Educación Cristiana Alternativa

Educación es algo muy diferente de lo que usted piensa …

Anuncio: Cursos de matemática para familias educadoras – Nuevamente abiertos

En esta oportunidad puedo anunciarles que el curso por internet, “Matemática activa para familias educadoras“, está nuevamente abierto. Decidí ofrecerlo esta vez sin fechas fijas; cada participante puede comenzar y terminar cuando desea. El curso contiene proyectos prácticos, creativos, para padres e hijos juntos, y se basa en los siguientes principios pedagógicos:

1. Aprender matemática con la actividad propia y con operaciones concretas.
2. Aprender matemática según el nivel de desarrollo del niño.
3. Aprender matemática basada en principios.
4. Aprender matemática por investigación propia.

Adicionalmente contiene desafíos para los adultos, para entrenar su propio pensamiento matemático.

Por primera vez se ofrece también un curso de seguimiento para familias con niños de 5 a 10 años, “Operaciones básicas con regletas Cuisenaire“. Este curso introduce los conceptos básicos de la aritmética de una manera más sistemática, manteniendo a la vez el enfoque lúdico, activo e investigativo del curso introductorio. Aunque los conceptos matemáticos en este curso son muy básicos, recomiendo fuertemente estudiar el curso introductorio primero, porque este segundo curso asume que los participantes ya tienen cierta experiencia en la aplicación de los principios pedagógicos arriba mencionados.

La inversión de tiempo recomendada para cada uno de estos cursos es de 8 horas por semana durante 12 semanas. La mitad de este tiempo corresponde a la realización práctica de los proyectos junto con los niños.

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Curso por internet acerca del aprendizaje de matemática en familia

Actualmente me encuentro ocupado con los preparativos para un curso que se ofrecerá por internet de manera gratuita, acerca de métodos activos y creativos para aprender matemática. Más informaciones acerca del contenido se encuentran en esta página.

Durante el año pasado hice diversas experiencias como estudiante de cursos por internet. Al inicio estuve un poco desconfiado: ¿Qué experiencia educativa adicional podría brindar un tal curso, si yo podría simplemente estudiar los mismos materiales completamente por mi cuenta? ¿Y cómo se podría evaluar un aprendizaje a la distancia y de manera computarizada, excepto mediante preguntas de selección múltiple (las cuales no pueden adecuadamente medir el “conocimiento” de una persona)? – De hecho existen cursos a distancia que no hacen nada más que usar la tecnología nueva para propagar el mismo modelo educativo viejo de memorización rutinaria y repetición mecánica. Pero encontré que existen también cursos innovadores, que realmente logran reproducir gran parte de la experiencia de aprendizaje que uno esperaría de una buena universidad (no de una “escolarizada” como es el caso de la mayoría de las universidades peruanas). Y esto incluso en cursos que tienen varios miles de estudiantes. En otro artículo aparte describiré algunos de los ingredientes que contribuyen a un buen curso por internet.

Así que me animé a ofrecer también un curso en línea. Al meterme en este trabajo, aprecio ahora aun más el esfuerzo de los docentes que ofrecen tales cursos, muchos de ellos aun en forma gratuita (puesto que esta forma de educación se encuentra todavía en una fase experimental). Un curso por internet – sobre todo si el número de estudiantes puede ser grande – necesita una planificación muy distinta de un curso presencial. Y en particular la producción de buenos videos instructivos requiere mucho tiempo y dedicación; pero este elemento es hoy en día casi “obligatorio” en un tal curso. Estoy entonces bien ocupado.

Un problema particular surgió en el momento de elegir una plataforma de internet donde ofrecer el curso. Había encontrado una que ofrece (casi) todas las posibilidades técnicas que yo deseaba, y que no cobra por cursos que se ofrecen de manera gratuita. Pero después de enviar mi formulario de registración, me informaron que aceptarían solamente cursos por “instituciones educativas formales”. (Este detalle no se mencionaba en ninguna parte de su página web.) Así que también entre las empresas de educación “online” – las que deberían ser la vanguardia de la innovación en la educación – existen algunas que todavía adhieren a creencias de la retaguardia. Por ejemplo la creencia de que el hecho de que una institución sea “formal” o “reconocida por el estado”, garantice la calidad de su enseñanza. Lo irónico es que los pioneros de la educación por internet en Estados Unidos (los que en su mayoría provienen de instituciones reconocidas como la Universidad de Stanford o el Massachusetts Institute of Technology), predicen que estas mismas “instituciones educativas formales” pronto se volverán obsoletas.

Estará por verse entonces si la mencionada empresa se deja convencer de que una organización para el apoyo de la educación en casa puede también proveer una enseñanza de calidad, o si tendré que optar por otra plataforma que ofrezca menos posibilidades técnicas, pero que sea verdaderamente “abierta”. Volveré a informar tan pronto como mi curso tendrá un “hogar” definitivo.

 

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Enseñanza de matemática por principios, no por burocracia: Un ejemplo concreto

En un artículo anterior (“Enseñanza de matemática: ¿Cuestión de burocracia o de principios?”) he contrastado la enseñanza escolar usual de la matemática (o sea, la enseñanza burocrática) con una enseñanza basada en principios. Deseo añadir a este artículo un ejemplo para ilustrar un poco más estas dos formas de enseñanza.

Tomaré como un ejemplo un tema que causa dificultades a un buen número de alumnos: Las sumas y restas con números negativos, y las leyes de signos relacionadas con estas operaciones.

Ejemplo de una enseñanza burocrática

En los libros escolares, este tema es comúnmente presentado de una manera parecida a lo siguiente:

Suma de dos números positivos:
Se suman los dos sumandos, y el resultado recibe el signo positivo.

Suma de un número positivo con un número negativo:
Se toman los valores absolutos de los dos sumandos y se resta el menor del mayor. Después hay que distinguir dos casos:
Si el valor absoluto del sumando positivo es mayor, el resultado recibe el signo positivo.
Si el valor absoluto del sumando negativo es mayor, el resultado recibe el signo negativo.

Suma de un número negativo con un número positivo:
Se toman los valores absolutos de los dos sumandos y se resta el menor del mayor. Después hay que distinguir dos casos:
Si el valor absoluto del sumando positivo es mayor, el resultado recibe el signo positivo.
Si el valor absoluto del sumando negativo es mayor, el resultado recibe el signo negativo.

Suma de dos números negativos:
Los valores absolutos de los dos sumandos se suman, y el resultado recibe el signo negativo.

Resta de dos números positivos:
Si el minuendo es mayor, se resta el sustraendo del minuendo, y el resultado recibe el signo positivo.
Si el sustraendo es mayor, se resta el minuendo del sustraendo, y el resultado recibe el signo negativo.

Restar un número positivo de un número negativo:
Se toman los valores absolutos del minuendo y del sustraendo, y se suman. El resultado recibe el signo negativo.

Restar un número negativo de un número positivo:
Se toman los valores absolutos del minuendo y del sustraendo, y se suman. El resultado recibe el signo positivo.

Resta de dos números negativos:
Se toman los valores absolutos del minuendo y del sustraendo.
Si el valor absoluto del minuendo es mayor, se resta el valor absoluto del sustraendo del valor absoluto del minuendo, y el resultado recibe el signo negativo.
Si el valor absoluto del sustraendo es mayor, se resta el valor absoluto del minuendo del valor absoluto del sustraendo, y el resultado recibe el signo positivo.”

Así procede la enseñanza burocrática. El alumno tiene que memorizar ocho casos distintos, cada uno con un procedimiento diferente. Algunos de estos casos incluso requieren distinguir entre dos sub-casos, de manera que en total tenemos doce prodecimientos distintos, y desconectados los unos de los otros. La enseñanza burocrática exige que el alumno memorice estos doce procedimientos, y después los aplique mecánicamente a los ejercicios.

Para evitar todo malentendido, tengo que decir enfáticamente que esta es la peor forma de presentar este tema. Si por casualidad usted tomó el ejemplo arriba como un ejemplo positivo, entonces tengo que diagnosticar que usted ha sido malformado por una enseñanza excesivamente burocrática. Tendrá que estudiar detenidamente el artículo original, “Enseñanza de matemática: ¿Cuestión de burocracia o de principios?”

¿Qué sucede si los alumnos son enseñados de esta manera?
Primeramente, reciben la impresión de que se trata de un tema sumamente difícil. ¡Doce procedimientos diferentes! Hay que aprenderlos todos, y además saber como distinguir entre los distintos casos que se presentan en los ejercicios. Así que desde el inicio, el alumno se siente desanimado y está predispuesto a equivocarse.
Muchos alumnos ni siquiera entienden el lenguaje en el cual se presenta el tema. ¿Qué es un “sumando negativo”? ¿Qué es un “valor absoluto”? (Algunos libros escolares emplean aun mucho más palabras que yo en mi pequeño ejemplo.) Para un alumno que todavía no ha llegado a la etapa del pensamiento abstracto, una tal descripción es como si fuera en chino o en japonés.
Supongamos que nuestro alumno logra, con mucho esfuerzo, memorizar estos procedimientos y aplicarlos correctamente. Aun después de esto, todavía no ha entendido realmente como funciona la suma y la resta, porque nunca se le enseña la conexión de estos distintos casos entre sí. Aun si sabe estos procedimientos de memoria, todavía le parecen incomprensibles y difíciles. Cuando se añade algún nuevo aspecto a las operaciones (p.ej. introduciendo paréntesis, o aplicando la ley conmutativa), el alumno quedará nuevamente perdido y no sabrá qué hacer. (Hasta que haya memorizado otros tantos procedimientos distintos y desconectados de los anteriores.)
Puesto que le falta el verdadero entendimiento, el alumno lo vuelve a olvidar todo, tan pronto como el examen sobre el tema pasó. Con toda su memorización no ha adquirido ningún “sentir” de lo que es la suma y la resta.

Ejemplo de una enseñanza basada en principios

Para profesores y alumnos que han aprendido a pensar matemáticamente, dos principios sencillos son suficientes para abarcar este tema completamente – aun incluyendo conmutaciones, paréntesis y todo eso. Estos principios pueden visualizarse fácilmente usando movimientos “hacia adelante” y “hacia atrás”, por ejemplo en una recta numérica:

El signo positivo significa avanzar en la misma dirección.

El signo negativo significa invertir la dirección.

Solamente tenemos que acordar adicionalmente que “la misma dirección” por defecto (o sea, cuando no está definida por ningún signo) es la dirección “hacia adelante”, o sea, aumentando. Pero esto es algo que se entiende por sí mismo, porque cada alumno aprendió a sumar y a restar primero con los números positivos. Eso es lo más natural del mundo; por eso se llaman “números naturales”.

(Nota al margen: La enseñanza burocrática está obsesionada con definir las cosas más sencillas con palabras complicadas. Algo que se entiende por sí mismo, no necesita definición. Las definiciones innecesarias solamente oscurecen el sentido de las cosas, en vez de explicarlas.)

Estos dos principios sencillos son mucho más fáciles de comprender y recordar, que los doce procedimientos del primer ejemplo. Además, contienen algo de la “esencia” de lo que es la suma y la resta. Estos dos principios dan a entender algo de la unidad inherente de las leyes de la matemática.

Por ejemplo, las reglas del primer ejemplo distinguen entre un signo ‘-‘ que significa “restar”, y otro signo ‘-‘ que significa “número negativo”. Así se complica el asunto. Pero en realidad, esta distinción es innecesaria. Matemáticamente, el signo ‘-‘ significa en ambos casos exactamente lo mismo: Invertir la dirección acostumbrada.
Así por ejemplo, 4 – 3 es exactamente lo mismo como 4 + (-3). El signo ‘-‘ delante del número 3 significa “Muévete hacia atrás, en vez de ir adelante”; y el signo ‘+’ no cambia nada en esto. Por eso, en la forma “4 – 3”, se sobreentiende el signo ‘+’ delante de los números. (Podríamos también escribir 4 – (+3), o incluso (+4) – (+3), y seguiría siendo lo mismo.)

Además, las reglas del primer ejemplo colocan al resultado a veces un signo positivo, y a veces un signo negativo – aparentemente sin ningún motivo particular. ¿Es esto por el capricho de algún profesor de matemática que quiere dificultarnos la vida? – No, aquí hay también una razón lógica. Después de hacer todos los movimientos prescritos por los signos ‘+’ y ‘-‘, nos quedaremos finalmente en uno de los lados de la recta numérica – a la derecha o a la izquierda del cero. Al visualizar y probar algunos ejemplos, el alumno pronto se dará cuenta de qué depende si el resultado cae al lado positivo o al lado negativo. Por ejemplo, al calcular (-8) – 4, comenzamos por el lado negativo, y nos desplazamos aun más hacia la izquierda. Entonces es lógico que al final seguimos a la izquierda del cero, o sea, en el lado negativo.

Con los dos principios mencionados queda también claro por qué restar un número negativo equivale a sumar un número positivo: El primer signo ‘-‘ invierte la dirección de “avanzar” a “retroceder”. Si aplicamos un segundo signo ‘-‘ al mismo número, la dirección se invierte otra vez a “avanzar”. Por tanto, dos signos ‘-‘ combinados equivalen a un signo ‘+’.

Ahora, la idea no es que estos principios se aprendan “memorizando” o “copiando”. Mucho mejor se aprenden experimentando con ellos. Por ejemplo, que el alumno dibuje diferentes “viajes” sobre la recta numérica, indicando sus movimientos con flechas hacia adelante y hacia atrás. O que manipule flechas cortadas de cartón sobre una recta numérica grande dibujada en la mesa. O que camine sobre una recta numérica aun más grande dibujada en el piso, contando sus pasos. Y esto no solamente con unos ejercicios prefabricados del libro escolar: es mucho mejor incentivar al alumno que él se plantee y resuelva sus propios problemas. Así se acostumbrará a investigar por sí mismo. Los conocimientos que uno investiga y descubre por sí mismo, son mucho más duraderos que los que se reciben pasivamente por dictado o copiado.
En el transcurso de estas experiencias se puede transmitir la idea de que, según nuestros principios, “tres pasos hacia atrás” puede escribirse como “-3”, “+(-3)” ó “-(+3)”, y “cinco pasos hacia adelante” se puede escribir como “+5”, “+(+5)”, ó “-(-5)”. (Enseñados de esta manera, los alumnos inteligentes pronto se darán cuenta de que existen todavía más formas de escribir sumas y restas. Por ejemplo, “tres pasos hacia atrás” se podría también escribir así: “-(+(-(-3)))”. )

Otra forma de “experimentar” con estos principios, consiste en aplicarlos a los conceptos financieros de ingresos, gastos y deudas. Por ejemplo, se puede jugar a la tienda y encargar a unos alumnos que compren ciertos artículos, pero proveerlos con menos dinero de lo que cuesta. Así tendrán que contraer una deuda; o sea, poseen ahora una “cantidad negativa” de dinero. Después se les puede dar un monto adicional para que cancelen su deuda; y que observen: ¿Qué sucede si la cantidad de dinero adicional es mayor que la deuda que tenían? ¿y qué si es menor? – ¿Qué sucede si ya estoy endeudado, pero sigo gastando dinero? – ¿Qué sucede si me condonan (o disminuyen) una deuda? (Obviamente es lo mismo como si me regalasen la cantidad correspondiente de dinero.)

Alumnos que en su desarrollo todavía no han llegado al pensamiento abstracto (o sea, hasta los 12 a 14 años en la mayoría de los casos), necesitan primero hacer una buena cantidad de tales experiencias (¡más de lo que los profesores tradicionales asumen!). Después de hacer estas experiencias, se puede junto con ellos formular los principios descubiertos con palabras, y aplicarlos a operaciones más abstractas.

La enseñanza por principios tiene varias ventajas:

– Los principios son más fáciles de entender y de aprender, porque son sencillos.

– Los principios son más básicos y universales que las reglas burocráticas. O sea, tienen aplicación general. Una vez entendidos, los principios de los signos pueden aplicarse a situaciones de la vida real, y a operaciones más complicadas. Por ejemplo, si se introducen paréntesis, es fácil de entender que un signo ‘-‘ delante de un paréntesis invierte la dirección de todo lo que está dentro del paréntesis.
Las reglas burocráticas, en cambio, tienen aplicación solamente para el caso especial para el cual fueron creadas.

– La enseñanza basada en principios incentiva y entrena el pensamiento lógico y el razonamiento. La enseñanza burocrática, en cambio, entrena solamente el “funcionamiento” mecánico y rutinario.

– La enseñanza basada en principios provee una motivación para que el alumno siga investigando por su cuenta. Una vez que el alumno ha entendido el principio, él mismo puede aplicarlo a los distintos casos, y puede descubrir por sí mismo como “funciona” cada caso.

– Y no por último: La enseñanza basada en principios prepara al alumno a entrar en una relación correcta con Dios; porque Dios ha ordenado el universo, y la vida humana, a base de principios. Por tanto, existe una armonía y unión entre los distintos aspectos de la creación de Dios. Los principios ayudan a ver esta armonía y unión dentro de la matemática, y en la creación entera de Dios. El que aprende a hacer matemática, basado en principios, aprende también a ser fiel, honesto y consecuente en su vida personal.
La enseñanza burocrática, en cambio, enseña solamente una obediencia ciega a órdenes arbitrarias.

Unas notas adicionales:

– Cuando se presenta el significado del signo negativo como “invertir la dirección”, puede suceder un pequeño “choque mental” en los alumnos que anteriormente aprendieron que el signo negativo significa “caminar hacia atrás” (resp. “restar”). Se puede aliviar un poco este choque, explicando que anteriormente ellos conocían solamente los números positivos, o sea la dirección “hacia adelante”, y cuando se invierte esta dirección, necesariamente resulta un movimiento “hacia atrás”. O sea, se explica el caso del “restar” como un caso especial del principio más general, de que el signo ‘-‘ “invierte la dirección”.
Es cierto que entender esto, requiere ya un desarrollo mental bastante avanzado. Por eso no es recomendable introducir las operaciones con números negativos en los grados inferiores. (Aun en sexto grado puede todavía ser demasiado temprano para un buen número de los alumnos.) Es mejor esperar hasta que puedan realmente entenderlo, en vez de forzarlos a realizar operaciones que mentalmente no entienden. Según observo en mis alumnos, aquellos que fueron obligados a aprender estos temas a una edad demasiado temprana, siguen teniendo dificultades de entenderlo aun en los grados avanzados de la escuela secundaria. Vea “Esas neuronas mal conectadas”.

– Algunos alumnos tienen dificultades de entender que el signo se aplica siempre, y únicamente, a la expresión que le sigue. Por ejemplo, en la operación 17 – 9, el signo ‘-‘ se aplica al número 9, pero no al número 17. A menudo este problema se origina porque profesores y libros escolares presentan ejemplos mal escritos, donde el signo está colocado al lado equivocado. (Vea en la segunda parte de “Enseñanza de matemática: ¿Cuestión de burocracia o de principios?”.) Es importante ser consecuente en esto desde el primer grado, y asociar el signo siempre con el número que le sigue. Incluso para niños que recién empiezan a sumar y a restar, se pueden introducir expresiones como “-6”, como expresiones matemáticas válidas. Solamente que para niños de esta edad no se interpretará como un número negativo. En su lugar, se interpretará como una instrucción “Camina seis pasos hacia atrás.” El resultado de esta instrucción dependerá del número de donde uno empieza. Por ejemplo, si me encuentro en el número 10 y llevo a cabo esta instrucción, el resultado será 4. Esto corresponde a la operación 10 – 6 = 4. Pero el significado de la instrucción “-6” es siempre el mismo, independientemente del lugar de partida. Si la representamos con una flecha, será siempre una flecha hacia la izquierda y de longitud 6, sin importar en qué lugar de la recta numérica la colocamos. Así el niño puede entender que el signo afecta únicamente el número que le sigue, pero no el número que le precede.

– En una operación como (-5) – 9, algunos alumnos concluyen erróneamente que el resultado debe ser positivo porque “menos menos es igual a más“. Pero este problema también se resuelve fácilmente, una vez que el alumno entiende que el signo se aplica únicamente a la expresión que le sigue. Así podrá entender que en este ejemplo, el número 5 tiene un único signo ‘-‘ por delante, y el número 9 también. Ningún número en este ejemplo tiene el signo “menos menos”, o sea, una combinación de dos signos ‘-‘. Por tanto, ninguno de estos número invierte su dirección dos veces. El caso es diferente en este ejemplo: (-12) – (-7); aquí sí el número 7 tiene el signo “menos menos” (pero el 12 no).

 


Para familias educadoras y escuelas alternativas, los libros de la serie “Matemática activa” proveen un método de proveer a los niños un aprendizaje según las ideas esbozadas en este artículo.

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Esas neuronas mal conectadas

Las dificultades de aprendizaje, ¿tienen que ver algo con que el cerebro de un niño esté organizado de manera equivocada, o ineficaz? Y si es así, ¿esta mala organización del cerebro puede haber sido causado por la enseñanza escolar?

Varias investigaciones dicen que sí. Pero antes de examinar la evidencia científica, veremos un ejemplo de la práctica.

Un alumno de segundo grado de secundaria está pidiendo ayuda para sus tareas. “¿De qué se trata?” – “Preposiciones – Proposiciones – no recuerdo bien la palabra, pero era algo de posiciones.” – “A ver, muéstrame tu cuaderno.” – “Aquí está – ah: Proporciones.” – Durante las siguientes tres horas estamos ocupados con problemas como este:
“En una fábrica, 12 máquinas producen 126 piezas en 7 días. Si la fábrica adquiere dos máquinas más, ¿cuántas piezas se fabricarán en 10 días?”
Los problemas no son excesivamente difíciles. Y es una clase de problemas que ocurre con más frecuencia en la vida real. Toda ama de casa, junto con su hijo que le ayuda a hacer compras, se ve confrontada de vez en cuando con una situación como esta: En una tienda venden huevos por kilo, 16 huevos a 4.50. En la otra tienda venden la docena de huevos a 3.50. ¿Dónde es más económico?
Pero mi alumno tiene una lucha tremenda. En sus cálculos, cada rato se olvida cuál número va arriba, cuál número abajo; y a menudo sus multiplicaciones y divisiones le salen mal. Se queda atrapado en los detalles del procedimiento mecánico, y no llega a captar el principio de lo que es una proporción. (Vea también: “Aprender matemática: ¿cuestión de burocracia o de principios?”.)
Y eso que en realidad es un principio muy sencillo. Dos magnitudes son proporcionales cuando aumentan o disminuyen juntos de una manera “armoniosa”. O sea, aumentan o disminuyen juntos por el mismo factor. Si una parte se duplica, la otra parte se duplica también. Si una parte se reduce a la décima parte, la otra parte también. Como en este gráfico, que muestra como un dibujo se agranda de manera proporcional:

Es un principio que recurre frecuentemente en la matemática: en las operaciones de fracciones equivalentes; en las figuras geométricas semejantes; en la ecuación de una recta. Y en la vida diaria en la relación entre cantidad y precio de un producto; entre velocidad y distancia recorrida; etc. Mi joven amigo es bastante inteligente; sin embargo, tiene mayores dificultades para captar este principio.

– Unas semanas después, el mismo alumno trae tareas relacionadas con otro tema: Funciones lineales y sus gráficos. Haciendo unos ejemplos y analizando unos gráficos, con bastante facilidad llega a entender los principios más importantes. Por ejemplo, si escribimos la ecuación en la forma y = ax + b, que la constante b corresponde al tramo del eje y que es cortado por la recta (donde x es cero); y que el coeficiente a corresponde a la inclinación de la recta. – Solamente que mi alumno dificulta, una vez más, en los detalles técnicos de las multiplicaciones y divisiones.

¿Por qué este tema de las funciones fue “fácil” para él, mientras el tema de las proporciones le fue “difícil”? – Es que él ya fue obligado a resolver problemas con proporciones mientras estaba en la escuela primaria y tenía tan solamente diez años de edad. Y fue enseñado a hacerlo mecánicamente (“este número va aquí y este otro número va allá”), sin experimentarlo en la vida real, y sin entender los principios. En cambio, con el análisis de funciones no le torturaban durante sus años de primaria.

Ahora, esto sorprenderá a mis lectores – por lo menos a aquellos que fueron formados en los caminos del sistema escolar dominante. Pero lo estoy observando con tanta regularidad que ya se ha vuelto algo predecible: Los alumnos de secundaria tienen sus mayores dificultades en aquellos temas que ya les fueron enseñados en la primaria. Dificultan menos en aquellos temas que aprenden en la secundaria por primera vez. Obviamente, la clase de enseñanza que recibieron en la primaria, no les ayudó a entender nada.

Veremos ahora algunas investigaciones que corroboran esta observación.

El pionero en la investigación del desarrollo de la inteligencia, Jean Piaget, descubrió que el cerebro de un alumno de primaria funciona mayormente a base de “operaciones concretas”: tocando y manipulando objetos, haciendo experiencias de la vida real… – pero no funciona con conceptos abstractos. Esta “fase de las operaciones concretas” comienza, en promedio, entre los siete y ocho años de edad, y puede durar hasta los trece años o más tarde, cuando por fin la capacidad del pensamiento abstracto se desarrolla plenamente. En las propias palabras de Piaget:

“Hasta esa edad (once a doce años), las operaciones de la inteligencia infantil son únicamente ‘concretas’, es decir, que no se refieren más que a la realidad en sí misma y, especialmente, a los objetos tangibles que pueden ser manipulados y sometidos a experiencias efectivas. (…) En cambio, si pedimos a los sujetos que razonen sobre simples hipótesis, sobre un enunciado puramente verbal de los problemas, inmediatamente pierden pie y vuelven a caer en la intuición prelógica de los pequeños. Por ejemplo, todos los niños de nueve a diez años saben poner en serie los colores mejor aún que las magnitudes, pero son totalmente incapaces de resolver una cuestión como la siguiente, incluso puesta por escrito: ‘Edith tiene los cabellos más oscuros que Lili. Edith es más rubia que Suzanne. ¿Cuál de las tres tiene los cabellos más oscuros?’ Responden en general que, dado que Edith y Suzanne son rubias, es Lili la que tiene el pelo más oscuro. (…) No alcanzan, por consiguiente, en el plano verbal, más que una seriación por parejas incoordinadas a la manera de los pequeños de cinco o seis años con las seriaciones concretas. Y es por esto, en particular, por lo que sienten tanta dificultad en resolver en la escuela problemas de aritmética que se refieren, sin embargo, a operaciones bien conocidas: si manipulasen los objetos, razonarían sin obstáculos, mientras que los mismos razonamientos en apariencia, pero exigidos en el plano del lenguaje y de los enunciados verbales, constituyen de hecho, otros razonamientos mucho más difíciles, ya que están ligados a simples hipótesis sin realidad efectiva.”
(Jean Piaget, “El desarrollo mental del niño”)

Entonces tenemos un primer problema con el método de enseñanza en la escuela primaria: Copiar palabras o escribir números en un cuaderno no es una operación concreta; es un método sumamente abstracto. Como tal, no es adecuado para el cerebro de un niño. En resultado, el niño hace sus tareas mecánicamente, pero no entiende lo que hace. El matemático Paul Lockhart dice al respecto:

“¿Para qué quiere usted que los niños pequeños sepan sumar 427 más 389? Esta no es la clase de preguntas que hacen los niños de ocho años normalmente. Aun muchos adultos no comprenden completamente la aritmética de valor posicional en el sistema decimal. ¿Y usted espera que los alumnos de tercer grado tengan un concepto claro? ¿O no le importa si ellos lo hacen entendiendo o no? Es simplemente demasiado temprano para esta clase de entrenamiento técnico. Por supuesto que se puede hacer, pero a lo largo hace más daño que bien.”
En: “A Mathematician’s Lament” (El lamento de un matemático), por Paul Lockhart

Raymond y Dorothy Moore han coleccionado cientas de investigaciones acerca de la pregunta: ¿Cuál es la edad apropiada para que un niño sea sometido a una enseñanza formal (como la que sucede en la escuela)? Los resultados coincidieron en que la mayoría de los niños no alcanzan la madurez requerida (física, emocional y mental) antes de los ocho a diez años de edad. (Vea “Mejor tarde que temprano”.) Antes de esta edad, los niños deberían hacer trabajos manuales y creativos, dibujar y pintar, tener la oportunidad de experimentar con una gran variedad de materiales (arena y agua; semillas; madera; plastilina; retazos de tela y lana; etc), escuchar cuentos, jugar con bloques de madera o con juegos de tablero, jugar al aire libre, cultivar un jardín, preparar una comida, acompañar a sus padres en los quehaceres de la vida diaria, ayudar a personas que necesitan ayuda, etc. – pero no deberían estar sentados inmóviles en un aula, resolviendo problemas abstractos de un libro escolar. Según la evidencia presentada por los Moore, un niño experimentará problemas en su desarrollo más tarde, si comienza sus estudios escolares tan temprano como a los seis o cinco años.

Con esto concuerda la experiencia de Finlandia, un país que se encuentra en los primeros lugares en la comparación internacional del rendimiento escolar:

“Los alumnos de secundaria aquí (en Finlandia) reciben raras veces más de media hora de tareas por la tarde. No tienen uniformes escolares, no tienen sociedades honorarias, no tienen clases especiales para los alumnos dotados. Hay pocos exámenes estandarizados; pocos padres agonizan por hacer entrar a sus hijos a la universidad; y los niños no entran a la escuela hasta que hayan cumplido los 7 años. Pero en la comparación internacional, los adolescentes finlandeses están entre los más inteligentes del mundo.
Ellen Gamerman, “Why are Finnish kids so smart?” (¿Qué hace que los niños finlandeses sean tan inteligentes?), en WSJ.com

Tenemos entonces un segundo problema: La edad a la cual el sistema escolar trata de forzar sus conceptos sobre los niños. ¡La mayoría de los niños escolares no pueden comprender lo que su profesor intenta enseñarles! Simplemente porque su cerebro todavía no está listo para ello.

Acerca de las operaciones matemáticas básicas dice Piaget:

“Sabemos que durante la primera infancia sólo los primeros números son accesibles al sujeto porque son números intuitivos que corresponden a figuras perceptibles. La serie indefinida de los números y, sobre todo, las operaciones de suma (y su inversa, la resta) y de multiplicación (con su inversa, la división) no son, en cambio, accesibles por término medio hasta después de los siete años.
(Jean Piaget, “El desarrollo mental del niño”)

Una investigación más detallada acerca de operaciones matemáticas específicas, encontró lo siguiente:

“Durante un período de varios años y en cientas de ciudades, el ‘Comité de los Siete’ investigó para determinar la edad mental a la que determinados temas podían enseñarse de manera ‘acabada’. Típicamente, ellos encontraron que la suma de fracciones homogéneas requirió una edad mental de 10 a 11 años, y la suma de fracciones heterogéneas, 14 a 15 años. La división entre números de dos cifras requirió una edad mental de 12 a 13 años.
En: “What does Research say about Arithmetic?” (¿Qué dice la investigación acerca de la aritmética?), por Vincent J. Glennon and C. W. Hunnicutt, Asociación Nacional de Educación de los EEUU, Washington D.C.

(La “edad mental” es el nivel de desarrollo mental que corresponde al promedio de la población de dicha edad.) Esto significa que la gran mayoría de los alumnos de primaria no pueden realmente comprender las operaciones aquí mencionadas. Sin embargo, ¡el sistema escolar obliga a niños de ocho años a calcular con fracciones! No es extraño entonces, que los niños salgan confundidos. Estos niños podrían rendir mucho más, y con mucho menos horas académicas y mucho menos estrés, si les permitiríamos simplemente ser niños durante algunos años más.

“Pero mis hijos / mis alumnos están haciendo estas operaciones y lo pueden”, dirá alguien por allí. Sí, los niños pueden hacer muchas cosas si son obligados y forzados y amenazados con castigos. Pueden mirar como lo hace el profesor e imitarlo, pueden memorizar una técnica y hacerlo. Pero lo hacen sin entender lo que hacen. Cuando les pregunto: “¿Por qué lo haces de esta manera?”, o “¿Por qué pones este número aquí?”, no pueden dar ninguna explicación. Y son incapaces de aplicar sus técnicas memorizadas a situaciones reales y a objetos concretos (como p.ej. los pedazos de una torta). Su aprendizaje es igual al aprendizaje de un loro que aprendió a repetir: “Uno más dos es tres.” ¿Sabe el loro sumar? – Claro que no. Solamente ha aprendido a reproducir unas palabras, sin entender su significado. De la misma manera, la escuela enseña a los niños a reproducir símbolos matemáticos sin entender su significado.

Rebeca Wild, una pionera educativa en Ecuador, hizo la misma observación:

“En esta etapa (la etapa operativa, de aprox. 7-8 hasta 13-15 años), el niño empieza a hacerse suyos los conceptos de conservación de la masa, de peso, de número, de longitud y de espacio. Estos conceptos los asimila, única y exclusivamente, con la ayuda de materiales concretos y situaciones. (Nota: “Materiales concretos” no son “libros y fichas de trabajo”. Son p.ej. habas y granos de maíz, bloques de madera, juegos de construcción, ingredientes para una torta, retazos de tela, etc.etc.) En esta etapa, si como apoyo para el proceso del aprendizaje, se intenta utilizar símbolos, por mucho que se los haya simplificado – símbolos muy gráficos e “infantiles” – el niño se ve obligado a tomar una especie de medida de defensa: tendrá que utilizar su memoria para poder repetir, cuando se lo pidan, el saber requerido.
(…) La cantidad de horas que, precisamente en un país como Ecuador, se dedican al dictado y a la memorización de reglas es impresionante: reglas gramaticales, reglas de cálculo, reglas ortográficas, reglas de conducta, etc. Claparède formuló la siguiente ley: todo lo que en su día fue aprendido de memoria, más tarde es mucho más difícil de entender. No es extraño que observemos con tanta frecuencia lo mucho que esta práctica del aprender reglas dificulta una aplicación inteligente. Este es un hecho que habitualmente es reconocido en las críticas al sistema educativo que tan menudo se realizan en Ecuador, sin embargo, raras veces se comprenden las causas que verdaderamente lo motivan.”
Rebeca Wild, “Educar para ser”, Barcelona 1999

De todos estos datos se saca una conclusión obvia: Es mucho mejor para los niños que esperen unos años más para entrar a la escuela; por lo menos hasta los siete años, y aun mejor hasta los ocho o nueve años. Que se les permita simplemente ser niños, jugar y experimentar y descubrir muchas cosas por si mismos. Y una vez que entren a la escuela, que no sean forzados a memorizar conceptos que todavía pueden comprender. La enseñanza debe adaptarse a la comprensión del niño, no la comprensión del niño a la enseñanza.

Cuando hablo de estos asuntos con padres y profesores, por lo general están horrorizados: “¿No mandar a la escuela a mi hijo de cinco años? ¡Pero entonces va a perder un año!” Parece que en sus ojos, lo peor que puede suceder a un niño es “perder un año”, según las normas del sistema escolar. Esta idea les causa unos terribles miedos irracionales. Pero en realidad, este niño va a ganar un año. Ganará un año más para ser niño y aprender y descubrir muchas cosas de la manera más apropiada para un niño. Ganará un año más para dejar madurar su cerebro y después poder entender mejor lo que se le enseña.
Ser un año mayor y más maduro, no hace daño a ningún niño. Mucho más daño le hace una enseñanza que le obliga a hacer cosas que no entiende, y que hace que sus neuronas se conecten de la manera equivocada (como veremos enseguida).

“¿Pero no se va a ‘pasar de edad’ este niño para concluir la secundaria?” – De ninguna manera. Las investigaciones demuestran que en la adolescencia se pueden recuperar dentro de muy poco tiempo los conocimientos completos que se enseñan en la primaria:

William Rohwer sugiere que para muchos niños, los esfuerzos por aumentar la percepción independiente o la habilidad cognitiva tendrán más probabilidades de ser exitosos “si se los demorara … hasta cerca del fin de los años primarios.” Rohwer sugiere también que se puede adquirir todo el aprendizaje “necesario para tener éxito en enfrentar las exigencias de la escuela secundaria en sólo dos o tres años si se demorara la instrucción formal hasta esos años.” (…)
El psiquiatra J.T.Fisher apoya a Rohwer basándose en su experiencia personal y clínica. El doctor Fisher empezó la escuela a los trece años y terminó la secundaria a los dieciséis años. Se sentía “desilusionado más tarde cuando descubrió que esto no demostró que él fue un genio”. Más bien, él tuvo que aceptar lo que dijeron los psicólogos que “han demostrado que un niño normal que inicia su educación académica en el período de la adolescencia, pronto puede llegar al mismo punto de progreso al cual hubiera llegado si hubiera iniciado la escuela a los cinco o seis años de edad.”
(…) En otras palabras, los padres no tienen que temer que ellos están desperdiciando los primeros años de sus hijos si no los mandan a la escuela. Al contrario, si se deja a los niños inventar o resolver cosas por sí mismos en un ambiente relativamente libre, podrán llegar a ser personas más creativas y tener mejores habilidades para resolver problemas. (…)
Muchas veces han preguntado a Piaget si él apoya los programas en Norteamérica que proveen la instrucción formal cada vez más temprano. Según John L. Phillip, cuando se le preguntó si se puede apurar la mente del niño, dijo que esta fue la “pregunta americana”. El pensó que “probablemente fuera posible, pero no se la debe apurar.
(Raymond y Dorothy Moore, “Mejor tarde que temprano”)

Entonces, la escuela primaria ni siquiera es necesaria – el jardín de infantes mucho menos todavía. Y como hemos visto, en muchos niños la enseñanza de la escuela primaria causa más confusión que aprendizaje verdadero.

Los hallazgos de la neurología nos hacen entender mejor por qué esto es así:

“El proceso de mielinización en los cerebros humanos no está completo hasta que la mayoría de nosotros tenemos más de veinte años. Aunque unas investigaciones con animales mostraron que la mielina total podría reflejar unos niveles de estimulación, los científicos creen que su orden de desarrollo es principalmente predeterminado por un programa genético.
(…) Antes de ser mielinizadas, las regiones del cerebro no operan de manera eficiente. Por esta razón, los intentos de “hacer” que los niños dominen habilidades académicas sin la madurez necesaria del cerebro, pueden resultar en desórdenes en sus patrones de aprendizaje. Como hemos visto, la esencia de la plasticidad funcional es que cualquier forma de aprendizaje – lectura, matemática, ortografía, caligrafía, etc. – puede ser realizada por cualquiera de varios sistemas cerebrales. Por supuesto deseamos que los niños conecten cada parte del aprendizaje con aquel sistema que es el mejor para la tarea específica. Pero si el sistema apropiado todavía no está disponible, o todavía no funciona adecuadamente, y los niños son forzados a aprender, entonces el cerebro se organiza en una forma donde los sistemas menos adaptivos e “inferiores” son entrenados a hacer el trabajo.

(…) Aquellas áreas que reciben la dosis más tardía de mielina, son las áreas de asociación que se responsabilizan de manipular conceptos muy abstractos, tales como símbolos (X, Y, Z; gráficos de funciones) que representan otros símbolos (relaciones numéricas) que a su vez representan cosas reales (aviones, trenes, manantiales). Esta clase de aprendizaje depende mucho de la experiencia [concreta], y por tanto puede realizarse a través de muchas rutas neurales potenciales. Al obligar cerebros inmaduros a un aprendizaje de nivel superior, serán forzados a trabajar con sistemas de nivel inferior, lo que dañará la habilidad deseada.

Yo mantengo que muchos de los fracasos escolares actuales resultan de expectativas académicas que fueron forzadas sobre los alumnos como con una niveladora, antes que sus cerebros estuvieran preparados para ello.

(…) Las reglas abstractas de gramática y uso del lenguaje deberían enseñarse no antes de la escuela secundaria. Entonces, si son preparados para ello, los alumnos pueden incluso disfrutar de los desafíos de esta clase de razonamiento abstracto, lógico. Pero solamente si los circuitos [cerebrales] no están ya demasiado obstruidos por una enseñanza chapuceada de reglas.

Una alumna de tercer grado de secundaria que buscó mi ayuda en gramática, estaba desesperadamente confundida acerca de las partes más sencillas del lenguaje. Aunque ella era inteligente y podría a su edad haber dominado este material dentro de una semana, ella había sido una víctima de entrenamientos de “gramática” sin sentido desde el segundo grado de primaria. Mientras Michelle y yo luchamos acerca de la diferencia sencilla entre adjetivos y verbos, yo deseaba a menudo poder tomar una aspiradora neurológica y simplemente quitar todas estas sinapsis desorganizadas que siempre se metían en nuestro camino. Demoramos seis meses . . . Pero por fin, un día se le prendió la luz. “¡Esto es fácil!”, exclamó. Sí, lo es, cuando los cerebros están listos para el aprendizaje, y cuando el alumno tiene una razón de usarlo con verdaderos modelos literarios.”
Jane M. Healy, “Endangered Minds, Why Children Don’t Think and What We Can Do About It” (Mentes en peligro: Por qué los niños no piensan, y lo que podemos hacer acerca de ello), Nueva York, 1990.

Ahora, esto explica perfectamente mis observaciones con los alumnos de secundaria. Ellos habían sido forzados a aprendizajes demasiado avanzados cuando estaban todavía en la primaria. Por tanto, estos aprendizajes habían causado una organización deficiente de sus cerebros. Aun muchos años después, seguían sufriendo de estas neuronas mal conectadas: No lograron entender correctamente lo que en aquellos años fueron forzados a reproducir mecánicamente. Por lo general, los alumnos de secundaria dificultan exactamente en aquellas áreas que son forzadas con el mayor adelanto en los alumnos de primaria: Divisiones largas; operaciones con fracciones y con números decimales; en algunos casos también las ecuaciones; y en la gramática el reconocimiento de los miembros de una oración.

Entonces, ¿por qué toda esta histeria de mandar a los niños cada vez menores a la escuela, y de meter cada vez más conocimientos en menos tiempo dentro de sus cabezas? Hemos visto que las investigaciones científicas no apoyan de ninguna manera esta “carrera educativa”. Al contrario, les hace daño a los niños y les causa mayores problemas de aprendizaje más adelante. ¿Por qué los planificadores de política educativa, los directores y profesores de las escuelas, y ni hablar de los padres, no toman en cuenta estas investigaciones acerca del desarrollo del niño? ¿Por qué someten a millones de niños a un sistema escolar que es completamente contrario a las características y necesidades de los niños?

Solo puedo especular acerca de las razones; podrían ser las siguientes:

– ¿El peso de la tradición? Los profesores de hoy fueron educados por profesores que fueron educados por profesores que fueron educados por profesores … etc, y ninguno de ellos se detuvo para preguntar por qué están haciendo las cosas de la manera como las hacen. Simplemente porque es más fácil seguir en los caminos acostumbrados. O en otras palabras: Si los mismos profesores sufren de unas neuronas mal conectadas (a raíz de su propia formación), no podemos esperar de ellos que lo hagan mejor con sus alumnos…

– ¿Las influencias ocultas detrás del sistema escolar? Hay enormes intereses económicos y políticos que se benefician del sistema escolar tal como es. (Tan solamente la venta de libros escolares es un negocio multimillonario. Y por supuesto, los profesores son un importante grupo de presión político.)

– ¿La formación de los profesores? El estado no es un educador; el estado simplemente administra (a escuelas, a profesores, a niños…). Si el estado forma a los futuros profesores, es claro que ellos no serán formados para ser educadores: serán formados a ser funcionarios del estado. Esto puede explicar por qué los datos aquí mencionados no aparecen en la formación de los profesores – o si aparecen, son presentados de una manera puramente teórica, sin preguntar qué cosas tendrían que cambiar en el sistema escolar, si estos datos fueran aplicados de manera consecuente.

– ¿La irresponsabilidad de los padres? En los últimos años, más y más padres se están acostumbrando a dejar a sus hijos al cuidado de personas ajenas, desde una edad muy temprana. Si los padres ya no tienen voluntad para responsabilizarse, educando a sus propios hijos, ¿quién se preocupará por ellos? No queda nadie más, excepto el sistema escolar deficiente.

– O más bien, ¿una pervertida ambición y competencia entre los padres y profesores? “Mi hijo tiene cuatro años y ya sabe leer.” – “Mis alumnos tienen ocho años y ya saben resolver ecuaciones.” – “¿Qué, tu hijo tiene seis años y todavía no sabe sumar números de dos cifras?” -¡Cuán torcida es la personalidad de alguien que necesita levantar su autoestima de esta manera! – poniendo cargas insoportables sobre los hombros de los niños, solamente por querer comprobar que él mismo “vale algo” como padre o como profesor. No es el mejor profesor el que mete la mayor cantidad de conocimientos en menos tiempo en las cabezas de los niños. Mejor profesor es el que sabe despertar el interés de los niños en descubrir y entender; el que toma en serio a los niños y se preocupa por su bienestar; el que sabe enseñar de acuerdo al entendimiento de los niños.
Jesús dijo:
“Si no os volvéis y os hacéis como niños, no entraréis en el reino de los cielos. Así que, cualquiera que se humille como este niño, ése es el mayor en el reino de los cielos. Y cualquiera que reciba en mi nombre a un niño como este, a mí me recibe. Y cualquiera que haga tropezar a alguno de estos pequeños que creen en mí, mejor le fuera que se le colgase al cuello una piedra de molino, y que se le hundiese en lo profundo del mar.” (Mateo 18:3-6)

– Todas estas son todavía sugerencias más o menos inocentes. John Taylor Gatto, después de treinta años de experiencia como profesor en Nueva York, y después de estudiar detenidamente los orígenes del sistema escolar norteamericano, llegó a una conclusión mucho menos “amable”: Las deficiencias del sistema escolar actual son diseñadas con el propósito de funcionar de esta manera deficiente. Muchos grandes empresarios, líderes políticos, y otras personas influyentes, se benefician cuando grandes partes de la población están acostumbrados a obedecer mecánicamente a las órdenes que reciben, sin entenderlas y sin reflexionar. Se benefician con una mayoría de la población sin creatividad, sin originalidad, sin pensamiento independiente. Y esta es precisamente la clase de personas que el sistema escolar actual produce. Gatto cita muchas fuentes históricas, y testimonios personales, que sugieren que el sistema escolar fue diseñado para este mismo fin.
(Vea John Taylor Gatto, “La historia secreta de la educación americana”. )

Sin importar cual de estas razones propuestas sea la verdadera: ¿es alguna de ellas más importante que el bienestar de los niños? ¿Alguna de estas razones justifica el maltrato intelectual, psicológico (y a veces aun físico) que sucede en tantas escuelas en el nombre de una mal entendida “educación”? ¿Se justifica el estropear el desarrollo de los niños, usando métodos, libros y currículos inadecuados, diseñados por personas que no tienen ningún contacto verdadero y personal con los niños, ni entendimiento de sus necesidades?

Padres, profesores, autoridades del sistema escolar: Por amor a Dios y a los niños, detengan esta mal dirigida carrera educativa y esta competencia sin sentido. Permitan a los niños que sean niños, y que aprendan a manera de niños. Ustedes mismos se beneficiarán de ello, porque más adelante podrán enseñar a los niños con mucho menos esfuerzo, estrés y desgaste de nervios. Si a un niño se le permite madurar de manera natural, después podrá aprender y entender las cosas con mucho menos “horas académicas”.

 


Para familias educadoras y escuelas alternativas, los libros de la serie “Matemática activa” muestran un método de proveer a los niños un aprendizaje más de acuerdo a su desarrollo y sus necesidades.

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