Educación Cristiana Alternativa

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Olimpiadas de matemática: No solo Einstein …

Hace algún tiempo mencioné que Albert Einstein probablemente no hubiera ganado ninguna olimpiada de matemática. Su pensamiento era demasiado lento – pero tanto más profundo. Einstein no es el único ejemplo de ello. De hecho, tengo que suponer que la mayoría de los matemáticos realmente buenos se sentirían muy incómodos con la manera como se llevan a cabo las “olimpiadas de matemática” contemporáneas. Y los ganadores de estas olimpiadas muy probablemente no serán los mejores matemáticos. Aquí tenemos más evidencia de ello:

“Muchos pensadores matemáticos fuertes y profundos sienten repulsión ante la matemática (escolar), a causa de su énfasis en la velocidad. En mi experiencia, los matemáticos están entre las personas más lentas que conocí. Esto no lo digo como un insulto contra los matemáticos; al contrario: A menudo ellos son lentos en pensar porque su pensamiento es muy profundo.
Lauren Schwartz es una de las matemáticos más grandes de Francia; ella ganó la Medalla Field, que es algo como el Premio Nobel en matemáticas. Ella dice acerca de su tiempo escolar:
‘Siempre me sentía muy insegura acerca de mi propia capacidad intelectual. Pensé que yo no era inteligente. Y es cierto que yo era bastante lenta, y todavía lo soy. Necesito tiempo para captar las cosas, porque siempre necesito comprenderlas completamente. Incluso cuando alguna vez logré ser la primera en responder una pregunta de la profesora, era solamente porque eran preguntas cuya respuesta yo ya sabía. Cuando surgía una pregunta nueva, otros alumnos siempre respondían antes que yo. En mis últimos años escolares, yo pensaba dentro de mí que yo era estúpida, y esto me preocupaba por mucho tiempo. Nunca lo dije a nadie, pero siempre estaba segura de que algún día me descubrirían como una impostora. El mundo entero vería que en realidad yo no era inteligente. Ahora, esto nunca sucedió. Aparentemente nadie nunca se dio cuenta, y sigo siendo tan lenta como siempre. Al terminar la secundaria, finalmente llegué a la conclusión de que la rapidez no está relacionada con la inteligencia. Lo que importa es entender las cosas profundamente, y entender como se relacionan entre sí. Allí está la inteligencia. No es relevante si alguien es rápido o lento. – Claro que te ayuda si eres rápido, como también te ayuda tener una buena memoria. Pero no es necesario ni suficiente para tener éxito intelectual.'”
(Jo Boaler, educadora en matemática, Universidad de Stanford)

¿Por qué entonces los exámenes de matemática en las escuelas dan tanta importancia a la rapidez? Se exige que se resuelvan dentro de un límite fijo de tiempo; y a menudo son preparados de tal manera que solamente uno o dos alumnos de toda la clase logran resolver todos los ejercicios dentro de este tiempo. Entonces, muchos alumnos sacan malas notas no porque se hubieran equivocado, sino simplemente porque no se les dio suficiente tiempo para resolver el examen. Y según lo que dicen los matemáticos profesionales, ¿dónde tendríamos que buscar a los futuros matemáticos buenos, a los pensadores profundos? – ¡Exactamente entre estos alumnos “lentos” que no logran resolver todos los ejercicios dentro del tiempo!

Esto es no solamente injusto; es trágico. No solamente para los perdedores. Es trágico también para los ganadores. Imaginémonos a ese ganador de una olimpiada de matemática, que ahora orgullosamente piensa que él es “el mejor”. Elige una carrera matemática o científica porque piensa que eso le sería fácil. Y solamente cuando ya está bastante avanzado en sus estudios universitarios, recién se dará cuenta de que en realidad él no es tan buen pensador. Lo que le ayudó para ganar la olimpiada de matemática, eran mayormente fórmulas memorizadas, “trucos” para resolver ciertos tipos de problemas de manera muy rápida (pero sin entenderlos verdaderamente), y la rutina de haber resuelto muchos ejercicios similiares. Pero todo eso no es pensamiento matemático. La capacidad de pensar profundamente, de llegar “al fondo” de un asunto, no se cultiva en olimpiadas de matemática ni en exámenes escolares. Pero esta sería exactamente la capacidad más necesaria para un buen matemático o científico.

Escuchemos otra vez a Jo Boaler acerca del daño que hacen los límites de tiempo en los exámenes:

“Uno de los mensajes más importantes que nos dan las neurociencias, es que la matemática nunca se debería asociar con rapidez. Se hicieron numerosas investigaciones en los últimos años, demostrando que los ejercicios y exámenes con límite de tiempo causan la fobia ante la matemática a temprana edad. Yo pienso que los exámenes con límite de tiempo son algo de lo más dañino en el sistema escolar.
Sian Beilock y sus colegas hicieron escaneos del cerebro para estudiar como el temor afecta a los estudiantes cuando calculan con datos matemáticos en exámenes con límite de tiempo. Los cálculos requieren recobrar información almacenada en la memoria funcional del estudiante. Cuanto más memoria funcional tiene una persona, más potencial tiene para el éxito académico. Ahora, Beilock y sus colegas encontraron que el estrés bloquea la memoria funcional. Así que los estudiantes no pueden recordar los datos que les son conocidos. Ud. tal vez reconoce esta situación de cualquier situación en público donde Ud. tuvo que usar algo de matemática que le era conocido – tal como calcular el cambio en un restaurante -, y Ud. miró los números y sintió que su mente quedó en blanco. Este es el impacto del estrés que bloquea la memoria funcional. – Ellos encontraron que la fobia ante la matemática impacta más a las personas con mayor cantidad de memoria funcional; o sea, exactamente a aquellos estudiantes que tendrían el potencial de llegar a un nivel alto en la matemática.”

Reitero por tanto mi llamado a cambiar la forma de las olimpiadas de matemática. En vez de exámenes con límite de tiempo, se deberían dar tareas de investigación que invitan a analizar un problema de manera profunda, y con suficiente tiempo para resolverlo. (Vea en este artículo.)

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Sugerencia para una olimpiada de matemática que realmente incentive el pensamiento matemático

En la primera parte de este artículo expliqué por qué las “olimpiadas de matemática” no incentivan mucho el pensamiento matemático. En cambio, incentivan otras capacidades que no tienen mucho que ver con pensar matemáticamente: Memorizar una gran cantidad de fórmulas y datos matemáticos; y resolver ejercicios prescritos en un mínimo de tiempo (lo cual induce una forma de pensar superficial).

El verdadero pensamiento matemático consiste en encontrar soluciones nuevas y creativas para un problema que uno nunca antes ha encontrado. Y como vimos en la parte anterior, esto requiere tiempo. Entonces, una olimpiada matemática que realmente incentive el pensamiento matemático, no puede consistir en un examen que debe resolverse dentro de un tiempo muy limitado. Consistiría en un problema novedoso, y se debe dar mucho tiempo para resolverlo. Además, no se calificaría simplemente la solución final. Se calificaría el razonamiento que el estudiante empleó para llegar a la solución. O sea, el estudiante debe ser capaz de explicar de manera lógica y coherente, cómo llegó a la solución.

Esto es lo que se hace también en la matemática profesional. No es suficiente que un matemático presente una solución a un problema, o que establezca un nuevo teorema. El matemático tiene que explicar lógicamente cómo llegó a la solución, y tiene que demostrar de manera convincente que su solución o teorema es correcto. Y los matemáticos profesionales no hacen esto en sesiones con límite de tiempo, donde tienen que entregar su respuesta dentro de noventa minutos. No, ellos demoran semanas, meses, a veces hasta años reflexionando acerca del mismo problema, intentando las más diversas maneras de resolverlo, hasta que finalmente encuentren una solución.

Ahora, yo no sé si alguna vez estaré en la situación de organizar un concurso de matemática. Pero quién sabe si algún día algún lector de este blog tenga esta oportunidad. Para este caso, presento aquí mi sugerencia.

Una olimpiada de matemática que realmente incentive el pensamiento matemático, requerirá la entrega de un trabajo escrito acerca de un problema matemático novedoso, inusual, de una clase que no figure dentro de los currículos escolares; de preferencia un problema que permita una multitud de soluciones posibles. Para la elaboración de este trabajo se debe dar suficiente tiempo – por lo menos un mes a partir del momento en que se conoce el tema. Como tema se pueden dar varios problemas para elegir entre ellos, o se puede dar libertad para que el estudiante proponga un tema propio. En su trabajo escrito, el estudiante presentará no solamente su solución del problema. Explicará también detalladamente los pasos que lo llevaron a su solución, y dará una demostración lógica de que su solución es correcta. Este trabajo escrito tendrá entonces un formato comparable con un ensayo o una tesis académica.

Entre los trabajos entregados, se seleccionarán los mejores para que participen en una sustentación pública. Los autores de estos trabajos expondrán ante un jurado el contenido de su trabajo y responderán a preguntas del jurado (y puede que aun del público), para demostrar su dominio del tema. Serán premiados los estudiantes que presenten el razonamiento más lógico y coherente, y las soluciones más ingeniosas y novedosas, tomando en cuenta también la dificultad del problema.

Hasta se podría publicar un libro con los mejores trabajos de un tal concurso.

Por supuesto que esta forma de concurso de matemática impone mayores exigencias al jurado. El jurado tiene que integrarse por personas que sepan pensar matemáticamente ellos mismos – y muchos profesores de matemática no cumplen con este requisito. (¿Será por eso que no se organizan olimpiadas matemáticas de esta forma?) También tendrán que invertir más tiempo en la calificación, y en la preparación de preguntas para la sustentación. No podrán maquinalmente asignar puntos a un examen de selección múltiple. Pero la recompensa consistirá en un nivel más elevado de pensamiento matemático por parte de los participantes.
Y, de paso sea dicho: No se generaría el trabajo administrativo excesivo de tener que calificar miles de trabajos de estudiantes que sacarán “cero puntos” como en las olimpiadas convencionales; porque estos estudiantes de “cero puntos”, si no entienden el tema, ya se darán cuenta de ello en el proceso de escribir su trabajo, y se retirarán del concurso. Pero quizás ¿esta es otra razón por la cual no se organizan olimpiadas matemáticas de esta forma – porque los muchos participantes con “cero puntos” generan ingresos adicionales para los organizadores? De ser cierto, esto comprobaría que el dinero les importa más que el incentivar el pensamiento matemático…

Uno podría decir que la calificación de tales trabajos y sustentaciones puede ser subjetiva. Sí, existe cierto elemento subjetivo en esto. Al igual como en las calificaciones de tesis y sustentaciones en toda universidad. Y en una universidad, esto tiene aun mayores consecuencias: El participante de una olimpiada de matemática recibe solamente un premio para esta única oportunidad; pero el estudiante que sustenta su tesis en la universidad, gana o pierde la aprobación de su carrera entera. Sin embargo, ninguna universidad renunciaría por ello a este proceso “subjetivo” de calificar tesis y sustentaciones. Mas bien se esfuerzan por hacer el proceso lo más objetivo posible. Es que los educadores universitarios saben que esta es una de las mejores maneras de incentivar el pensamiento independiente del estudiante, y su capacidad de investigación. Entonces no hay razón para no hacer lo mismo con estudiantes de niveles inferiores que quieren destacar en el pensamiento matemático. Si las universidades logran calificar a sus estudiantes de manera justa con este sistema, los organizadores de una olimpiada de matemática lo pueden lograr también.

Daré unos ejemplos de problemas apropiados para esta clase de olimpiadas matemáticas:


1. Investiga las propiedades de sucesiones aritméticas de números primos, tales como:

11, 41, 71, 101, 131

(131 es el último miembro de esta sucesión, porque 161 ya no es primo.)
En particular:
– Investiga y describe cómo se pueden encontrar tales sucesiones de longitud máxima con valores numéricos mínimos.
– Demuestra o refuta la hipótesis: Existen sucesiones aritméticas de números primos de longitudes arbitrariamente largas.
– Describe y fundamenta cualquier otra propiedad de tales sucesiones que encuentres.


2. Investiga diversas clases de ecuaciones diofantinas* de segundo grado, tales como:

ax + b = y2
ax + by = xy
x
2 + y2 = z2

etc. (donde a, b representan números conocidos; x, y, z son incógnitas.)
Analiza casos especiales; busca también soluciones generalizadas donde fuera posible. Toma en cuenta que una ecuación diofantina por lo general tiene múltiples soluciones.
* “Ecuaciones diofantinas” son ecuaciones que deben resolverse de tal manera que las incógnitas representen números naturales.

(Note que la tarea anterior es intencionalmente formulada de manera abierta: Se dan algunos ejemplos de formas que puede asumir una ecuación diofantina de segundo grado, pero el “etc.” incentiva al estudiante a ampliar el tema con formas adicionales de su propia creación.)


3. Propón una forma de construir un reloj solar que indique no solamente las horas del día, sino también los días del año; y que pueda funcionar en distintas latitudes geográficas. Presenta un diseño, y fundamenta tu solución geométricamente.


4. (Para alumnos de grados inferiores):
Investiga el juego de “Michi”:
– ¿Cuál es la mejor jugada para el primer jugador?
– Para cada jugada posible del primer jugador, ¿cuál es la mejor jugada para el segundo jugador?
– ¿Cómo terminará un juego de “Michi” donde ambos jugadores juegan de manera óptima, o sea, eligiendo siempre la mejor jugada posible?
Fundamenta tus respuestas lógicamente. Describe cualquier otra propiedad interesante que descubras acerca de este juego.


Problemas como estos no figuran en los libros escolares, ni en las olimpiadas matemáticas convencionales. Son problemas que requieren una investigación profunda y prolongada, y que no tienen una “única solución” que se podría marcar en un cuadro de selección múltiple. Y es exactamente por estas características, que tales problemas incentivan el pensamiento matemático mucho más que las tareas convencionales.

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Por qué Einstein no hubiera ganado la olimpiada de matemática

Parece que las olimpiadas de matemática están de moda. Cada país, cada ciudad, cada escuela que se siente orgullosa de su existencia, quiere organizar una. Y todos los alumnos quieren participar – y los que no quieren participar, son obligados a ello por sus profesores o por sus padres. Aun los que desde un inicio no tienen posibilidades de ganar. Por eso, las listas de resultados de tales olimpiadas suelen llevar una larga cola de nombres que figuran con cero puntos.

La creencia general es que tales olimpiadas incentiven el pensamiento matemático en los alumnos. Pero, ¿es realmente “pensamiento matemático” lo que se necesita para ganar una olimpiada de matemática?

Primeramente, la gran mayoría de participantes que sacan cero puntos, no se han beneficiado en nada. No han aprendido nada, ni antes ni durante el evento, porque obviamente las tareas están por encima de su comprensión. Solamente se llevan una mala experiencia, y lo más probable es que pierdan la motivación por la matemática.

Ahora, los que sí tienen el potencial de sacar un buen puntaje, ¿qué capacidades han entrenado por medio de un tal evento?

Las tareas que se dan en las olimpiadas de matemática, normalmente requieren el conocimiento de una sola propiedad matemática, una fórmula, una sola “idea feliz”, para resolverla en el tiempo más breve posible. (En casos excepcionales se requiere una combinación específica de dos o tres propiedades matemáticas.) Y los límites de tiempo en estas olimpiadas son muy estrechos: Si uno quiere resolver todo, puede invertir ni siquiera cinco minutos para cada tarea. – Entonces, aquellos participantes que se quedan atrás, normalmente se ven limitados por estos dos factores: Memoria y tiempo.

El factor “memoria”: Los que no logran ganar, no han podido meter en sus cabezas una cantidad tan enorme de fórmulas y datos matemáticos como los ganadores. Con lo que tienen presente en su memoria, podrían encontrar las soluciones de algunas tareas, pero probablemente por un camino un poco más difícil, un poco más lento. Los ganadores, en cambio, pueden recurrir a su memoria y sacar de allí una fórmula memorizada que “dispara” la tarea de un solo golpe.

El factor “tiempo”: Los que resuelven las tareas por un camino un poco más lento, no pueden terminar todas las tareas en el tiempo asignado. Entonces se quedan con un bajo puntaje, no porque no hubieran entendido la tarea, ni porque fueran incapaces de resolverla, sino solamente porque no les queda tiempo para hacerlo.

Pero estos dos factores, memoria y tiempo, tienen muy poco que ver con pensamiento matemático. Memorizar una gran cantidad de fórmulas todavía no es pensar matemáticamente. Resolver un gran número de tareas en tiempo mínimo tampoco es pensar matemáticamente.

El gran científico Albert Einstein, cuando era niño, era “atrasado” en su desarrollo. No sabía hablar hasta los cuatro años de edad, y hasta los nueve años tenía problemas del habla. Sus profesores lo describieron como un alumno de comprensión lenta. Mucho más tarde dijo acerca de su descubrimiento de la teoría de la relatividad: “Un adulto ordinario nunca se preocupa por los problemas del espacio y del tiempo. El considera estos pensamientos como cosas de niños. Pero yo me desarrollé tan lentamente que empecé a curiosear acerca del espacio y del tiempo recién cuando ya era adulto. En consecuencia, me introduje más profundamente en este problema de lo que un niño ordinario hubiera hecho.”

Einstein, de niño o joven, probablemente no hubiera ganado ninguna olimpiada de matemática. El no era un niño precoz como lo son los ganadores de estas olimpiadas. Y puesto que él necesitaba tiempo para pensar profundamente acerca de los problemas, se hubiera estrellado contra los límites de tiempo.

Pero si él no hubiera tomado más tiempo que las personas ordinarias, para pensar acerca de los problemas del espacio y del tiempo, entonces nunca hubiera descubierto la teoría de la relatividad. En cambio el pensamiento apresurado, bajo presión del tiempo, es una forma superficial de pensar. Por tanto, las olimpiadas de matemática no fomentan el verdadero pensamiento matemático. Solo fomentan un pensamiento superficial que busca soluciones rápidas para problemas poco profundos. Los ganadores de olimpiadas matemáticas raramente son los mejores matemáticos.

Keith Devlin, profesor de matemática en la universidad de Stanford, dice:

“Nosotros los matemáticos profesionales nos desesperamos por los sistemas escolares que imponen estrechos límites de tiempo sobre los exámenes de matemática, y obligan a trabajar rápidamente. La verdadera matemática requiere tiempo.

Y también: “Pensar matemáticamente no es lo mismo como hacer matemática – por lo menos no de la manera como nuestro sistema escolar normalmente presenta la matemática. (…) La clave para el éxito en la matemática escolar consiste en pensar como el profesor quiere que pienses. En contraste, una característica clave del pensamiento matemático es pensar en contra del pensamiento convencional.

Y el matemático Paul Lockhart dijo:

“Los alumnos aprenden de sus profesores lo que (supuestamente) es la matemática, y éstos a su vez lo aprendieron de sus profesores, y así se repite en cada generación esta falta de comprensión y valoración de la matemática. Aun peor: Esta “seudo-matemática”, este énfasis en la manipulación correcta (pero sin sentido) de símbolos, crea su propia cultura y sus propios valores (equivocados). Aquellos que la dominan, se vuelven presumidos. No quieren saber nada de que la matemática es creatividad y estética. A muchos alumnos, sus profesores les dijeron durante diez años que eran “buenos en matemática”; pero cuando llegaron a la universidad, se decepcionaron al descubrir que no tenían ningún talento matemático. Solamente habían sido “buenos” en seguir las órdenes de otras personas. Pero la matemática no trata de seguir las órdenes de otra gente. Se trata de descubrir direcciones nuevas.

Por tanto, en una segunda parte trazaré algunas sugerencias de cómo podría organizarse un concurso de matemática que realmente fomente el pensamiento matemático.

(Continuará)

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