Educación Cristiana Alternativa

Educación es algo muy diferente de lo que usted piensa …

Más juegos que ayudan a desarrollar el pensamiento matemático

Suma, resta y multiplicación

Se juega con un solo dado que se tira cuatro veces seguidas. El puntaje del primer tiro simplemente se anota. De los tres tiros siguientes, uno tiene que sumarse, uno tiene restarse y uno tiene que multiplicarse. El jugador tiene que decidirse inmediatamente después de tirar, cuál operación desea aplicar a este tiro, antes de realizar el tiro siguiente. El jugador con el mayor puntaje gana. Se pueden jugar varios turnos y sumar los puntajes.
Un ejemplo: El primer tiro fue 4, se anota. El siguiente tiro fue 2, el jugador decide restar: 4 – 2 = 2. Después tiró 5 y decidió multiplicar: 2 x 5 = 10. El último tiro fue 3, ahora necesariamente tiene que sumar porque ya usó las otras operaciones: 10 + 3 = 13. Entonces el puntaje final del jugador en este turno es 13.
Obviamente, el puntaje final depende no solamente del azar; es también necesario decidir de manera óptima acerca del orden de las operaciones. Por ejemplo, en el ejemplo anterior, el puntaje hubiera resultado mayor si el jugador hubiera primero sumado y después multiplicado: 4 + 2 = 6, 6 x 5 = 30, 30 – 3 = 27. Pero con otros puntajes, otro orden de las operaciones puede ser más ventajoso.

Acércate a 1000

Un juego con tres dados para varios jugadores. Se juega por turnos: el jugador tira los tres dados juntos, los coloca en el orden que desea (sin alterar los puntajes), y forma de los puntajes un número de tres dígitos (interpretando cada dado como un dígito). Este número se anota con el nombre del jugador; después juega el siguiente. Esto se repite hasta que cada jugador haya jugado tres turnos (o sea, tenga tres números anotados, de tres dígitos cada uno). Estos tres números se suman. Gana el jugador cuya suma es más cerca de 1000 (sin importar si la suma es por encima o por debajo de 1000).
Ejemplo: Un jugador tira primero 2, 4, 5, decide anotar 425. Después tira 1, 3, 3, decide anotar 331. Por fin tira 2, 5, 6 y anota 256. Su suma es 425 + 331 + 256 = 1012; o sea, se alejó de la meta por 12 puntos. (Si en el segundo tiro hubiera anotado 313 y en el último 265, su resultado hubiera sido mejor, porque 425 + 313 + 265 = 1003, lo que es más cerca de 1000 que 1012.)
El desafío consiste en hacer la mejor decisión en cuanto al orden de los tres dados. Por ejemplo, si los dados muestran 3, 6 y 1, se puede formar el número 136, 163, 316, 361, 613 ó 631. Es obvio que en el tercer turno, el jugador puede calcular cuál de las seis posibilidades hará que su suma final sea más cerca de 1000. Pero ¿existe también una estrategia para hacer decisiones “óptimas” en el primer y segundo turno? (Por ejemplo, si en el primer turno anoté 652, no sería aconsejable en el segundo turno colocar otra vez un 6 adelante, porque así la suma final será mucho más grande que 1000.)

24 con cuatro dados

Otro juego matemático con dados: Un jugador tira cuatro dados simultáneamente, visibles para todos. Entonces cada jugador intenta formar con los cuatro puntajes una operación matemática que dé como resultado 24. Se debe usar cada dado exactamente una vez; y se pueden usar las cuatro operaciones básicas y paréntesis. El jugador que primero encuentra una solución, recibe un punto.
Ejemplo: Los dados muestran 1, 3, 4, 4. Una solución sería (4+4) x 3 x 1 = 24.
– Obviamente, algunas combinaciones no tienen solución (por ejemplo 1, 1, 1, 1). En este caso, nadie recibe un punto. Se puede acordar un límite de tiempo, p.ej. dos minutos, y si después de este tiempo nadie tiene una solución, no hay punto y el siguiente jugador tira los dados.

Variación: Se admiten operaciones adicionales, p.ej. potencias, y formar números de varios dígitos. Así aumentan las posibilidades de encontrar una solución. Por ejemplo, con 1, 1, 2, 5 se podría formar 52 – (1 ÷ 1) = 24, ó 25 – (1 ÷ 1) = 24; y con 1, 4, 4, 6 se podría formar 144 ÷ 6 = 24. (Aunque en este caso existe también la solución “regular” 4 x (6+1) – 4 = 24.)

Yatzy

Se juega con cinco dados. Primero se prepara la lista de entradas:

A B C
1
2
3
4
5
6
Subtotal
Bono (25 p.)
Un par
Dos pares
3 iguales
4 iguales
“Full” o Casa llena (2 y 3)
Escalera pequeña (12345)
Escalera grande (23456)
Oportunidad
Yatzy (5 iguales) 50 p.
Total

En lugar de A, B, C (etc.) se ponen los nombres de los jugadores. Por turno, cada jugador tira los dados de la siguiente manera: Primero tira los cinco dados juntos. Después puede elegir cuáles dados quiere dejar como están, y cuáles desea tirar otra vez. (Puede también elegir tirar todos los dados otra vez, o ninguno de ellos.) Del nuevo resultado, puede una vez más volver a tirar los dados que desea. Después tiene que anotar el resultado en la columna debajo de su nombre, en una fila de su elección que todavía esté libre. Las entradas tienen el siguiente significado:

1 a 6: Se anotan solamente los puntos de los dados que corresponden al número respectivo. Ejemplo: He tirado 2, 4, 4, 5, 4 y decido anotarlo en la fila “4”. Entonces anoto 12 puntos, porque 4+4+4 = 12; el 2 y el 5 no puedo anotar aquí.

Subtotal (se llena al final del juego): El total de las entradas “1” a “6”.

Bono (se llena al final del juego): Se pueden anotar 25 puntos si el subtotal es de 64 puntos o más. En caso contrario se anotan cero puntos en “Bono”.

Un par: Dos dados deben mostrar el mismo número; se anota el total de estos dados. Ejemplo: He tirado 1, 2, 3, 3, 5, entonces se anotan 3 + 3 = 6 puntos.

Dos pares: Es necesario tener 2 pares de números iguales, p.ej. 3, 3, 5, 5, 2. Entonces anoto 3+3+5+5 = 16 puntos (el 2 no cuenta).

3 (4) iguales: Es necesario que 3 (4) dados muestren el mismo número, entonces se anota el total de estos 3 (4) dados.

Casa llena (“Full”): Es necesario tener 3 números iguales, y los 2 restantes también deben ser iguales; p.ej. 2, 2, 2, 6, 6. (Se anota la suma de todos los dados.)

Escalera pequeña / grande: Los dados tienen que mostrar los números 1, 2, 3, 4, 5 (escalera pequeña) resp. 2, 3, 4, 5, 6 (escalera grande). Se anotan todos los puntos (da siempre 15 para la escalera pequeña y 20 para la escalera grande).

Oportunidad: Se anota la suma de todos los dados, sin restricciones adicionales. P.ej. 3, 5, 2, 6, 1, se anota 17.

Yatzy (5 iguales): Los 5 dados deben mostrar el mismo número. “Yatzy” vale siempre 50 puntos, sin importar el puntaje de los dados.

Total (se llena al final del juego): La suma de “Subtotal”, “Bono”, y todas las entradas debajo de “Bono”.

En cada turno, el jugador tiene que llenar una entrada que todavía está libre. O sea, después de exactamente 15 turnos debe tener todas sus entradas llenas. Esto significa que hacia el fin del juego se verá obligado a llenar algunas entradas sin poder cumplir la condición necesaria; y en este caso tiene que escribir cero puntos en la fila respectiva. Por ejemplo, puede suceder que un jugador tenga solamente las filas “4 iguales”, “Calle grande” y “Yatzy” libres, y no logra alcanzar ninguno de éstos. Entonces tiene que escribir cero puntos en una de estas filas.

El jugador con el mayor total de puntos gana.

En el transcurso de este juego es necesario hacer diversas decisiones estratégicas. Por ejemplo, si tiro tres veces el 5, ¿es mejor anotarlo en la fila “5” o en “3 iguales”? – Si en el primer intento tiro 1, 2, 4, 4, 6, ¿es mejor volver a tirar los dados 1, 2, 6 para intentar lograr tres o cuatro veces el 4; o es mejor volver a tirar los dados 1, 4 para intentar lograr la Calle grande? – Si he tirado unos números “inútiles” y ya he llenado “Oportunidad”, ¿en cuál fila conviene escribir cero puntos? – Etc.
Algunas de estas preguntas se pueden responder con un poco de reflexión; otras requieren un análisis combinatorio bastante complicado. Una investigación matemática completa de este juego para encontrar la mejor estrategia, sería un desafío incluso para estudiantes universitarios.

Kalaha

Este es un juego tradicional africano para dos jugadores. Los niños africanos lo juegan en el suelo arcilloso con frejoles y otras semillas, o con piedritas. Se forman huecos en la tierra según el siguiente diseño:

kalaha400

(En vez de jugarlo en la tierra, se puede fabricar este juego de madera o de arcilla.) Los huecos pequeños se llaman “casas”, los dos huecos grandes se llaman “almacenes”. A un jugador pertenece la fila superior de casas y el almacén a la izquierda; al otro jugador pertenece la fila inferior de casas y el almacén a la derecha. Se comienza con un mismo número de semillas en cada casa (por ejemplo 3, 4, 5 ó 6 semillas en cada casa), y los almacenes vacíos. Una jugada consiste en sacar todas las semillas de una casa y “sembrarlas” en las casas adyacentes, una por una, hasta acabarlas. Se siembra según las siguientes reglas:

– Cada jugador siembra en dirección hacia su almacén, o sea (considerando el tablero como un círculo) en el sentido contrario a las agujas del reloj, una semilla en cada casa y también en su almacén.

– Si el jugador al sembrar alcanzó su almacén y todavía sobran semillas, entonces sigue sembrando en las casas del otro jugador (siempre en el sentido contrario a las agujas del reloj), y si al terminarla todavía sobran semillas, salta otra vez a su propia fila (pasando por alto el almacén del oponente) y sigue sembrando así, hasta acabar todas las semillas que sacó de la casa.

– Si la última semilla sembrada cae en el almacén, el jugador puede jugar otra vez. Esto se puede repetir varias veces, hasta que la última semilla sembrada ya no caiga en el almacén.

kalaha1-300

kalaha2-300

– Si la última semilla sembrada cae en una casa vacía del propio jugador, entonces puede vaciar la casa adyacente del oponente y echar todo el contenido a su almacén, junto con la última semilla sembrada.

kalaha3-300

kalaha4-300

kalaha5-300

– El juego termina cuando uno de los jugadores tiene todas sus casas vacías. Entonces, el otro jugador vacía todas sus casas a su almacén. Ganador es el que tiene más semillas en su almacén.

Master Mind (Código secreto)

Este juego para dos jugadores fue inventado recién en la segunda mitad del siglo XX (a base de un juego tradicional más antiguo), y se hizo muy popular. El tablero consiste en una caja delgada de plástico (pero se puede fabricar también de una tabla de madera) con agujeros según el siguiente diseño:

Mastermind-Init-224

En los agujeros se colocan clavijas de diferentes colores. (Se pueden fabricar de fósforos, pintándolos con los colores necesarios). Existen clavijas de evaluación (blancas y negras), y clavijas de código (en seis colores diferentes). – El tablero tiene además cuatro agujeros escondidos en su borde trasero para el código secreto.

Mastermind-foto

Una edición comercial de “Mastermind”. A la derecha el código secreto que es invisible para el jugador del otro lado.

Y así se juega:
El jugador A inventa un código secreto, y el jugador B intenta adivinarlo. El jugador A establece su código, colocando cuatro clavijas de colores (sin usar las blancas ni las negras) en los agujeros escondidos, sin que el jugador B las pueda ver. Entonces B intenta adivinar el código, colocando cuatro clavijas de colores en los agujeros de la fila 1, de la forma como él piensa que podría ser el código. Obviamente, este primer intento será completamente al azar, puesto que el jugador no sabe nada acerca del código verdadero. Pero A “evalúa” cada intento de B, de manera que en el transcurso del juego se van acumulando pautas acerca del código verdadero.
Después de cada intento de B, A coloca unas clavijas blancas y/o negras en los agujeros en cuadrado de la fila correspondiente, según las siguientes reglas:
– Por cada color que se encuentra en la posición correcta (o sea, en la misma posición como en el código verdadero), se coloca una clavija negra.
– Por cada color que se encuentra en el código verdadero, pero en una posición distinta, se coloca una clavija blanca.
Entonces, B sabe el número de “aciertos” que tuvo, pero no sabe a cuáles de sus clavijas se refieren las clavijas blancas y negras. A base de esta información, hace un segundo intento en la fila 2, el cual es nuevamente evaluado por A. Y así sucesivamente, hasta que B adivina el código correcto (entonces A coloca cuatro clavijas negras como evaluación, porque todos los colores son correctos), o hasta que llegue a la fila 6 sin poder adivinar el código.

Antes de poder jugar este juego, es necesario practicar varias veces la manera de “evaluar”. Si A se equivoca en una evaluación, entonces B ya no tiene la posibilidad de adivinar el código correcto, y el juego tiene que anularse. Por tanto, es importante que ambos jugadores estén bien seguros en la forma de evaluar, antes de jugar “en serio”.

La siguiente ilustración muestra un juego de “Master Mind” como ejemplo. La fila superior muestra el código correcto (el cual es invisible para B.) Los comentarios abajo explican la forma como el jugador A debe evaluar las jugadas de B; y además aclaran el razonamiento de B para llegar a la solución correcta en la fila 6:

Mastermind-ejemplo-224

1) B colocó dos clavijas amarillas y dos celestes. Como evaluación, jugador A coloca una clavija negra por el color amarillo en la posición correcta (segunda desde la izquierda). La primera clavija amarilla colocada por B no recibe ninguna clavija de evaluación, porque este color existe una sola vez en el código original.
2) Una clavija blanca para el color amarillo en posición equivocada, y otra clavija blanca para el color rojo en posición equivocada. El color anaranjado no existe en el código original.
3) B supuso (correctamente) que la clavija negra de la fila 1 corresponde al color amarillo, y por tanto el código original debe contener amarillo en la segunda posición. (Si el color amarillo estuviera en la primera posición, hubiera recibido una clavija negra en la fila 2. Si estuviera en la tercera o cuarta posición, hubiera recibido una clavija blanca en la fila 1.) – Además, B pensó que la otra clavija blanca de la fila 2 podría referirse al color anaranjado; por tanto coloca ahora este color en posiciones distintas.
En este nuevo intento, el color amarillo es el único que figura en el código original, y está en la posición correcta: A coloca una clavija negra.
4) B sabe ahora (asumiendo que amarillo es correcto) que anaranjado y marrón no figuran en el código, y (según la fila 1) celeste tampoco. Por tanto intenta armar el código con los colores restantes. (Un desafío de razonamiento: Conociendo solamente la evaluación de los primeros tres intentos, todavía existe la posibilidad de que el código no contenga amarillo, sino que la clavija negra de la fila 1 se refiera al color celeste. ¿Cómo podría verse el código correcto en este caso?)
Evaluación: Tres clavijas negras para amarillo, rojo y verde en las posiciones correctas. Verde en la primera posición no recibe ninguna clavija de evaluación.
5) B cometió un error de razonamiento. Debería saber que la cuarta posición no puede contener rojo; de otro modo hubiera recibido una clavija negra en la fila 2. Pero concluyó correctamente que el color rojo, no el verde, debe aparecer duplicado. (El amarillo no puede estar duplicado, porque en este caso A hubiera colocado dos clavijas en la fila 1.)
Verde está en la posición equivocada (clavija blanca); amarillo está en la posición correcta (clavija negra). Rojo en la tercera posición también está correcto (otra clavija negra). Rojo en la cuarta posición recibe una clavija blanca, porque el código contiene una segunda clavija roja, pero en una posición distinta.
6) B sabe ahora que todos sus colores son correctos; solamente que la posición de dos de ellos todavía está equivocada. Con eso (y tomando en cuenta las filas anteriores) tiene suficiente información para deducir el código correcto en su último intento.

Desde un punto de vista matemático, este juego es “difícil”, en el sentido de que no se puede dar ninguna estrategia generalizada que sea “óptima” en cada caso. Pero si el jugador B razona de manera consistente, y elimina todas las combinaciones imposibles, siempre será capaz de adivinar el código con 6 intentos o menos. Existe una estrategia computarizada que puede descubrir el código en un máximo de 5 intentos.

 


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Matemática en la vida diaria: Juegos que ayudan a desarrollar el pensamiento matemático

En el artículo anterior hemos visto que muchos juegos de mesa son una forma de practicar la matemática pura. No es necesario que contengan números para que sea matemática. Un movimiento de ajedrez puede describirse como operación matemática, igual como una suma o una división. Existen matemáticos profesionales que pasan mucho tiempo analizando juegos.

Entre los juegos de tablero más conocidos figuran el ajedrez, el juego de damas, y las damas chinas. A casi todos los niños les gusta jugar estos juegos, y así entrenan su pensamiento lógico y estratégico. No lo considero necesario describir estos juegos aquí, porque se pueden conseguir fácilmente en cualquier tienda de juegos, y sus reglas se pueden averiguar en internet.
A continuación mencionaré algunos otros juegos idóneos para entrenar el pensamiento matemático:

Michi

Este juego muy conocido se juega entre dos jugadores, en un cuadrado de 3 por 3 cuadraditos dibujado en papel. Por turnos, cada jugador marca uno de los cuadraditos con su símbolo respectivo ( O resp. X ). Gana el primero en tener tres de sus símbolos en una línea recta (horizontal, vertical o diagonal).
Los niños más pequeños simplemente jugarán pensando en su turno actual. Niños más grandes podrán anticipar mentalmente una o más jugadas y así desarrollar una “estrategia ganadora” más eficaz.

Variación: “Michi cilíndrico”: Los jugadores se imaginan que el cuadrado fuera enrollado en forma de un cilindro, de manera que saliéndose por el borde derecho uno vuelve a entrar al cuadrado desde la izquierda. Esto significa que las siguientes configuraciones también constituyen “líneas rectas” y por tanto gana el jugador que alcanza una de ellas:

michi-cilindrico

Variación: “Michi al revés”: El que tenga tres de sus símbolos en una línea recta, pierde.

Marcar casitas

Se juega entre dos jugadores en papel cuadriculado. Primero se marca una “cancha de juego”, por ejemplo un rectángulo. La meta del juego es “conquistar” dentro de la cancha la mayor cantidad posible de cuadraditos, encerrándolos con rayas por sus cuatro lados. Los jugadores trazan por turno cada uno un lado de uno de los cuadraditos dentro de la cancha. Si un jugador logra encerrar un cuadradito completamente (trazando su último lado), puede marcarlo con su símbolo (O resp. X) y trazar una raya adicional. Si con esta raya adicional él completa otro cuadradito, puede marcarlo también y seguir jugando, etc. hasta que ya no puede completar ningún cuadrado. Los bordes de la cancha valen como rayas ya trazadas. Se juega hasta que todos los cuadrados de la cancha son marcados. Entonces es ganador el que marcó el mayor número de cuadrados.

Un ejemplo de una jugada:

marcarCasitas1

Comenzando con la situación a la izquierda, el jugador del turno pudo sucesivamente marcar los dos cuadraditos mostrados, y después trazó una línea más (última imagen). Su adversario podrá entonces marcar para sí el cuadradito abajo en el medio. (Normalmente, la cancha se hará más grande que esta.)
– Aunque se dé la situación de que un jugador puede con una sola línea marcar dos cuadraditos a la vez, puede después trazar una sola línea adicional, no dos.

Nim

Se juega entre dos jugadores con objetos pequeños como palitos de fósforos o piedritas. Los palitos se colocan en tres, cuatro o más filas. No hay regla acerca del arreglo inicial, los jugadores están libres para comenzar con cualquier arreglo que deseen. Por ejemplo, se puede comenzar con una fila de 3, una fila de 4 y una fila de 5 palitos. Otra posición inicial común es con cuatro filas que contienen 1, 3, 5 y 7 palitos respectivamente.
Entonces, por turnos, cada jugador quita unos palitos de una fila. Puede quitar tantos palitos como desea, con tal que todos se encuentren en la misma fila. El que puede quitar el último palito, gana.

Este es un juego muy antiguo, y uno de los primeros que fue analizado a fondo por matemáticos profesionales. Se encontró que existe una estrategia generalizada que permite ganar siempre al jugador afortunado que la puede aplicar primero. Pero no la explicaré aquí, para que el juego siga siendo interesante …

Solitario

Este juego se juega a solas. También es conocido con el nombre “senku”. El tablero tiene 33 agujeros en la siguiente forma:

solitaire267

En cada agujero se coloca un palito de fósforo, excepto en el agujero del medio que queda vacío.

Una jugada válida consiste en saltar con un palito sobre un palito vecino y colocarlo inmediatamente detrás del palito vecino en un agujero vacío, y enseguida se quita el palito vecino:

solitaire-salto267

O sea, un palito puede saltar solamente si a su lado se encuentra otro palito (el cual será quitado), y si detrás de ese otro palito hay un agujero vacío. Se puede saltar solamente en dirección horizontal o vertical, pero no diagonal. Ningún otro tipo de jugadas es permitido. Cuando ya no se puede hacer ninguna jugada válida, el juego termina. La meta consiste en saltar y quitar palitos tantas veces como sea posible, o sea hasta que quede un número mínimo de palitos. La solución perfecta (que es difícil de lograr) consiste en dejar un solo palito.

Variaciones: Se puede comenzar con posiciones iniciales distintas, usando menos que 32 palitos. Es una tarea de investigación interesante (pero exigente), descubrir con cuáles posiciones iniciales es posible que al final del juego sobre un solo palito. – Existe también una variación donde el tablero tiene una estructura hexagonal, de manera que se puede saltar en 6 direcciones.

Golf matemático

Este es un juego puramente matemático que se puede jugar sin ningún material, y existen muchas variaciones del mismo. Básicamente se trata de llegar desde un número inicial (normalmente el cero) exactamente hasta un número determinado, aplicando solamente ciertas operaciones prescritas.

La variación más sencilla para niños permite solamente sumar al número actual uno de dos números prescritos; y se puede jugar con regletas Cuisenaire y una cinta métrica pegada en la mesa (o una recta numérica dibujada en una tira larga de papel, con unidades de 1 cm). Por ejemplo, se permite solamente sumar 3 ó 5. Entonces, se juega únicamente con las regletas de las longitudes 3 y 5. Si el “número destino” es 19, entonces gana el jugador que primero alcanza exactamente 19, según las siguientes reglas:

– Jugando por turnos, cada jugador construye por su lado de la cinta métrica una fila ininterrumpida de regletas, comenzando desde el cero.

– Se pueden usar solamente regletas de las longitudes permitidas (3 ó 5, en nuestro ejemplo).

– En cada turno, se puede:
a) aumentar una regleta al final de la fila; o
b) remplazar una regleta de la fila por una regleta de la “otra” longitud (o sea, corregir un error cometido).

– No es permitido colocar una regleta solamente para “probar”. Si un jugador coloca una regleta y entonces no está conforme con su jugada, tiene que esperar el siguiente turno para corregirla.

– Si un jugador sobrepasa el destino (por ejemplo, llega con su fila al 20 en vez del 19), pierde.

– Si el jugador que comenzó el juego llega al destino, y el otro jugador puede enseguida también llegar al destino, ambos ganan.

GolfMatematico

Jugando así, se puede dar el problema de que el segundo jugador “copia” las jugadas del primer jugador, en vez de pensar por sí mismo. Esto se podría evitar haciendo que ambos jueguen simultáneamente (por ejemplo contando “uno, dos, tres” para cada turno), sin poder ver cuál regleta está escogiendo el otro jugador.
– Otra forma de evitar el problema consiste en no dar las mismas regletas a los dos jugadores; pero en este caso tendríamos que asegurar que ambos jugadores puedan llegar al destino con el mismo número de turnos. Por ejemplo, con las regletas de 3 y 5, el número 19 se puede alcanzar con un mínimo de 5 turnos, porque 5+5+3+3+3=19. Usando regletas de 3 y 4, también se puede llegar en 5 turnos, porque 4+4+4+4+3=19. Por tanto, con el 19 como destino, se podría dar a un jugador regletas de 3 y 5, y al otro jugador regletas de 3 y 4; entonces ambos tienen las mismas oportunidades, pero no pueden “copiar” el uno del otro. Esto requiere unos cálculos por parte de un adulto que define con anticipación el “número destino” y las regletas permitidas.

Este juego puede dar lugar a unas investigaciones interesantes. Por ejemplo, ¿se puede calcular de antemano la “solución más corta”? ¿Cómo se puede hacer eso? – ¿Qué pasa si jugamos con regletas de 4 y de 6, y queremos alcanzar el número 21? ¿Por qué sucede eso? – ¿Es posible alcanzar todos los destinos con palitos de 3 y 4? ¿con palitos de 4 y 5? ¿con palitos de 3 y 7? Etc…

Más difícil se vuelve el juego cuando se permiten tres (o más) números diferentes para sumar, pero que son relativamente grandes en comparación con el número destino. Por ejemplo, ¿cómo se puede alcanzar 38 en un mínimo de jugadas con regletas de 7, 9 y 10? ¿o cómo se puede llegar a 100 con los sumandos 13, 19 y 23? – ¿Cuáles son los destinos que no se pueden alcanzar con 7, 9 y 10? – Investigaciones como estas son un entrenamiento excelente en pensamiento matemático; pero la mayoría de los niños tendrán que alcanzar los doce años o más, antes que puedan emprender tales investigaciones con éxito y de manera sistemática.

Lobo y ovejas

Este es un juego para principiantes (niños pequeños) que se puede jugar antes de enseñarles el juego de damas. Como el juego de damas, se juega en un tablero de ajedrez, usando solamente los cuadrados negros. Las fichas avanzan diagonalmente, un paso a la vez. Un jugador es el lobo (una ficha negra en un borde del tablero), el otro jugador tiene cuatro ovejas (cuatro fichas blancas que se colocan en los cuadrados negros del borde opuesto del tablero). Las ovejas pueden solamente ir hacia adelante (diagonalmente); el lobo puede ir hacia adelante y hacia atrás.

lobo-ovejas240

No se puede saltar ni “matar” fichas. El lobo gana si logra llegar al borde opuesto del tablero (donde comenzaron las ovejas). Las ovejas ganan si logran encerrar al lobo, de manera que ya no puede moverse.

Molino

Se juega entre dos jugadores con fichas de damas en un tablero como en el dibujo:

Molino1-420

Un jugador tiene 9 fichas blancas, el otro 9 fichas negras. El juego tiene dos fases: la de colocar fichas, y la de mover fichas.

Primera fase:
Por turnos, cada jugador coloca una de sus fichas en uno de los puntos de intersección (o esquina) del tablero. Cada vez que un jugador logra colocar tres de sus fichas en una misma línea recta del tablero, puede quitar del tablero una ficha del oponente. Las fichas quitadas ya no juegan.

Las tres fichas en una línea se llaman “molino”. Una ficha que pertenece a un molino no puede ser quitada, excepto si todas las fichas del jugador pertenecen a molinos. – Aun si un jugador lograse en un solo turno crear dos molinos simultáneamente, puede quitar una sola ficha del oponente. (Estas reglas valen también para la segunda fase.)

Molino2-420

Segunda fase:
Cuando todas las fichas están colocadas, los jugadores (por turnos) mueven una de sus fichas por un paso; o sea, siguiendo una de las líneas negras hasta el siguiente punto (intersección o esquina). Si con este movimiento el jugador logra formar un molino, puede nuevamente quitar una ficha a su oponente.

Un jugador puede, en movimientos sucesivos, “abrir” y “cerrar” un mismo molino varias veces y quitar una ficha al oponente, cada vez que cierra el molino. Jugadores experimentados logran construir molinos combinados de tal manera que al abrir uno de ellos, con el mismo movimiento cierran otro.

MolinoCombinado-420

Arriba: Negro puede cerrar un molino si este es su turno. Blanco tiene molinos combinados.

Si un jugador tiene solamente tres fichas en el tablero, puede saltar con una de ellas a cualquier punto libre.

Ganador es el que quita todas las fichas de su oponente; o el que logra encerrar a su oponente de manera que ya no puede hacer ningún movimiento.

Variación: El mismo juego se puede jugar con 12 fichas por jugador. En este caso, al tablero se le añaden cuatro líneas diagonales:

Molino1diag-420

Unas variaciones del ajedrez

“Ajedrez con desventaja”: Si un jugador es mucho más experimentado que el otro (por ejemplo cuando un adulto juega con un niño que recién está empezando a aprender), el jugador más experimentado puede comenzar con una o dos figuras menos. Por ejemplo puede jugar sin reina, o con una sola torre y un solo alfil.

“Ajedrez cilíndrico”: Los jugadores se imaginan que el tablero es “enrollado” en forma cilíndrica, de manera que si una figura sale del tablero por el borde izquierdo, vuelve a entrar por el borde derecho, y viceversa. Así por ejemplo, un peón blanco en h4 y un peón negro en a5 podrían matarse mutuamente.

“Ajedrez al revés”: Quien tiene la posibilidad de comer una figura enemiga, tiene que comerla. Ganador es quien se queda primero sin figuras. (En esta variación, el rey se trata como cualquier pieza común: el juego continúa aunque el rey esté muerto.)

 


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Matemática en la vida diaria: La matemática de los juegos y los juegos de matemática

Matemática aplicada y matemática pura

En el artículo anterior hemos visto que la vida diaria está llena de matemática. Los quehaceres del hogar brindan muchas oportunidades para enseñar y aplicar principios matemáticos. Solamente hay que tener los ojos abiertos y la mente despierta para reconocer y aprovechar estas oportunidades.

Los ejemplos del artículo anterior pertenecen al campo de la “matemática aplicada”: Se usa la matemática para describir y analizar situaciones de la vida real, o para hacer predicciones acerca de tales situaciones. Para la mayoría de las personas, éste es probablemente el único uso que hacen de la matemática en su vida diaria. Pero la mayoría de los matemáticos profesionales dirían que esta no es la matemática “verdadera”, o por lo menos que esta no es la esencia de la matemática. La matemática “en sí” (“matemática pura”) es una abstracción que lleva una vida propia, independiente del mundo material. (Por ejemplo, se pueden investigar las propiedades de los números primos, independientemente de si en el mundo real existen números primos o no.) La matemática pura se caracteriza no por llevar a cabo determinadas operaciones y procedimientos, sino por un modo de pensar particular. Algunos aspectos de esta forma de “pensar matemáticamente” son:

– Encontrar y describir regularidades, patrones, principios, leyes generales de “cómo se comportan” los objetos matemáticos (números, figuras geométricas, etc.)

– Aplicar estos principios y leyes de manera consistente a situaciones nuevas.

– Fundamentar nuevas propiedades, leyes y reglas a base de leyes y principios ya conocidos.

– Explicar el “por qué” de las propiedades y resultados matemáticos.

Para poder aplicar la matemática de manera sensata a situaciones de la vida real, es necesario desarrollar esta capacidad de pensar matemáticamente. Al usar situaciones de la vida diaria para enseñar matemática, se deben señalar también los principios en los que se basan las operaciones matemáticas: ¿Qué significa sumar? (Básicamente significa juntar dos cantidades o magnitudes.) ¿Qué significa restar? (Al nivel más sencillo, restar significa “quitar”. Al nivel de los principios matemáticos, la resta es la operación inversa de la suma.) ¿Qué significa una fracción? (Matemáticamente, una fracción es lo mismo como una división, solamente escrita de otra forma.) ¿Por qué puedo intercambiar los números en una suma, pero no en una resta? – o sea, ¿por qué es 3+7 = 7+3, pero 3-7 no es lo mismo como 7-3? (Esta pregunta ya lleva a consideraciones bastante profundas, que son difíciles de entender aun para muchos adultos. – Un alumno entrenado en los caminos del sistema escolar con su memorización de definiciones, tal vez diría: “Porque la suma es conmutativa, pero la resta no.” Pero en realidad eso no responde a la pregunta ¿Por qué?; es solamente volver a enunciar el problema con otras palabras. – Para poder dar una respuesta apropiada, es necesario entender cómo “funcionan” los números negativos.)

¿Cómo podemos entonces ayudar a los niños a desarrollar la capacidad de pensar matemáticamente?

El juego como abstracción matemática, y como vía de acceso a la matemática pura

– Los razonamientos al nivel de principios matemáticos son bastante abstractos; entonces no podemos esperar que un niño promedio en edad de primaria pueda realizarlos de manera consciente. Pero existe una forma de abstracción matemática que es accesible aun para niños bastante pequeños, y es el juego. No cualquier juego, por supuesto; pero aquellos juegos que son determinados por reglas fijas y movimientos claramente definidos. El matemático Paul Lockhart hace la siguiente sugerencia para las clases de matemática en los primeros grados:

“¡Déjenlos jugar! Enséñenles ajedrez y go, hex y chaquete, nim, o cualquier otro. Inventen sus juegos propios. Resuelvan rompecabezas y adivinanzas. Confróntenlos con situaciones donde tienen que razonar de manera deductiva. No se preocupen por las técnicas y notaciones. Ayúdenles a convertirse en pensadores matemáticos activos y creativos.”
(Paul Lockhart, “Lamento de un matemático”)

Efectivamente, esta clase de juegos cumplen los requisitos de la matemática pura:

– Son abstracciones, independientes del mundo real. Aunque normalmente se juegan con figuras, tableros etc. concretos (lo que satisface la necesidad de los niños), el juego en sí es independiente de estas figuras concretas. Un buen ajedrecista puede jugar ajedrez en su mente, sin teniendo un tablero verdadero ni figuras verdaderas delante de sí.

– Se rigen según reglas fijas y consecuentes. Aunque las reglas son en cierto sentido arbitrarias (se han inventado variaciones del ajedrez donde algunas reglas son distintas), no pueden cambiar durante el juego, una vez que han sido definidas. Estas reglas corresponden a los principios y leyes en la matemática. La matemática pura puede considerarse un “juego” donde se establecen ciertas reglas fundamentales, y después se analiza lo que sucede cuando se “juega” de acuerdo a estas reglas.

– Dentro del marco establecido por las reglas, se pueden teoréticamente describir, clasificar y analizar todos los “partidos” posibles. (En un juego complejo como el ajedrez, esto es imposible en la práctica porque el número de partidos posibles es tan inmenso; pero teoréticamente la posibilidad existe. En juegos simples como p.ej. michi, es también factible en la práctica, elaborar una tabla de todos los partidos posibles.) Aun en aquellos juegos que contienen un elemento de azar, como p.ej. los juegos con dados, los sucesos “al azar” suceden según probabilidades matemáticas, y por tanto es posible analizar el juego matemáticamente.

Por tanto, los juegos de tablero, de dados, etc, son un buen entrenamiento en el pensamiento matemático. Requieren razonar, aplicar reglas de manera consecuente, y sacar conclusiones lógicas. Los juegos de estrategia, tales como ajedrez, requieren también hacer predicciones fundamentadas de movimientos futuros (“si yo hago esto, él puede hacer eso”), y elaborar estrategias a base de estas predicciones. Y a los niños ¡les gusta jugar!

“Un nuevo estudio descubrió que los expertos en juegos de mesa, como el ajedrez, utilizan una región del cerebro que el resto no solemos usar. La investigación, publicada en ‘Science’, realizó escáneres cerebrales de jugadores, tanto profesionales como aficionados, del juego japonés shogi. Expertos del Instituto de Ciencia Cerebral Riken, en Japón, descubrieron que las jugadas intuitivas que realizan estos jugadores no son naturales, sino que surgen del entrenamiento cerebral. (…) El hallazgo fue una sorpresa, porque al volverse expertos los maestros shogi comienzan a usar todas las regiones del cerebro.”
(Diario “El Comercio”, Lima, 30 de enero de 2011)

Por tanto, jugar no es tiempo perdido. Al contrario, es una actividad importante del niño que desarrolla su inteligencia y su personalidad. Además, el niño aprende a ser honesto cuando tiene que jugar según las reglas; y se prepara para obedecer las “reglas” de Dios. Para que una sociedad funcione bien, sus integrantes tienen que “jugar según las reglas”; de otro modo habrá toda clase de conflictos. Un niño que no aprendió a obedecer las reglas de un juego, experimentará conflictos en sus relaciones con otras personas; y también dificultará en entender la matemática.

En un artículo siguiente deseo describir algunos juegos que ayudan a los niños a pensar matemáticamente y estratégicamente.

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