación más satisfactoria es la cristiana: El mismo Dios que creó el universo, creó también las estructuras de la mente humana. Por tanto, hay necesariamente una correspondencia entre ambos.
Pero entonces es de esperar que la matemática tenga aplicaciones prácticas. Y también, que el pensamiento matemático puede surgir a menudo de los problemas prácticos de la vida diaria. Esto no hace que la matemática sea menos matemática. Solamente que esto no es su significado más profundo (en esto concuerdo con Lockhart).

Un problema parecido surge cuando los profesores o los libros escolares quieren ser “infantiles”, o intentan ser “amables” para liberar a los niños de su “fobia a la matemática” (una enfermedad que efectivamente es causada por las escuelas). Para ayudar a los alumnos a aprender las fórmulas para el perímetro y el área de un círculo, inventan por ejemplo un cuento acerca de un “señor P” que corre alrededor de la “señorita A” y le dice “cuan bonitos son sus dos pies” (P=2pr) y que “los pies de ella son cuadrados” (A=pr2), u otras tonterías parecidas.
¿Y qué de la historia verdadera? La historia acerca de la lucha de la humanidad con la medición de curvas; de Eudoxo y Arquimedes y su método de agotamiento; de la transcendencia del número Pi? Qué es más interesante: ¿calcular el perímetro de círculos con una fórmula memorizada sin recibir más explicaciones acerca de ella, o escuchar la historia de uno de los problemas más hermosos y más fascinantes en toda la historia universal? ¡Nosotros hoy en día matamos el interés de los hombres por los círculos! ¿Cuál otra asignatura escolar se enseña de esta manera, no mencionando nunca su historia, su filosofía, su desarrollo temático, sus criterios estéticos, y su situación actual? ¿Cuál otra asignatura escolar menosprecia sus fuentes primarias – magníficas obras de arte creados por algunos de los pensadores más creativos de la historia -, y en su lugar usa imitaciones de tercera categoría como se encuentran en los libros escolares?

El problema más grande en la matemática escolar es que ya no existen problemas en ella. – Sí, yo sé que los profesores llaman “problemas” a estos “ejercicios” insípidos: “Este es un ejemplo de un problema. Aquí dice como se resuelve. Sí, esto viene en el examen. Resuelvan los ejercicios 1 a 35 en casa.” – Qué manera más triste de aprender matemática: como un chimpancé domesticado.

Pero un problema verdadero, una honesta pregunta auténtica, natural y humana – eso es otra cosa. ¿Cuánto mide la diagonal de un cubo? ¿Nunca terminan los números primos? ¿Es “infinito” un número? ¿De cuántas maneras puedo cubrir un área simétricamente con baldosas? – La historia de la matemática es la historia de la ocupación humana con preguntas como estas. No con la repetición ciega de fórmulas y algoritmos.

Un buen problema se caracteriza por que no sabes como se puede solucionar. Por eso es una buena oportunidad; puede servir como un trampolín para alcanzar otras preguntas interesantes: Un triángulo ocupa la mitad de una caja. ¿Y qué de una pirámide en una caja tridimensional? ¿Podemos resolver este problema de una manera parecida?

Yo entiendo el concepto de hacer que los alumnos practiquen ciertas técnicas. Yo también hago eso. Pero no como un fin en sí mismo. Como en cada arte, las técnicas deben aprenderse dentro de su contexto: los grandes problemas, su historia, el proceso creativo. Dé a sus alumnos un buen problema, y déjelos luchar con él y frustrarse. Mire qué ideas ellos producen. Espere hasta que ellos clamen desesperadamente por una idea, y entonces deles una técnica. Pero no más de lo necesario.

Deje entonces a un lado sus currículos y lecciones preparadas, sus proyectores multimedia, sus abominaciones de libros escolares a todo color, y todo este circo itinerante de la educación contemporánea. ¡Simplemente haga matemática con sus alumnos! – Los profesores de arte tampoco pierden su tiempo con libros escolares y con un entrenamiento rutinario de técnicas. Ellos permiten a los niños dibujar, van de alumno a alumno, hacen sugerencias y dan consejos:

“He pensado acerca de nuestro problema con el triángulo, y he notado algo. Si el triángulo está muy inclinado, ¡entonces no ocupa la mitad de la caja! Mire, aquí:”

“¡Una observación excelente! Nuestra explicación con la línea adicional presupone que la punta del triángulo está por encima de su base. Ahora necesitamos una nueva idea.”
“¿Debo intentar dibujarlo de otra manera?”
” Ciertamente. Intenta todo lo que puedes. ¡Hazme saber lo que descubres!”

Nota del traductor: Aquí, Lockhart toca un punto importante: La imaginación y curiosidad del niño pueden ser una motivación fuerte para la matemática. Puedo confirmarlo desde mi propia experiencia. Tuve la suerte de ser un “niño precoz” en cuanto a la matemática (y además crecí en un tiempo cuando los niños todavía no tuvieron que entrar a la escuela a una edad tan temprana como hoy). Así tuve la oportunidad de hacer matemática antes de ir a la escuela, libre de todos los currículos y métodos escolares. Todavía recuerdo como a la edad de unos seis años investigué a manera de juego las propiedades de los “números triángulos” (sin todavía encontrar una fórmula algebraica), y como llené un cuadernito con tablas de multiplicación desde 1×1 hasta 20×30 o más, por pura curiosidad de ver qué números saldrían.
Por el otro lado deseo añadir que la mente del niño todavía no piensa en abstracciones. La imaginación infantil se enciende en objetos y sucesos concretos de su entorno, y normalmente se expresa en dibujos y acciones concretas. (Un ejemplo clásico es el juego libre con objetos cualesquieras, donde un bloque de madera puede servir de casa, y una rama de un árbol puede representar un caballito.) Así p.ej. el concepto de los “números triángulos” surgió de figuras formadas con piedritas y otros objetos, y de su representación gráfica en dibujos. Los niños normalmente no pueden comprender algo que no se puede mostrar y “ver” o “hacer” de manera concreta.
Por tanto me parece que Lockhart esta idealizando demasiado cuando compara los descubrimientos matemáticos de los niños directamente con las investigaciones de un matemático adulto. Las estructuras mentales involucradas no son las mismas. – En otro lugar (vea la continuación) Lockhart sugiere que las clases de matemática en los grados inferiores deberían consistir mayormente en juegos (sobre todo juegos que requieren razonar). Opino que esta sugerencia está más cerca de la realidad pedagógica: así el niño puede hacer sus descubrimientos mediante acciones concretas.

(Continuará)

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Paul Lockhart: La matemática como arte, y la miseria de la enseñanza de matemática

Introducción por el traductor:

¿Sintió usted alguna vez la soledad después de haber reflexionado sobre algún asunto de manera independiente, cuando usted al fin descubrió que llegó a conclusiones completamente diferentes de toda la humanidad alrededor? Así me sentí yo después de escribir la primera versión de mi artículo “Aprender matemática – ¿cuestión de burocracia o de principios?”. ¿Será verdad que yo era el único que piensa así, y que el entero sistema escolar está equivocado?
Después descubrí la pequeña obra por Paul Lockhart, “A Mathematician’s Lament” (Lamento de un matemático), y encontré allí el mismo pensamiento fundamental: Lo que en las escuelas se presenta como “matemática”, no es en realidad ninguna matemática en absoluto. Así que no soy el único loco en el mundo entero. ¡Qué alivio! Cuánto más, puesto que Paul Lockhart no es “cualquiera”; él es un matemático profesional. O sea, él sabe de qué está hablando.

En algunos detalles no estoy de acuerdo con él. Es obvio que en su trasfondo el tiene una cosmovisión diferente de la mía. Pero las ideas principales de su “Lamento” me parecen buenas, importantes, enriquecedoras, y desafiantes (en un buen sentido). Además, él presenta no solamente críticas, sino también varias ideas constructivas que se pueden aplicar en una escuela alternativa, o aun mejor en la educación en casa. Por tanto, deseo presentar en este blog unos extractos extensos de esta obra, y añadiré mis propios comentarios en algunas partes. El original es un poco largo para un artículo en el blog (25 páginas A4); por tanto me limitaré a las partes más importantes, y dejaré de lado un capítulo entero (acerca del formalismo en las demostraciones geométricas).


Extractos traducidos de “A Mathematician’s Lament”, por Paul Lockhart:

La pesadilla de un músico

Un músico se despierta de una pesadilla horrible. En su sueño, él se encuentra en una sociedad que hizo de la música una asignatura escolar obligatoria. “Ayudamos a nuestros alumnos a ser más competitivos en un mundo cada vez más lleno de sonidos.” Pedagogos, sistemas escolares, y el estado, se responsabilizan de este proyecto importante. Se encargan investigaciones, se forman comisiones, y se hacen decisiones – todo sin buscar el consejo o la colaboración de un solo músico o compositor activo.

Puesto que los músicos expresan sus ideas en forma de notas musicales, tenemos que considerar estos extraños puntos y líneas como “el lenguaje de la música”. Para que los niños alcancen alguna capacidad musical, necesitan dominar primero este lenguaje. ¿Cómo podríamos esperar que un niño cante una canción o toque un instrumento, sin haber sido educado primero a fondo en la escritura de las notas musicales, y en la teoría de la música? Tocar y escuchar música, son temas muy avanzados que se pueden enseñar solamente en los institutos de educación superior.

La escuela primaria y secundaria, en cambio, son responsables de introducir este lenguaje musical. “En las clases de música usamos nuestro papel de pentagramas y copiamos notas musicales de la pizarra, o las transponemos en una tonalidad diferente. Tenemos que escribir y usar correctamente las claves y los accidentes, y nuestro profesor controla estrictamente que nuestras notas negras estén completamente llenas. Una vez tuvimos un problema difícil acerca de unas escalas cromáticas, y yo lo había resuelto correctamente, pero mi profesor me dio una mala nota porque las plicas señalaban hacia el lado equivocado.”

(…)
En los grados superiores, la presión aumenta más. Para poder entrar a alguna institución de educación superior, los alumnos tienen que dominar la teoría de los ritmos y de las armonías, y el contrapunto. “Es muy exigente; pero cuando por fin llegarán a escuchar música verdadera en su educación superior, valorarán este trabajo de los grados anteriores.” – Por supuesto, serán solamente unos pocos alumnos que se especializarán en música. Por tanto, serán muy pocos que efectivamente llegarán a escuchar los sonidos representados por las notas musicales. “Para decir la verdad, la mayoría de los alumnos no son muy buenos en música. Se aburren en las clases, y sus trabajos escritos apenas se pueden descifrar. Parece que no les interesa la importancia de la música en el mundo actual.” (…)

– El músico se despierta, lleno de sudor. Se siente agradecido al darse cuenta de que todo fue solamente un sueño loco. “¡Claro!”, exclama. “Ninguna sociedad reduciría mi arte hermoso y significativo a algo tan aburrido y trivial. Ninguna cultura puede tratar a sus niños de una manera tan cruel, privándolos de tal manera de una expresión natural y recreativa de la creatividad humana. ¡Cuán absurdo!”

(…)

Sin embargo, nuestra enseñanza actual de matemática es una pesadilla exactamente igual a ésta. Si yo tuviera que inventar una estrategia para destruir la curiosidad de un niño, y su amor por inventar patrones, yo no podría encontrar una solución más eficaz que la escuela actual. Yo ni siquiera podría tener ideas tan absurdas y destructoras del alma, como las que dominan la enseñanza actual de la matemática.
Todo el mundo sabe que algo está mal. Los políticos dicen: “Necesitamos exigencias más altas.” – Las escuelas dicen: “Necesitamos más dinero y materiales.” – Los expertos en pedagogía dicen una cosa, y los profesores dicen otra cosa. Pero todos ellos están equivocados. Los únicos que entienden lo que está mal, son aquellos que siempre son castigados y que nadie pregunta por su opinión: los alumnos. Los alumnos dicen: “Las clases de matemática son tontas y aburridas.” Y tienen razón.


Matemática y cultura

En primer lugar tenemos que entender que la matemática es un arte. La única diferencia entre la matemática y otras artes como la música o la pintura, es que nuestra cultura no la reconoce como arte. Todo el mundo comprende que los poetas, los pintores y los músicos crean obras de arte. Nuestra sociedad incluso es bastante generosa con el término “arte”: Arquitectos, chefs, y aun directores de televisión reciben el título de “artistas”. Entonces, ¿por qué no los matemáticos?

Una parte del problema es, que nadie sabe realmente lo que hacen los matemáticos. Según la opinión general, parece que de alguna manera están asociados a las ciencias – ¿quizás ayudan a los científicos con sus fórmulas, o alimentan computadoras con números grandes para algún propósito? – La mayoría de la gente piensa que los matemáticos pertenecen a los “pensadores racionales”, como opuestos a los “soñadores poéticos”.

Pero en realidad no existe nada más soñador, más poético, más radical, más subversivo y más psicodélico que la matemática. La matemática es igualmente abrumadora como la cosmología o la física. (Los matemáticos inventaron “agujeros negros” mucho antes de que los astrónomos realmente los encontraron.) La matemática permite una mayor libertad de expresión que la poesía o la música (puesto que éstas dependen mucho de las propiedades del universo físico). La matemática es el arte más puro; y a la vez el arte más malentendido.

Deseo entonces explicar lo que es la matemática, y lo que hacen los matemáticos. Una descripción excelente es la de G.H.Hardy:

“Un matemática, igual como un pintor o un poeta, es un creador de patrones. Sus patrones son más duraderos que la poesía o la música, porque consisten en ideas.”

O sea, los matemáticos crean patrones que consisten en ideas. ¿Qué clase de ideas? ¿Ideas acerca de los rinocerontes? – No, éstos los dejamos para los biólogos. – ¿Ideas acerca del lenguaje y la cultura? – No, normalmente no. Estas cosas son demasiado complicadas para el gusto de la mayoría de los matemáticos. Si existe algún principio estético general en la matemática, entonces es este: Lo sencillo es lo bello. Los matemáticos prefieren reflexionar acerca de las cosas más sencillas posibles; y las cosas más sencillas posibles son imaginarias.

Nota del traductor: En el caso de que el lector perdió el gozo de la matemática hace mucho tiempo, debido a las clases escolares aburridas, quizás le será difícil comprender lo que dice Lockhart acerca de la matemática como arte, y como un proceso descubridor y creativo. Pero el problema no es con la matemática; el problema es con la escuela. Recomiendo al lector, seguir detenidamente el siguiente ejemplo y reflexionar sobre él, para comprender de qué se trata en el “proceso matemático”.
– Yo daría aun un paso más y diría: La matemática, si uno la comprende bien, es una forma de adoración. Consiste en “pensar los pensamientos de Dios detrás de El” (como dijo Juan Kepler). Esto es lo que sintieron los grandes científicos del pasado como Newton, Kepler o Maxwell, frente a las leyes matemáticas que rigen el universo. Ellos vieron en la matemática un reflejo de los “decretos de Dios” que gobiernan y mantienen el mundo.

Por ejemplo, si me da ganas de pensar acerca de unas formas geométricas – esto sucede a menudo -, entonces yo podría imaginarme un triángulo en una caja rectangular:

Me pregunto, ¿qué parte de la caja ocupa este triángulo? – ¿Quizás dos tercios?
Ahora es importante entender que no estoy hablando acerca de este dibujo de un triángulo en una caja. Tampoco estoy hablando de un triángulo de metal que es parte de la estructura de un puente. No tengo ningún propósito práctico. Simplemente estoy jugando. Esto es matemática: Tener curiosidad, jugar, dialogar con mis propias imaginaciones.
La pregunta, ¿cuál parte de la caja ocupa el triángulo?, por ahora ni siquiera tiene sentido, en relación con verdaderos objetos físicos. Aun el triángulo material hecho de la manera más precisa, es todavía una colección desesperadamente complicada de átomos oscilantes, que constantemente cambian su forma. Excepto si queremos hablar solamente acerca de unas medidas aproximadas. Pero esto nos lleva a toda clase de detalles del mundo real. Eso lo dejamos para los científicos. La pregunta matemática trata de un triángulo imaginario en una caja imaginaria. Sus lados son perfectos, porque yo quiero que sean así. Este es un tema importante en la matemática: Las cosas son tales como usted las quiere. Usted puede escoger entre alternativas interminables; el mundo real no va a interferir con nada.

Pero una vez que usted ha hecho sus decisiones (por ejemplo, si su triángulo será simétrico o no), entonces sus creaciones harán lo que tienen que hacer por sí mismas, lo quiera usted o no. Esto es lo sorprendente de los patrones imaginarios: ¡ellos le dan respuestas! El triángulo ocupa una parte determinada de la caja, y yo no puedo decidir cuánto es esta parte. Es un número exactamente determinado, y yo tengo que decubrir cuánto es.

O sea, comenzamos a jugar y a imaginarnos lo que queremos, y formamos patrones y hacemos preguntas acerca de ellos. Pero ¿cómo encontramos las respuestas a las preguntas? Esto no es como en las ciencias. No puedo hacer ningún experimento con tubos de ensayo o con máquinas, para descubrir la verdad acerca de una figura que yo mismo he imaginado. Las preguntas acerca de nuestras imaginaciones pueden responderse solamente mediante nuestras imaginaciones, y esto es un trabajo duro.

En el ejemplo del triángulo, yo veo algo sencillo y bonito:

Si yo corto el rectángulo de esta manera en dos rectángulos, entonces puedo ver que cada parte a su vez es partida diagonalmente en dos mitades por uno de los lados del triángulo. O sea, dentro del triángulo existe la misma cantidad de espacio como afuera del triángulo. Esto significa que ¡el triángulo ocupa exactamente la mitad de la caja!

Así se ve y se siente un pedazo de matemática. El arte del matemático consiste en hacer preguntas sencillas y elegantes acerca de nuestras criaturas imaginarias, y en encontrar explicaciones satisfactorias y hermosas. Este ámbito de las puras ideas es fascinante, divertido, ¡y no cuesta nada!

¿De dónde vino esta idea mía? ¿Cómo se me ocurrió dibujar esta línea adicional? ¿Cómo sabe un pintor adonde debe apuntar con su pincel? – Inspiración, experiencia, intentos y errores, o simplemente la suerte. Esto es todo el arte; un arte que transforma cosas en otras cosas. La relación entre el rectángulo y el triángulo era un secreto, y entonces una pequeña línea lo reveló. Primero no pude verlo, y de repente lo vi. De alguna manera pude crear desde la nada una belleza profunda y sencilla, y yo mismo fui cambiado en el proceso. ¿No es esta la esencia de todo arte?

Por eso se me quebranta el corazón cuando veo como se trata la matemática en las escuelas. Esta aventura rica y fascinante de la imaginación se reduce a una colección de “datos” estériles para memorizar; y procedimientos que se deben aplicar. Los alumnos nunca reciben la oportunidad de hacer esta pregunta sencilla y natural acerca de las figuras; y tampoco se les permite pasar por este proceso creativo y enriquecedor de inventar y descubrir. En lugar de ello, son confrontados con lo siguiente:


Fórmula del área del triángulo: A = 1/2 b h

“El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base con su altura.” – Los alumnos tienen que memorizar esta fórmula y después “aplicarla” en incontables ejercicios. Toda expectativa y todo gozo se esfuma, y también desaparece el esfuerzo y la frustración del proceso creativo. Aquí ni siquiera existe un problema. La pregunta fue respondida apenas que fue hecha – al alumno ya no le queda nada por hacer.

Deseo clarificar qué es lo que estoy criticando. No estoy en contra de las fórmulas, ni en contra del aprender hechos interesantes. Todo eso está bien en su contexto apropiado, y tiene su lugar, igual como el aprender palabras es necesario para aprender un idioma extranjero. Estos conocimientos ayudan a crear obras de arte más ricas y más detalladas. Pero lo esencial no es el hecho de que el triángulo ocupa la mitad de la caja. Lo esencial es la hermosa idea de dividirlo por medio de esta línea. Esto puede inspirar otras ideas hermosas, y puede llevar a descubrimientos creativos en otros problemas. Una mera exposición del hecho no puede proveer esta inspiración.

Si dejamos de un lado el proceso creativo, y dejamos solamente su resultado, entonces nadie se sentirá involucrado en ello. Es como si alguien me dice que Miguel Angel creó una escultura hermosa, pero no me permite ver la escultura. ¿Cómo me podría inspirar eso? (En realidad, es aun peor. Si alguien habla de Miguel Angel, por lo menos entiendo que existe el arte de la escultura, y que no se me permite admirarla.)

La matemática escolar se fija solamente en el “¿Qué?”, y pasa por alto el “¿Por qué?”. Así se reduce la matemática a una cáscara vacía. El arte no está en la “verdad”; el arte está en la explicación de la verdad, en la argumentación. (…) La matemática es el arte de explicar. La escuela quita a los alumnos la oportunidad de participar en este arte: de plantear sus propios problemas, de hacer sus propias hipótesis y descubrimientos, de equivocarse, de experimentar una frustración creativa, de tener una inspiración, y de armar sus propias explicaciones y demostraciones. Por eso, la escuela les quita la misma matemática.

Entonces, no me quejo de que las clases de matemática contengan hechos y fórmulas. Me quejo de que la misma matemática está ausente en nuestras clases de matemática.

(…)

Muchos profesores de matemática transmiten la idea (explícitamente o con su ejemplo) de que la matemática trata de memorizar fórmulas y definiciones y algoritmos. ¿Quién corregirá esta idea equivocada?
Este problema cultural es un monstruo que sigue procreándose: Los alumnos aprenden de sus profesores lo que (supuestamente) es la matemática, y éstos a su vez lo aprendieron de sus profesores, y así se repite en cada generación esta falta de comprensión y valoración de la matemática. Aun peor: Esta “seudo-matemática”, este énfasis en la manipulación correcta (pero sin sentido) de símbolos, crea su propia cultura y sus propios valores (equivocados). Aquellos que la dominan, se vuelven presumidos. No quieren saber nada de que la matemática es creatividad y estética. A muchos alumnos, sus profesores les dijeron durante diez años que eran “buenos en matemática”; pero cuando llegaron a la universidad, se decepcionaron al descubrir que no tenían ningún talento matemático. Solamente habían sido “buenos” en seguir las órdenes de otras personas. Pero la matemática no trata de seguir las órdenes de otra gente. Se trata de descubrir direcciones nuevas.

(…)

Nota del traductor: Lockhart menciona aquí un problema importante; uno que he examinado desde una perspectiva un poco diferente en “Aprender matemática – ¿cuestión de burocracia o de principios?”: El sistema escolar entrena a los alumnos a funcionar mecánicamente como calculadoras; pero no se les enseña verdaderos principios matemáticos. Entonces el alumno piensa que la matemática consiste en seguir ciegamente las órdenes del profesor – órdenes que a menudo son incomprensibles o no tienen sentido. Se enseña solamente el “¿Qué?”, pero no el “¿Por qué?”. Nunca se dice al alumno que las leyes matemáticas son un “bien común”, que están en el “dominio público”, y que él mismo puede descubrirlas.
La continuación profundizará el tema de la matemática en las escuelas.

(Continuará)

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