Educación Cristiana Alternativa

Educación es algo muy diferente de lo que usted piensa …

Paul Lockhart: La matemática como arte, y la miseria de la enseñanza de matemática

Introducción por el traductor:

¿Sintió usted alguna vez la soledad después de haber reflexionado sobre algún asunto de manera independiente, cuando usted al fin descubrió que llegó a conclusiones completamente diferentes de toda la humanidad alrededor? Así me sentí yo después de escribir la primera versión de mi artículo “Aprender matemática – ¿cuestión de burocracia o de principios?”. ¿Será verdad que yo era el único que piensa así, y que el entero sistema escolar está equivocado?
Después descubrí la pequeña obra por Paul Lockhart, “A Mathematician’s Lament” (Lamento de un matemático), y encontré allí el mismo pensamiento fundamental: Lo que en las escuelas se presenta como “matemática”, no es en realidad ninguna matemática en absoluto. Así que no soy el único loco en el mundo entero. ¡Qué alivio! Cuánto más, puesto que Paul Lockhart no es “cualquiera”; él es un matemático profesional. O sea, él sabe de qué está hablando.

En algunos detalles no estoy de acuerdo con él. Es obvio que en su trasfondo el tiene una cosmovisión diferente de la mía. Pero las ideas principales de su “Lamento” me parecen buenas, importantes, enriquecedoras, y desafiantes (en un buen sentido). Además, él presenta no solamente críticas, sino también varias ideas constructivas que se pueden aplicar en una escuela alternativa, o aun mejor en la educación en casa. Por tanto, deseo presentar en este blog unos extractos extensos de esta obra, y añadiré mis propios comentarios en algunas partes. El original es un poco largo para un artículo en el blog (25 páginas A4); por tanto me limitaré a las partes más importantes, y dejaré de lado un capítulo entero (acerca del formalismo en las demostraciones geométricas).


Extractos traducidos de “A Mathematician’s Lament”, por Paul Lockhart:

La pesadilla de un músico

Un músico se despierta de una pesadilla horrible. En su sueño, él se encuentra en una sociedad que hizo de la música una asignatura escolar obligatoria. “Ayudamos a nuestros alumnos a ser más competitivos en un mundo cada vez más lleno de sonidos.” Pedagogos, sistemas escolares, y el estado, se responsabilizan de este proyecto importante. Se encargan investigaciones, se forman comisiones, y se hacen decisiones – todo sin buscar el consejo o la colaboración de un solo músico o compositor activo.

Puesto que los músicos expresan sus ideas en forma de notas musicales, tenemos que considerar estos extraños puntos y líneas como “el lenguaje de la música”. Para que los niños alcancen alguna capacidad musical, necesitan dominar primero este lenguaje. ¿Cómo podríamos esperar que un niño cante una canción o toque un instrumento, sin haber sido educado primero a fondo en la escritura de las notas musicales, y en la teoría de la música? Tocar y escuchar música, son temas muy avanzados que se pueden enseñar solamente en los institutos de educación superior.

La escuela primaria y secundaria, en cambio, son responsables de introducir este lenguaje musical. “En las clases de música usamos nuestro papel de pentagramas y copiamos notas musicales de la pizarra, o las transponemos en una tonalidad diferente. Tenemos que escribir y usar correctamente las claves y los accidentes, y nuestro profesor controla estrictamente que nuestras notas negras estén completamente llenas. Una vez tuvimos un problema difícil acerca de unas escalas cromáticas, y yo lo había resuelto correctamente, pero mi profesor me dio una mala nota porque las plicas señalaban hacia el lado equivocado.”

(…)
En los grados superiores, la presión aumenta más. Para poder entrar a alguna institución de educación superior, los alumnos tienen que dominar la teoría de los ritmos y de las armonías, y el contrapunto. “Es muy exigente; pero cuando por fin llegarán a escuchar música verdadera en su educación superior, valorarán este trabajo de los grados anteriores.” – Por supuesto, serán solamente unos pocos alumnos que se especializarán en música. Por tanto, serán muy pocos que efectivamente llegarán a escuchar los sonidos representados por las notas musicales. “Para decir la verdad, la mayoría de los alumnos no son muy buenos en música. Se aburren en las clases, y sus trabajos escritos apenas se pueden descifrar. Parece que no les interesa la importancia de la música en el mundo actual.” (…)

– El músico se despierta, lleno de sudor. Se siente agradecido al darse cuenta de que todo fue solamente un sueño loco. “¡Claro!”, exclama. “Ninguna sociedad reduciría mi arte hermoso y significativo a algo tan aburrido y trivial. Ninguna cultura puede tratar a sus niños de una manera tan cruel, privándolos de tal manera de una expresión natural y recreativa de la creatividad humana. ¡Cuán absurdo!”

(…)

Sin embargo, nuestra enseñanza actual de matemática es una pesadilla exactamente igual a ésta. Si yo tuviera que inventar una estrategia para destruir la curiosidad de un niño, y su amor por inventar patrones, yo no podría encontrar una solución más eficaz que la escuela actual. Yo ni siquiera podría tener ideas tan absurdas y destructoras del alma, como las que dominan la enseñanza actual de la matemática.
Todo el mundo sabe que algo está mal. Los políticos dicen: “Necesitamos exigencias más altas.” – Las escuelas dicen: “Necesitamos más dinero y materiales.” – Los expertos en pedagogía dicen una cosa, y los profesores dicen otra cosa. Pero todos ellos están equivocados. Los únicos que entienden lo que está mal, son aquellos que siempre son castigados y que nadie pregunta por su opinión: los alumnos. Los alumnos dicen: “Las clases de matemática son tontas y aburridas.” Y tienen razón.


Matemática y cultura

En primer lugar tenemos que entender que la matemática es un arte. La única diferencia entre la matemática y otras artes como la música o la pintura, es que nuestra cultura no la reconoce como arte. Todo el mundo comprende que los poetas, los pintores y los músicos crean obras de arte. Nuestra sociedad incluso es bastante generosa con el término “arte”: Arquitectos, chefs, y aun directores de televisión reciben el título de “artistas”. Entonces, ¿por qué no los matemáticos?

Una parte del problema es, que nadie sabe realmente lo que hacen los matemáticos. Según la opinión general, parece que de alguna manera están asociados a las ciencias – ¿quizás ayudan a los científicos con sus fórmulas, o alimentan computadoras con números grandes para algún propósito? – La mayoría de la gente piensa que los matemáticos pertenecen a los “pensadores racionales”, como opuestos a los “soñadores poéticos”.

Pero en realidad no existe nada más soñador, más poético, más radical, más subversivo y más psicodélico que la matemática. La matemática es igualmente abrumadora como la cosmología o la física. (Los matemáticos inventaron “agujeros negros” mucho antes de que los astrónomos realmente los encontraron.) La matemática permite una mayor libertad de expresión que la poesía o la música (puesto que éstas dependen mucho de las propiedades del universo físico). La matemática es el arte más puro; y a la vez el arte más malentendido.

Deseo entonces explicar lo que es la matemática, y lo que hacen los matemáticos. Una descripción excelente es la de G.H.Hardy:

“Un matemática, igual como un pintor o un poeta, es un creador de patrones. Sus patrones son más duraderos que la poesía o la música, porque consisten en ideas.”

O sea, los matemáticos crean patrones que consisten en ideas. ¿Qué clase de ideas? ¿Ideas acerca de los rinocerontes? – No, éstos los dejamos para los biólogos. – ¿Ideas acerca del lenguaje y la cultura? – No, normalmente no. Estas cosas son demasiado complicadas para el gusto de la mayoría de los matemáticos. Si existe algún principio estético general en la matemática, entonces es este: Lo sencillo es lo bello. Los matemáticos prefieren reflexionar acerca de las cosas más sencillas posibles; y las cosas más sencillas posibles son imaginarias.

Nota del traductor: En el caso de que el lector perdió el gozo de la matemática hace mucho tiempo, debido a las clases escolares aburridas, quizás le será difícil comprender lo que dice Lockhart acerca de la matemática como arte, y como un proceso descubridor y creativo. Pero el problema no es con la matemática; el problema es con la escuela. Recomiendo al lector, seguir detenidamente el siguiente ejemplo y reflexionar sobre él, para comprender de qué se trata en el “proceso matemático”.
– Yo daría aun un paso más y diría: La matemática, si uno la comprende bien, es una forma de adoración. Consiste en “pensar los pensamientos de Dios detrás de El” (como dijo Juan Kepler). Esto es lo que sintieron los grandes científicos del pasado como Newton, Kepler o Maxwell, frente a las leyes matemáticas que rigen el universo. Ellos vieron en la matemática un reflejo de los “decretos de Dios” que gobiernan y mantienen el mundo.

Por ejemplo, si me da ganas de pensar acerca de unas formas geométricas – esto sucede a menudo -, entonces yo podría imaginarme un triángulo en una caja rectangular:

Me pregunto, ¿qué parte de la caja ocupa este triángulo? – ¿Quizás dos tercios?
Ahora es importante entender que no estoy hablando acerca de este dibujo de un triángulo en una caja. Tampoco estoy hablando de un triángulo de metal que es parte de la estructura de un puente. No tengo ningún propósito práctico. Simplemente estoy jugando. Esto es matemática: Tener curiosidad, jugar, dialogar con mis propias imaginaciones.
La pregunta, ¿cuál parte de la caja ocupa el triángulo?, por ahora ni siquiera tiene sentido, en relación con verdaderos objetos físicos. Aun el triángulo material hecho de la manera más precisa, es todavía una colección desesperadamente complicada de átomos oscilantes, que constantemente cambian su forma. Excepto si queremos hablar solamente acerca de unas medidas aproximadas. Pero esto nos lleva a toda clase de detalles del mundo real. Eso lo dejamos para los científicos. La pregunta matemática trata de un triángulo imaginario en una caja imaginaria. Sus lados son perfectos, porque yo quiero que sean así. Este es un tema importante en la matemática: Las cosas son tales como usted las quiere. Usted puede escoger entre alternativas interminables; el mundo real no va a interferir con nada.

Pero una vez que usted ha hecho sus decisiones (por ejemplo, si su triángulo será simétrico o no), entonces sus creaciones harán lo que tienen que hacer por sí mismas, lo quiera usted o no. Esto es lo sorprendente de los patrones imaginarios: ¡ellos le dan respuestas! El triángulo ocupa una parte determinada de la caja, y yo no puedo decidir cuánto es esta parte. Es un número exactamente determinado, y yo tengo que decubrir cuánto es.

O sea, comenzamos a jugar y a imaginarnos lo que queremos, y formamos patrones y hacemos preguntas acerca de ellos. Pero ¿cómo encontramos las respuestas a las preguntas? Esto no es como en las ciencias. No puedo hacer ningún experimento con tubos de ensayo o con máquinas, para descubrir la verdad acerca de una figura que yo mismo he imaginado. Las preguntas acerca de nuestras imaginaciones pueden responderse solamente mediante nuestras imaginaciones, y esto es un trabajo duro.

En el ejemplo del triángulo, yo veo algo sencillo y bonito:

Si yo corto el rectángulo de esta manera en dos rectángulos, entonces puedo ver que cada parte a su vez es partida diagonalmente en dos mitades por uno de los lados del triángulo. O sea, dentro del triángulo existe la misma cantidad de espacio como afuera del triángulo. Esto significa que ¡el triángulo ocupa exactamente la mitad de la caja!

Así se ve y se siente un pedazo de matemática. El arte del matemático consiste en hacer preguntas sencillas y elegantes acerca de nuestras criaturas imaginarias, y en encontrar explicaciones satisfactorias y hermosas. Este ámbito de las puras ideas es fascinante, divertido, ¡y no cuesta nada!

¿De dónde vino esta idea mía? ¿Cómo se me ocurrió dibujar esta línea adicional? ¿Cómo sabe un pintor adonde debe apuntar con su pincel? – Inspiración, experiencia, intentos y errores, o simplemente la suerte. Esto es todo el arte; un arte que transforma cosas en otras cosas. La relación entre el rectángulo y el triángulo era un secreto, y entonces una pequeña línea lo reveló. Primero no pude verlo, y de repente lo vi. De alguna manera pude crear desde la nada una belleza profunda y sencilla, y yo mismo fui cambiado en el proceso. ¿No es esta la esencia de todo arte?

Por eso se me quebranta el corazón cuando veo como se trata la matemática en las escuelas. Esta aventura rica y fascinante de la imaginación se reduce a una colección de “datos” estériles para memorizar; y procedimientos que se deben aplicar. Los alumnos nunca reciben la oportunidad de hacer esta pregunta sencilla y natural acerca de las figuras; y tampoco se les permite pasar por este proceso creativo y enriquecedor de inventar y descubrir. En lugar de ello, son confrontados con lo siguiente:


Fórmula del área del triángulo: A = 1/2 b h

“El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base con su altura.” – Los alumnos tienen que memorizar esta fórmula y después “aplicarla” en incontables ejercicios. Toda expectativa y todo gozo se esfuma, y también desaparece el esfuerzo y la frustración del proceso creativo. Aquí ni siquiera existe un problema. La pregunta fue respondida apenas que fue hecha – al alumno ya no le queda nada por hacer.

Deseo clarificar qué es lo que estoy criticando. No estoy en contra de las fórmulas, ni en contra del aprender hechos interesantes. Todo eso está bien en su contexto apropiado, y tiene su lugar, igual como el aprender palabras es necesario para aprender un idioma extranjero. Estos conocimientos ayudan a crear obras de arte más ricas y más detalladas. Pero lo esencial no es el hecho de que el triángulo ocupa la mitad de la caja. Lo esencial es la hermosa idea de dividirlo por medio de esta línea. Esto puede inspirar otras ideas hermosas, y puede llevar a descubrimientos creativos en otros problemas. Una mera exposición del hecho no puede proveer esta inspiración.

Si dejamos de un lado el proceso creativo, y dejamos solamente su resultado, entonces nadie se sentirá involucrado en ello. Es como si alguien me dice que Miguel Angel creó una escultura hermosa, pero no me permite ver la escultura. ¿Cómo me podría inspirar eso? (En realidad, es aun peor. Si alguien habla de Miguel Angel, por lo menos entiendo que existe el arte de la escultura, y que no se me permite admirarla.)

La matemática escolar se fija solamente en el “¿Qué?”, y pasa por alto el “¿Por qué?”. Así se reduce la matemática a una cáscara vacía. El arte no está en la “verdad”; el arte está en la explicación de la verdad, en la argumentación. (…) La matemática es el arte de explicar. La escuela quita a los alumnos la oportunidad de participar en este arte: de plantear sus propios problemas, de hacer sus propias hipótesis y descubrimientos, de equivocarse, de experimentar una frustración creativa, de tener una inspiración, y de armar sus propias explicaciones y demostraciones. Por eso, la escuela les quita la misma matemática.

Entonces, no me quejo de que las clases de matemática contengan hechos y fórmulas. Me quejo de que la misma matemática está ausente en nuestras clases de matemática.

(…)

Muchos profesores de matemática transmiten la idea (explícitamente o con su ejemplo) de que la matemática trata de memorizar fórmulas y definiciones y algoritmos. ¿Quién corregirá esta idea equivocada?
Este problema cultural es un monstruo que sigue procreándose: Los alumnos aprenden de sus profesores lo que (supuestamente) es la matemática, y éstos a su vez lo aprendieron de sus profesores, y así se repite en cada generación esta falta de comprensión y valoración de la matemática. Aun peor: Esta “seudo-matemática”, este énfasis en la manipulación correcta (pero sin sentido) de símbolos, crea su propia cultura y sus propios valores (equivocados). Aquellos que la dominan, se vuelven presumidos. No quieren saber nada de que la matemática es creatividad y estética. A muchos alumnos, sus profesores les dijeron durante diez años que eran “buenos en matemática”; pero cuando llegaron a la universidad, se decepcionaron al descubrir que no tenían ningún talento matemático. Solamente habían sido “buenos” en seguir las órdenes de otras personas. Pero la matemática no trata de seguir las órdenes de otra gente. Se trata de descubrir direcciones nuevas.

(…)

Nota del traductor: Lockhart menciona aquí un problema importante; uno que he examinado desde una perspectiva un poco diferente en “Aprender matemática – ¿cuestión de burocracia o de principios?”: El sistema escolar entrena a los alumnos a funcionar mecánicamente como calculadoras; pero no se les enseña verdaderos principios matemáticos. Entonces el alumno piensa que la matemática consiste en seguir ciegamente las órdenes del profesor – órdenes que a menudo son incomprensibles o no tienen sentido. Se enseña solamente el “¿Qué?”, pero no el “¿Por qué?”. Nunca se dice al alumno que las leyes matemáticas son un “bien común”, que están en el “dominio público”, y que él mismo puede descubrirlas.
La continuación profundizará el tema de la matemática en las escuelas.

(Continuará)

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Enseñanza de matemática por principios, no por burocracia: Un ejemplo concreto

En un artículo anterior (“Enseñanza de matemática: ¿Cuestión de burocracia o de principios?”) he contrastado la enseñanza escolar usual de la matemática (o sea, la enseñanza burocrática) con una enseñanza basada en principios. Deseo añadir a este artículo un ejemplo para ilustrar un poco más estas dos formas de enseñanza.

Tomaré como un ejemplo un tema que causa dificultades a un buen número de alumnos: Las sumas y restas con números negativos, y las leyes de signos relacionadas con estas operaciones.

Ejemplo de una enseñanza burocrática

En los libros escolares, este tema es comúnmente presentado de una manera parecida a lo siguiente:

Suma de dos números positivos:
Se suman los dos sumandos, y el resultado recibe el signo positivo.

Suma de un número positivo con un número negativo:
Se toman los valores absolutos de los dos sumandos y se resta el menor del mayor. Después hay que distinguir dos casos:
Si el valor absoluto del sumando positivo es mayor, el resultado recibe el signo positivo.
Si el valor absoluto del sumando negativo es mayor, el resultado recibe el signo negativo.

Suma de un número negativo con un número positivo:
Se toman los valores absolutos de los dos sumandos y se resta el menor del mayor. Después hay que distinguir dos casos:
Si el valor absoluto del sumando positivo es mayor, el resultado recibe el signo positivo.
Si el valor absoluto del sumando negativo es mayor, el resultado recibe el signo negativo.

Suma de dos números negativos:
Los valores absolutos de los dos sumandos se suman, y el resultado recibe el signo negativo.

Resta de dos números positivos:
Si el minuendo es mayor, se resta el sustraendo del minuendo, y el resultado recibe el signo positivo.
Si el sustraendo es mayor, se resta el minuendo del sustraendo, y el resultado recibe el signo negativo.

Restar un número positivo de un número negativo:
Se toman los valores absolutos del minuendo y del sustraendo, y se suman. El resultado recibe el signo negativo.

Restar un número negativo de un número positivo:
Se toman los valores absolutos del minuendo y del sustraendo, y se suman. El resultado recibe el signo positivo.

Resta de dos números negativos:
Se toman los valores absolutos del minuendo y del sustraendo.
Si el valor absoluto del minuendo es mayor, se resta el valor absoluto del sustraendo del valor absoluto del minuendo, y el resultado recibe el signo negativo.
Si el valor absoluto del sustraendo es mayor, se resta el valor absoluto del minuendo del valor absoluto del sustraendo, y el resultado recibe el signo positivo.”

Así procede la enseñanza burocrática. El alumno tiene que memorizar ocho casos distintos, cada uno con un procedimiento diferente. Algunos de estos casos incluso requieren distinguir entre dos sub-casos, de manera que en total tenemos doce prodecimientos distintos, y desconectados los unos de los otros. La enseñanza burocrática exige que el alumno memorice estos doce procedimientos, y después los aplique mecánicamente a los ejercicios.

Para evitar todo malentendido, tengo que decir enfáticamente que esta es la peor forma de presentar este tema. Si por casualidad usted tomó el ejemplo arriba como un ejemplo positivo, entonces tengo que diagnosticar que usted ha sido malformado por una enseñanza excesivamente burocrática. Tendrá que estudiar detenidamente el artículo original, “Enseñanza de matemática: ¿Cuestión de burocracia o de principios?”

¿Qué sucede si los alumnos son enseñados de esta manera?
Primeramente, reciben la impresión de que se trata de un tema sumamente difícil. ¡Doce procedimientos diferentes! Hay que aprenderlos todos, y además saber como distinguir entre los distintos casos que se presentan en los ejercicios. Así que desde el inicio, el alumno se siente desanimado y está predispuesto a equivocarse.
Muchos alumnos ni siquiera entienden el lenguaje en el cual se presenta el tema. ¿Qué es un “sumando negativo”? ¿Qué es un “valor absoluto”? (Algunos libros escolares emplean aun mucho más palabras que yo en mi pequeño ejemplo.) Para un alumno que todavía no ha llegado a la etapa del pensamiento abstracto, una tal descripción es como si fuera en chino o en japonés.
Supongamos que nuestro alumno logra, con mucho esfuerzo, memorizar estos procedimientos y aplicarlos correctamente. Aun después de esto, todavía no ha entendido realmente como funciona la suma y la resta, porque nunca se le enseña la conexión de estos distintos casos entre sí. Aun si sabe estos procedimientos de memoria, todavía le parecen incomprensibles y difíciles. Cuando se añade algún nuevo aspecto a las operaciones (p.ej. introduciendo paréntesis, o aplicando la ley conmutativa), el alumno quedará nuevamente perdido y no sabrá qué hacer. (Hasta que haya memorizado otros tantos procedimientos distintos y desconectados de los anteriores.)
Puesto que le falta el verdadero entendimiento, el alumno lo vuelve a olvidar todo, tan pronto como el examen sobre el tema pasó. Con toda su memorización no ha adquirido ningún “sentir” de lo que es la suma y la resta.

Ejemplo de una enseñanza basada en principios

Para profesores y alumnos que han aprendido a pensar matemáticamente, dos principios sencillos son suficientes para abarcar este tema completamente – aun incluyendo conmutaciones, paréntesis y todo eso. Estos principios pueden visualizarse fácilmente usando movimientos “hacia adelante” y “hacia atrás”, por ejemplo en una recta numérica:

El signo positivo significa avanzar en la misma dirección.

El signo negativo significa invertir la dirección.

Solamente tenemos que acordar adicionalmente que “la misma dirección” por defecto (o sea, cuando no está definida por ningún signo) es la dirección “hacia adelante”, o sea, aumentando. Pero esto es algo que se entiende por sí mismo, porque cada alumno aprendió a sumar y a restar primero con los números positivos. Eso es lo más natural del mundo; por eso se llaman “números naturales”.

(Nota al margen: La enseñanza burocrática está obsesionada con definir las cosas más sencillas con palabras complicadas. Algo que se entiende por sí mismo, no necesita definición. Las definiciones innecesarias solamente oscurecen el sentido de las cosas, en vez de explicarlas.)

Estos dos principios sencillos son mucho más fáciles de comprender y recordar, que los doce procedimientos del primer ejemplo. Además, contienen algo de la “esencia” de lo que es la suma y la resta. Estos dos principios dan a entender algo de la unidad inherente de las leyes de la matemática.

Por ejemplo, las reglas del primer ejemplo distinguen entre un signo ‘-‘ que significa “restar”, y otro signo ‘-‘ que significa “número negativo”. Así se complica el asunto. Pero en realidad, esta distinción es innecesaria. Matemáticamente, el signo ‘-‘ significa en ambos casos exactamente lo mismo: Invertir la dirección acostumbrada.
Así por ejemplo, 4 – 3 es exactamente lo mismo como 4 + (-3). El signo ‘-‘ delante del número 3 significa “Muévete hacia atrás, en vez de ir adelante”; y el signo ‘+’ no cambia nada en esto. Por eso, en la forma “4 – 3”, se sobreentiende el signo ‘+’ delante de los números. (Podríamos también escribir 4 – (+3), o incluso (+4) – (+3), y seguiría siendo lo mismo.)

Además, las reglas del primer ejemplo colocan al resultado a veces un signo positivo, y a veces un signo negativo – aparentemente sin ningún motivo particular. ¿Es esto por el capricho de algún profesor de matemática que quiere dificultarnos la vida? – No, aquí hay también una razón lógica. Después de hacer todos los movimientos prescritos por los signos ‘+’ y ‘-‘, nos quedaremos finalmente en uno de los lados de la recta numérica – a la derecha o a la izquierda del cero. Al visualizar y probar algunos ejemplos, el alumno pronto se dará cuenta de qué depende si el resultado cae al lado positivo o al lado negativo. Por ejemplo, al calcular (-8) – 4, comenzamos por el lado negativo, y nos desplazamos aun más hacia la izquierda. Entonces es lógico que al final seguimos a la izquierda del cero, o sea, en el lado negativo.

Con los dos principios mencionados queda también claro por qué restar un número negativo equivale a sumar un número positivo: El primer signo ‘-‘ invierte la dirección de “avanzar” a “retroceder”. Si aplicamos un segundo signo ‘-‘ al mismo número, la dirección se invierte otra vez a “avanzar”. Por tanto, dos signos ‘-‘ combinados equivalen a un signo ‘+’.

Ahora, la idea no es que estos principios se aprendan “memorizando” o “copiando”. Mucho mejor se aprenden experimentando con ellos. Por ejemplo, que el alumno dibuje diferentes “viajes” sobre la recta numérica, indicando sus movimientos con flechas hacia adelante y hacia atrás. O que manipule flechas cortadas de cartón sobre una recta numérica grande dibujada en la mesa. O que camine sobre una recta numérica aun más grande dibujada en el piso, contando sus pasos. Y esto no solamente con unos ejercicios prefabricados del libro escolar: es mucho mejor incentivar al alumno que él se plantee y resuelva sus propios problemas. Así se acostumbrará a investigar por sí mismo. Los conocimientos que uno investiga y descubre por sí mismo, son mucho más duraderos que los que se reciben pasivamente por dictado o copiado.
En el transcurso de estas experiencias se puede transmitir la idea de que, según nuestros principios, “tres pasos hacia atrás” puede escribirse como “-3”, “+(-3)” ó “-(+3)”, y “cinco pasos hacia adelante” se puede escribir como “+5”, “+(+5)”, ó “-(-5)”. (Enseñados de esta manera, los alumnos inteligentes pronto se darán cuenta de que existen todavía más formas de escribir sumas y restas. Por ejemplo, “tres pasos hacia atrás” se podría también escribir así: “-(+(-(-3)))”. )

Otra forma de “experimentar” con estos principios, consiste en aplicarlos a los conceptos financieros de ingresos, gastos y deudas. Por ejemplo, se puede jugar a la tienda y encargar a unos alumnos que compren ciertos artículos, pero proveerlos con menos dinero de lo que cuesta. Así tendrán que contraer una deuda; o sea, poseen ahora una “cantidad negativa” de dinero. Después se les puede dar un monto adicional para que cancelen su deuda; y que observen: ¿Qué sucede si la cantidad de dinero adicional es mayor que la deuda que tenían? ¿y qué si es menor? – ¿Qué sucede si ya estoy endeudado, pero sigo gastando dinero? – ¿Qué sucede si me condonan (o disminuyen) una deuda? (Obviamente es lo mismo como si me regalasen la cantidad correspondiente de dinero.)

Alumnos que en su desarrollo todavía no han llegado al pensamiento abstracto (o sea, hasta los 12 a 14 años en la mayoría de los casos), necesitan primero hacer una buena cantidad de tales experiencias (¡más de lo que los profesores tradicionales asumen!). Después de hacer estas experiencias, se puede junto con ellos formular los principios descubiertos con palabras, y aplicarlos a operaciones más abstractas.

La enseñanza por principios tiene varias ventajas:

– Los principios son más fáciles de entender y de aprender, porque son sencillos.

– Los principios son más básicos y universales que las reglas burocráticas. O sea, tienen aplicación general. Una vez entendidos, los principios de los signos pueden aplicarse a situaciones de la vida real, y a operaciones más complicadas. Por ejemplo, si se introducen paréntesis, es fácil de entender que un signo ‘-‘ delante de un paréntesis invierte la dirección de todo lo que está dentro del paréntesis.
Las reglas burocráticas, en cambio, tienen aplicación solamente para el caso especial para el cual fueron creadas.

– La enseñanza basada en principios incentiva y entrena el pensamiento lógico y el razonamiento. La enseñanza burocrática, en cambio, entrena solamente el “funcionamiento” mecánico y rutinario.

– La enseñanza basada en principios provee una motivación para que el alumno siga investigando por su cuenta. Una vez que el alumno ha entendido el principio, él mismo puede aplicarlo a los distintos casos, y puede descubrir por sí mismo como “funciona” cada caso.

– Y no por último: La enseñanza basada en principios prepara al alumno a entrar en una relación correcta con Dios; porque Dios ha ordenado el universo, y la vida humana, a base de principios. Por tanto, existe una armonía y unión entre los distintos aspectos de la creación de Dios. Los principios ayudan a ver esta armonía y unión dentro de la matemática, y en la creación entera de Dios. El que aprende a hacer matemática, basado en principios, aprende también a ser fiel, honesto y consecuente en su vida personal.
La enseñanza burocrática, en cambio, enseña solamente una obediencia ciega a órdenes arbitrarias.

Unas notas adicionales:

– Cuando se presenta el significado del signo negativo como “invertir la dirección”, puede suceder un pequeño “choque mental” en los alumnos que anteriormente aprendieron que el signo negativo significa “caminar hacia atrás” (resp. “restar”). Se puede aliviar un poco este choque, explicando que anteriormente ellos conocían solamente los números positivos, o sea la dirección “hacia adelante”, y cuando se invierte esta dirección, necesariamente resulta un movimiento “hacia atrás”. O sea, se explica el caso del “restar” como un caso especial del principio más general, de que el signo ‘-‘ “invierte la dirección”.
Es cierto que entender esto, requiere ya un desarrollo mental bastante avanzado. Por eso no es recomendable introducir las operaciones con números negativos en los grados inferiores. (Aun en sexto grado puede todavía ser demasiado temprano para un buen número de los alumnos.) Es mejor esperar hasta que puedan realmente entenderlo, en vez de forzarlos a realizar operaciones que mentalmente no entienden. Según observo en mis alumnos, aquellos que fueron obligados a aprender estos temas a una edad demasiado temprana, siguen teniendo dificultades de entenderlo aun en los grados avanzados de la escuela secundaria. Vea “Esas neuronas mal conectadas”.

– Algunos alumnos tienen dificultades de entender que el signo se aplica siempre, y únicamente, a la expresión que le sigue. Por ejemplo, en la operación 17 – 9, el signo ‘-‘ se aplica al número 9, pero no al número 17. A menudo este problema se origina porque profesores y libros escolares presentan ejemplos mal escritos, donde el signo está colocado al lado equivocado. (Vea en la segunda parte de “Enseñanza de matemática: ¿Cuestión de burocracia o de principios?”.) Es importante ser consecuente en esto desde el primer grado, y asociar el signo siempre con el número que le sigue. Incluso para niños que recién empiezan a sumar y a restar, se pueden introducir expresiones como “-6”, como expresiones matemáticas válidas. Solamente que para niños de esta edad no se interpretará como un número negativo. En su lugar, se interpretará como una instrucción “Camina seis pasos hacia atrás.” El resultado de esta instrucción dependerá del número de donde uno empieza. Por ejemplo, si me encuentro en el número 10 y llevo a cabo esta instrucción, el resultado será 4. Esto corresponde a la operación 10 – 6 = 4. Pero el significado de la instrucción “-6” es siempre el mismo, independientemente del lugar de partida. Si la representamos con una flecha, será siempre una flecha hacia la izquierda y de longitud 6, sin importar en qué lugar de la recta numérica la colocamos. Así el niño puede entender que el signo afecta únicamente el número que le sigue, pero no el número que le precede.

– En una operación como (-5) – 9, algunos alumnos concluyen erróneamente que el resultado debe ser positivo porque “menos menos es igual a más“. Pero este problema también se resuelve fácilmente, una vez que el alumno entiende que el signo se aplica únicamente a la expresión que le sigue. Así podrá entender que en este ejemplo, el número 5 tiene un único signo ‘-‘ por delante, y el número 9 también. Ningún número en este ejemplo tiene el signo “menos menos”, o sea, una combinación de dos signos ‘-‘. Por tanto, ninguno de estos número invierte su dirección dos veces. El caso es diferente en este ejemplo: (-12) – (-7); aquí sí el número 7 tiene el signo “menos menos” (pero el 12 no).

 


Para familias educadoras y escuelas alternativas, los libros de la serie “Matemática activa” proveen un método de proveer a los niños un aprendizaje según las ideas esbozadas en este artículo.

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Maltrato de niños en las escuelas

En años pasados ya habíamos sido confrontados con algunos casos de niños que habían sido golpeados por sus profesores (resp. profesorAs; descubrimos que son más mujeres que hombres que se hacen culpables de esto). Normalmente avisamos a los padres y ellos iban a la escuela a hablar con la profesora, y así algunos casos mejoraron. En un caso tuvimos que ir nosotros mismos a hablar con la profesora, y aunque ella se negó, después ya no volvió a pegar a la niña afectada.

Pero últimamente aumentaron y se agravaron estos casos – o quizás mejor dicho, los niños tienen más confianza para hablar de ello, y posiblemente nuestra sensibilidad al problema ha aumentado. Empezamos a preguntar a los niños, y CADA UNO de ellos dijo que su profesor(a) pega a los niños; no solamente por razones disciplinarias, sino también cuando no habían terminado sus tareas en casa, o cuando sacaron una mala nota en un examen. Los niños escolares están siendo pegados con reglas, con palos y con ortigas (!), son jalados del cabello y de las pestañas (!); algunos profesores(as) hasta tienen la costumbre de bajar a los niños los pantalones ante toda la clase para darles nalgadas. Y lo más increíble: los padres lo saben, y en la mayoría de los casos, ¡lo aprueban!

Alguien me dijo que estas actitudes reflejan quizás la mentalidad de la zona donde vivimos (la sierra peruana), y que en otras zonas geográficas el problema podría ser menor … que los lectores me informen si esto es cierto.

Parece que muchos padres y profesores se imaginan que con estas presiones y estos maltratos, los niños aprendan más. Pero lo contrario es el caso: Muchos niños tienen horrendos miedos ante los exámenes, porque saben que serán castigados si sacan una mala nota. De esto resulta toda clase de fobias y neurosis. Entonces el miedo les hace olvidar todo, y rinden aun menos de lo que podrían.

Hemos dedicado una buena parte de una reunión de padres a esta problemática, y les dijimos que ellos como padres estaban en la obligación de defender a sus hijos contra el maltrato.
El resultado fue, que varios padres retiraron a sus hijos de nuestro refuerzo escolar, obviamente porque no quieren que alguien interfiera con su filosofía de “educar” a los niños maltratándolos. Algunos otros, en conversaciones posteriores, dijeron que estaban de acuerdo con nosotros, pero que no se atrevían a hacer nada en defensa de sus hijos, porque tenían miedo a las represalias de parte de los profesores y de la escuela.
Otros incluso dijeron que sí se habían quejado contra una profesora que maltrataba a los niños, pero que el director de la escuela había defendido a la profesora: “Ella es nuestra mejor profesora.” Además les habían dicho: “Si no les gusta, llévese pues a su hijo a otra escuela.” Pero esto no lo quieren hacer los padres porque “es muy difícil conseguir un cupo en otra escuela; y además no hay otra escuela buena por aquí.”

Una madre incluso fue obligada por una profesora a dar nalgadas a su hija de nueve años, en presencia de la profesora, porque la niña no había entendido una parte de su tarea. Como dijo la madre (y espero poder creerle), esa fue la única vez que ella pegó a su hija, y fue hace varios años; sin embargo, fue suficiente para dejar traumada a la niña de por vida. Ella es una niña inteligente, pero es una de las que más tiene miedo a las exámenes. Cuando le explicamos algo, normalmente lo entiende y lo puede hacer; pero cuando le damos la misma tarea y decimos “Es un examen”, su mente se queda en blanco y no puede resolver nada. Después la pregunté a qué tenía miedo, y ella dijo: “A que mi mamá me pegue cuando me saco una mala nota.”

Estamos horrorizados de que una madre se deje inducir a maltratar a su hija de esta manera, y que aun después de esto no esté dispuesta a sacarla de este colegio o por lo menos cambiar de profesora. Estamos horrorizados de que un colegio que permite y promueve tales maltratos, tenga la reputación del “mejor colegio de la ciudad” y de “colegio emblemático”. Estamos horrorizados de que esta situación se considere tan “normal”, que hasta ahora no hemos encontrado ninguna excepción entre los niños que atendemos. Estamos horrorizados de que después de 191 años de independencia del Perú, los niños de la nación entera todavía estén siendo educados en condiciones de esclavitud, y que el lema colonial “La letra con sangre entra” todavía está en plena vigencia.

Y por supuesto, me pregunto una vez más: ¿Dónde están los que se llaman cristianos? ¿Qué hacen las iglesias evangélicas?

Habiendo trabajado anteriormente quince años en el ámbito de las iglesias evangélicas del Perú, con un gran número de maestros de Escuela Dominical y líderes de iglesias, ni una sola vez se mencionó este problema. ¿Por qué tuve que salir primero fuera de las iglesias, para enterarme del calvario que sufren los niños peruanos diariamente? ¿Están los líderes evangélicos, inclusive los maestros de Escuela Dominical, tan ajenos al sufrimiento de los niños? ¿O acaso creen ellos también que esto es normal y bueno?

¿Nunca han leído lo que dice el Señor Jesús?

“Y cualquiera que haga tropezar a alguno de estos pequeños que creen en mí, mejor le fuera que se le colgase al cuello una piedra de molino de asno, y que se le hundiese en lo profundo del mar. (…) Mirad que no menospreciéis a uno de estos pequeños; porque os digo que sus ángeles en los cielos ven siempre el rostro de mi Padre que está en los cielos.”
(Mateo 18:6.10)

Por lo menos ya no somos los únicos indignados. La conocida psicóloga Lupe Maestre, en su programa radial “Confidencias” (Radio RPP), hizo un llamado expresivo a los padres y profesores, a que paren este maltrato de los niños en las escuelas, después de que una niña de once años llamó a la radio para decir que su profesor la pega con un palo cuando no tiene las tareas hechas, y que su madre no hace nada para defenderla.

Pero nos entristece que al parecer no hay cristianos que se interesen en hacer algo a favor de los niños. Nos vuelve a suceder lo mismo como ya en otros asuntos: Nos vemos obligados a entrar en una alianza con no cristianos si queremos alcanzar una meta que debería interesar a los cristianos; o en caso contrario, nos quedamos solos y no podemos hacer mucho.

Deseo aclarar que este maltrato de los niños en las escuelas no tiene nada que ver con la “vara” mencionada en el libro de Proverbios. Primero, el poder de la “vara” está entregado única y exclusivamente a los padres, y ninguna otra persona tiene derecho a ello, ni a obligar a un padre a que haga uso de ello (como lo hizo la mencionada profesora).
Además, el uso de la “vara” se limita exclusivamente a los casos de desobediencia premeditada, rebelde y obstinada, o sea, cuando un niño decide conscientemente y por principio oponerse a la autoridad de sus padres y a sus demandas justificadas y razonables. Estos casos ocurren con poca frecuencia.
(El conocido psicólogo cristiano Dr. James Dobson dice que aun en estos casos, el castigo físico ya no debería ser necesario, o en muy raros casos, después de los seis años de edad.)

Nada de lo mencionado se aplica a los casos descritos aquí. Cuando un niño no comprende sus tareas escolares o saca una mala nota en un examen, esto no es ninguna culpa ni desobediencia. Al contrario, si alguien tiene culpa aquí, es el profesor o la profesora, porque es responsabilidad del profesor, explicar las tareas de tal manera que los niños lo entiendan.

¿Alguien conoce alguna persona, organización o iniciativa (especialmente cristianos, y especialmente en el Perú) que se dedique a la defensa de los niños contra los maltratos y abusos de parte de sus profesores?
¿Y qué hace usted mismo(a) al respecto?

He enviado este llamado dos veces a todos los integrantes de nuestra lista de correos electrónicos, y recibí una sola respuesta (de un misionero extranjero que no tenía información al respecto). Esto es aun más triste: aun los amigos de nuestra obra, personas que desean estar informados sobre los avances de la obra con niños y de la obra de Dios en general, parecen estar totalmente indiferentes ante el sufrimiento de los niños escolares.

“Libra a los que son llevados a la muerte;
salva a los que están en peligro de muerte.
Porque si dijeres: Ciertamente no lo supimos,
¿Acaso no lo entenderá el que pesa los corazones? … ”
(Proverbios 24:11-12)

Al propósito, aumentan también los casos donde los niños son cargados con tareas excesivas, demasiado difíciles y sin sentido. Últimamente tuvimos a un buen número de alumnos que no podían terminar sus tareas dentro de las tres horas que están con nosotros; y ni siquiera pudimos explicarles algo acerca de los temas que no entendían, porque dijeron: “Tengo que avanzar mi tarea, tengo que terminar”, y ni siquiera pudieron escuchar. Tampoco quisieron salir a jugar en el recreo: “La profesora nos va a pegar si se entera de que hemos jugado en el refuerzo escolar.” – Una madre nos comentó que su hijo de tan solo nueve años a veces se queda haciendo tareas hasta medianoche.

Esto de por sí ya es un abuso, como dijo acertadamente John Holt:

“Niños de 12 años tienen días escolares muy largos, y además dos, tres o más horas de tareas en casa, y aun más durante los fines de semana. Aun antes de llegar a la secundaria, la escuela sujeta a muchos niños a una semana de trabajo de 70 horas o más. Desde los días brutales de la Revolución Industrial, los niños nunca fueron obligados a trabajar tantas horas hasta hoy.”

(La Constitución Política del Perú prohíbe someter a alguien a una semana de trabajo de más de 48 horas; pero como parece, ¿esto no se aplica a los niños escolares?)

No solo la cantidad, también el contenido de las tareas es completamente inapropiado para la edad de los niños. Los libros escolares que comúnmente se usan, están en sus exigencias entre dos a cinco (!) años adelantados al desarrollo mental promedio de los niños que tienen que usarlos.
Ya sabíamos acerca de los posibles daños que estas exigencias irrazonables pueden causar en el desarrollo de los niños, por las investigaciones de Raymond y Dorothy Moore ( http://www.altisimo.net/escolar/moore.htm ), y los hallazgos de Jean Piaget acerca del desarrollo de la inteligencia (los que cada profesor debería conocer, pero al parecer los profesores y los planificadores escolares del Perú no los conocen; o si los conocen, no entienden su significado.)
– Pero hace poco encontré unos datos adicionales, según los cuales los daños son aun más graves de lo que supuse, y especialmente en cuanto al desarrollo del cerebro. Si un niño es obligado a aprender conceptos demasiado abstractos, sin estar mentalmente listo para ello, su cerebro se organiza de una manera deficiente, y esto obstaculiza su aprendizaje posterior. De manera que esta forma de “acelerar” a los niños puede, en el peor de los casos, estropear toda su carrera futura. (Vea “Esas neuronas mal conectadas”.)

¿Hay alguien a quien le importa todo eso?

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