Educación Cristiana Alternativa

Educación es algo muy diferente de lo que usted piensa …

¡Los primeros libros de Matemática Activa están aquí!

Ya están disponibles los primeros libros de la serie “Matemática activa para familias educadoras y escuelas alternativas”. Estos libros proveen un método de aprender matemática según la pedagogía de la Escuela Activa, en conexión con la vida diaria, y basada en principios, como está descrito en diversos artículos de este blog. Infórmese en la página enlazada.

 

Anuncios
6 comentarios »

Anuncio: Cursos de matemática para familias educadoras – Nuevamente abiertos

En esta oportunidad puedo anunciarles que el curso por internet, “Matemática activa para familias educadoras“, está nuevamente abierto. Decidí ofrecerlo esta vez sin fechas fijas; cada participante puede comenzar y terminar cuando desea. El curso contiene proyectos prácticos, creativos, para padres e hijos juntos, y se basa en los siguientes principios pedagógicos:

1. Aprender matemática con la actividad propia y con operaciones concretas.
2. Aprender matemática según el nivel de desarrollo del niño.
3. Aprender matemática basada en principios.
4. Aprender matemática por investigación propia.

Adicionalmente contiene desafíos para los adultos, para entrenar su propio pensamiento matemático.

Por primera vez se ofrece también un curso de seguimiento para familias con niños de 5 a 10 años, “Operaciones básicas con regletas Cuisenaire“. Este curso introduce los conceptos básicos de la aritmética de una manera más sistemática, manteniendo a la vez el enfoque lúdico, activo e investigativo del curso introductorio. Aunque los conceptos matemáticos en este curso son muy básicos, recomiendo fuertemente estudiar el curso introductorio primero, porque este segundo curso asume que los participantes ya tienen cierta experiencia en la aplicación de los principios pedagógicos arriba mencionados.

La inversión de tiempo recomendada para cada uno de estos cursos es de 8 horas por semana durante 12 semanas. La mitad de este tiempo corresponde a la realización práctica de los proyectos junto con los niños.

Deja un comentario »

Comenzó curso por internet: Matemática activa para familias educadoras

Este 8 de septiembre inició el primer curso por internet, “Matemática activa para familias educadoras”, con 293 participantes inscritos (más 87 en la versión en inglés). Estoy emocionado al ver este gran interés, y pienso que es un indicio de que el movimiento de la educación en casa está empezando a alzar vuelo también en el mundo de habla hispana.

Algunos de los participantes ya estudiaron los materiales publicados con anticipación, y ya entregaron trabajos. También ya se están empezando a generar unas discusiones interesantes en el foro.

No solo para los participantes, también para mí es una aventura nueva, porque es la primera vez que estoy enseñando un curso por internet. Seguramente cometeré muchos errores, pero con eso también aprenderé… ¡Hay que utilizar las nuevas tecnologías para el bien de nuestras familias!

Para familias interesadas, todavía es posible inscribirse, las inscripciones seguirán abiertas hasta el 28 de septiembre:

https://eliademy.com/catalog/catalog/product/view/sku/c1010f8dfd

Deja un comentario »

Curso de matemática activa para familias educadoras: INSCRIPCIONES ABIERTAS

Por fin logré instalar la página principal del curso en línea que anuncié hace unas semanas, “Matemática activa para familias educadoras”. El curso tendrá lugar desde el 8 de septiembre hasta el 1 de diciembre, pero las inscripciones ya están abiertas. Visita esta página e inscríbete ya:

https://eliademy.com/catalog/catalog/product/view/sku/c1010f8dfd

(En esa página, haz clic en “Enroll” para inscribirte. Se te pedirá que inicies sesión con tu cuenta de Facebook, LinkedIn, Google+ o Live, o que crees una nueva cuenta en Eliademy.)

No fue fácil encontrar una plataforma adecuada para el curso. Algunas plataformas ofrecen buena tecnología, pero al averiguar más, uno se entera de que ellas aceptan solamente cursos de “instituciones educativas acreditadas”. Al parecer no están conscientes de que con eso están efectivamente limitando la educación del futuro (por internet) a instituciones que representan el sistema del pasado. Pero después encontré “Eliademy”, una plataforma que es realmente abierta para todos, y que se encuentra en pleno desarrollo, de manera que ya ofrece la mayoría de las herramientas necesarias, y otras serán implementadas en un futuro cercano. Con eso espero poder ofrecer un entorno agradable a los participantes del curso.

El curso se centra en métodos creativos, activos, de aprender matemática, y en el desarrollo del pensamiento matemático por parte de los padres y los hijos juntos. En el transcurso del curso, las familias participantes desarrollarán cinco proyectos prácticos juntos con sus hijos. El tiempo requerido para el curso será de aproximadamente 8 horas por semana, de las cuales la mitad corresponde al tiempo que pasarán juntos con los niños en los proyectos.
Otros grupos de participantes (estudiantes, profesores, etc.) podrán adaptar los proyectos a su situación particular.

Deja un comentario »

Curso por internet acerca del aprendizaje de matemática en familia

Actualmente me encuentro ocupado con los preparativos para un curso que se ofrecerá por internet de manera gratuita, acerca de métodos activos y creativos para aprender matemática. Más informaciones acerca del contenido se encuentran en esta página.

Durante el año pasado hice diversas experiencias como estudiante de cursos por internet. Al inicio estuve un poco desconfiado: ¿Qué experiencia educativa adicional podría brindar un tal curso, si yo podría simplemente estudiar los mismos materiales completamente por mi cuenta? ¿Y cómo se podría evaluar un aprendizaje a la distancia y de manera computarizada, excepto mediante preguntas de selección múltiple (las cuales no pueden adecuadamente medir el “conocimiento” de una persona)? – De hecho existen cursos a distancia que no hacen nada más que usar la tecnología nueva para propagar el mismo modelo educativo viejo de memorización rutinaria y repetición mecánica. Pero encontré que existen también cursos innovadores, que realmente logran reproducir gran parte de la experiencia de aprendizaje que uno esperaría de una buena universidad (no de una “escolarizada” como es el caso de la mayoría de las universidades peruanas). Y esto incluso en cursos que tienen varios miles de estudiantes. En otro artículo aparte describiré algunos de los ingredientes que contribuyen a un buen curso por internet.

Así que me animé a ofrecer también un curso en línea. Al meterme en este trabajo, aprecio ahora aun más el esfuerzo de los docentes que ofrecen tales cursos, muchos de ellos aun en forma gratuita (puesto que esta forma de educación se encuentra todavía en una fase experimental). Un curso por internet – sobre todo si el número de estudiantes puede ser grande – necesita una planificación muy distinta de un curso presencial. Y en particular la producción de buenos videos instructivos requiere mucho tiempo y dedicación; pero este elemento es hoy en día casi “obligatorio” en un tal curso. Estoy entonces bien ocupado.

Un problema particular surgió en el momento de elegir una plataforma de internet donde ofrecer el curso. Había encontrado una que ofrece (casi) todas las posibilidades técnicas que yo deseaba, y que no cobra por cursos que se ofrecen de manera gratuita. Pero después de enviar mi formulario de registración, me informaron que aceptarían solamente cursos por “instituciones educativas formales”. (Este detalle no se mencionaba en ninguna parte de su página web.) Así que también entre las empresas de educación “online” – las que deberían ser la vanguardia de la innovación en la educación – existen algunas que todavía adhieren a creencias de la retaguardia. Por ejemplo la creencia de que el hecho de que una institución sea “formal” o “reconocida por el estado”, garantice la calidad de su enseñanza. Lo irónico es que los pioneros de la educación por internet en Estados Unidos (los que en su mayoría provienen de instituciones reconocidas como la Universidad de Stanford o el Massachusetts Institute of Technology), predicen que estas mismas “instituciones educativas formales” pronto se volverán obsoletas.

Estará por verse entonces si la mencionada empresa se deja convencer de que una organización para el apoyo de la educación en casa puede también proveer una enseñanza de calidad, o si tendré que optar por otra plataforma que ofrezca menos posibilidades técnicas, pero que sea verdaderamente “abierta”. Volveré a informar tan pronto como mi curso tendrá un “hogar” definitivo.

 

2 comentarios »

La geometría de los recortables de cartulina – Continuación

Formas redondas

Cilindro:

La forma redonda más sencilla (como recortable) es el cilindro. Como introducción podemos mostrar a los niños un cilindro de cartón (p.ej. un rollo de papel higiénico) y preguntarles qué figura resultará si lo cortamos a lo largo y lo estiramos hasta aplanarlo. (¡Muy pocos niños lo acertarán!) Después de que los niños dan sus respuestas, realizamos la demostración práctica.
Ahora será indispensable introducir el número π, para poder calcular el perímetro del círculo si conocemos el radio o el diámetro. Así podremos construir la base circular del cilindro, y su manto, con las medidas correctas. Como valor aproximado para π, 3,14 es suficiente para modelos de cartulina (o 22/7 si preferimos calcular con fracciones en vez de decimales). Al pegar las partes del cilindro se notará si el cálculo era correcto o no.
Además, esta es una oportunidad para practicar el uso del compás, si los niños todavía no saben usarlo.

Con formas redondas, las lengüetas para pegar tienen que separarse en partes pequeñas. Cuanto más pequeñas son las partes, más exacto será el resultado, pero más difícil para armar.

Con un cilindro como forma básica se pueden construir ollas, torres redondas, ruedas realistas para carros, etc.

cilindro-recortable-peqRecortable para un cilindro abierto por un lado.

Este puente sencillo requiere la construcción de medio cilindro:

PuenteSencillo-peqUn poco más difícil es el siguiente modelo de puente:

Puente2-peqEsta es una posibilidad de realizarlo como recortable. Las dos tiras delgadas arriba a la izquierda se pegan debajo de los arcos:

Muestra-Puente-peq

Cono entero y cono truncado:

Podemos demostrar la construcción de un cono, construyendo un sector de un círulo, cortándolo, y uniéndolo con goma por sus dos radios. El resultado es obviamente un cono. Mientras las medidas exactas del cono no importan, podemos simplemente usar un semicírculo. Pero si el cono debe tener exactamente un radio r y una altura h, ¿cómo encontramos las medidas correctas de un sector que resultará en un cono con estas medidas?
Como construcción auxiliar dibujamos el alzado del cono, o sea cómo se ve exactamente de frente. Resulta un triángulo isósceles con base 2r y altura h. El lado de este triángulo es la generatriz del cono, y su longitud es igual al radio R del sector circular que tenemos que dibujar. (En vez de construir este triángulo, podemos también calcular R con el teorema de Pitágoras.)

cono

El perímetro de la base del cono (= 2 r π) es igual al arco de nuestro sector. Con un poco de álgebra podemos demostrar que entonces, el ángulo central del sector debe ser igual a 360º · r / R.

Estos razonamientos son todavía demasiado exigentes para alumnos promedios de primaria. Cuando mis hijos estaban en esa edad, les mostré como se hace, pero ellos todavía no podían hacerlo por sí mismos. Entonces, si ellos necesitaban un cono con medidas determinadas, ellos me dieron las medidas y yo calculaba para ellos las medidas del sector circular. Con eso, ellos mismos ya podían construir el sector con transportador, regla y compás. – Para alumnos de secundaria, en cambio, es un buen ejercicio que ellos mismos calculen la construcción de algunos conos.

Para un cono truncado se puede usar exactamente el mismo método. Simplemente cortamos un cono parcial de la punta del cono entero. En la construcción del sector circular, esto corresponde a cortar un sector más pequeño con el mismo centro como el sector grande.

La combinación de un cilindro y un cono se puede usar para modelos como los siguientes: una torre redonda con techo en punta; aviones; cohetes. – Para tales modelos, puede surgir la necesidad de construir rectas tangentes a círculos, o círculos tangentes entre sí. Estas son oportunidades para aprender nuevas construcciones geométricas.

(Abajo: Torre redonda con techo en punta.)

recortable-TorreRedonda

Otras formas redondas:

Ahora, los niños podrán experimentar con otras formas redondas, p.ej. un modelo de un carro que tenga líneas redondas en su perfil. Obviamente, tendrán que saber las longitudes de los segmentos redondos para construir el techo del carro con la longitud correcta. La longitud de una curva arbitraria se puede medir colocando un hilo a lo largo de la línea, después se estira el hilo y se mide su longitud con una regla.

En cambio, otros cuerpos de revolución como esferas, cebollas, espejos parabólicos, etc. son muy difíciles. Para tales formas, es necesario aproximarlas con muchos sectores o con troncos de conos. Esto es un tema bastante avanzado y requiere construcciones muy exactas, y/o conocimientos de la geometría analítica y del cálculo infinitesimal. Vemos entonces que la construcción de tales modelos no es solamente un juego de niños; está relacionada con temas que ocupan a los arquitectos e ingenieros en sus estudios superiores.

RecortablesArmadosUnos modelos armados: El carro y la torre de los ejemplos anteriores, y un modelo un poco más complicado de un avión.

 


Para familias educadoras y escuelas alternativas, los libros de la serie “Matemática activa” proveen un método de proveer a los niños un aprendizaje según las ideas esbozadas en este artículo.

Deja un comentario »

La geometría de los recortables de cartulina

En artículos anteriores describí algunas formas como los niños pueden aprender matemática en los quehaceres cotidianos del hogar, en sus juegos, y en sus pasatiempos. Describiré ahora un proyecto que mantuvo el interés de uno de nuestros hijos durante un tiempo prolongado (más que un año) y le incentivó a aprender muchos conceptos de geometría.

Cómo nació este proyecto

Deseamos dar a nuestros hijos la oportunidad de aprender según sus propios intereses. Este proyecto puede ser interesante para niños a quienes les gusta hacer trabajos manuales con papel y cartulina, y construir diversos objetos. Este fue el caso de nuestros hijos. Entonces, como padres no hemos comenzado diciendo: “Esta sería una forma novedosa de aprender geometría, vamos a hacer eso con nuestros hijos.” Al contrario, el interés de los niños fue lo primero. Observamos que ellos pasaban horas armando modelos recortables de cartulina prediseñados: casas y carros sencillos, animalitos, y con el tiempo también construcciones más complicadas. Se pueden encontrar diversos modelos ya prediseñados en internet para descargar, desde sencillos hasta muy complicados. La “fiebre de los recortables” contagió también a algunos amigos de nuestros hijos. Pero en algún momento esos modelos prediseñados ya no eran tan interesantes para los niños; entonces el siguiente desafío fue construir sus propios modelos. Convertimos este interés en un proyecto educativo. Para construir modelos propios, es necesario aprender diversas construcciones geométricas con regla, escuadra y compás. Y esta experiencia a su vez ayuda a los niños a entender los conceptos de la geometría. Para los niños, el mejor camino de aprendizaje comienza siempre con la experiencia concreta y práctica, y de allí procede hacia las generalizaciones y los conceptos abstractos.

Otros niños pueden tener otros intereses que los motivan a aprender matemática y geometría: cocinar según recetas; orientarse con mapa y brújula; tejer; carpintería; gráficos computarizados; etc. Todas estas actividades tienen mucha relación con la matemática y pueden servir como “puerta de entrada” hacia un proyecto interesante. Encuentre algo que capte el interés de sus hijos.

Prerrequisitos para este proyecto:

Como mínimo, los niños deberían entender unos conceptos básicos de la geometría: lo que es un ángulo; lo que significa “paralelo”; y los nombres de las figuras geométricas. En el caso que no lo sepan, habría que introducir estos conceptos durante los primeros trabajos prácticos. – Además, los niños deberían tener un poco de práctica en medir y marcar segmentos rectos con una regla.

Introducción para los niños:

El trabajo más sencillo para principiantes es fabricar una caja rectangular. Como introducción, podemos conseguir unas cajas de crema dental, de filtrantes de té, de jaboncillos, medicamentos, o parecido. Abrimos una o varias cajas para ver cómo son hechas. No hay que cortarlas al abrir; hay que separar cuidadosamente las partes pegadas. Así aparece la forma original (plana) de la caja, y los niños pueden ver como esta forma resulta en una caja, doblando y pegándola. Una vez que han entendido el principio, pueden construir su propia caja con las medidas que ellos mismos eligen. Seguramente se darán cuenta de que existen diversas posibilidades de diseñar la caja: adhiriendo todas las paredes laterales al fondo, o juntando las paredes laterales entre sí; etc.

La única construcción geométrica necesaria para este modelo es el rectángulo. Además, los niños tienen que entrenar su capacidad de imaginarse el objeto tridimensional, para entender dónde tienen que colocar lengüetas para poner goma, y cómo armar el modelo final. – Como regla, es mejor diseñar demasiadas lengüetas que muy pocas. Si al armar el modelo se nota que una lengüeta no es necesaria, se puede cortarla fácilmente; pero es más trabajo aumentar una lengüeta adicional si nos damos cuenta de que falta una.

Dificultades al construir rectángulos:

Los niños tendrán que acostumbrarse a dibujar tanto las rectas como los ángulos según la medida correcta. Muchos niños medirán al inicio solamente los lados del rectángulo, pero dibujarán el ángulo recto como les parece, sin medirlo. Entonces, si miden los nuevos lados y unen sus extremos para dibujar el último lado, probablemente notarán que este último lado no tiene la longitud correcta. – Si no lo notan, hay que señalárselo. O podemos esperar hasta que estén pegando la caja, y entonces notarán que la caja sale chueca.

Los niños tienen que aprender entonces cómo construir un ángulo recto, usando la escuadra.

Proyectos para principiantes

Estas son algunas otras construcciones bastante fáciles:

Casa con techo en caballete:

casaSencilla-peqLa pared lateral de la casa es un rectángulo con un triángulo encima. Después de construir una de estas paredes, la pared opuesta debe construirse congruente a la primera. Pero para principiantes puede ser demasiado difícil, construir una figura congruente a una figura dada. Es preferible enseñarles que dibujen el triángulo superior de una de las siguientes maneras:

a) midiendo la base (= el lado superior del rectángulo) y los ángulos adyacentes, usando el transportador.

b) midiendo la base y la altura, trazando la altura desde el punto medio de la base.

casa-triangulo-ambosAlumnos un poco más avanzados pueden en este punto también aprender la construcción de un triángulo a partir de las longitudes de sus tres lados (con compás). Además se pueden tratar en este contexto las leyes de congruencia en los triángulos.

Para construir las dos partes del techo correctamente, hay que medir su lado lateral en el triángulo ya dibujado. Si los niños no se dan cuenta de eso por sí mismos, habrá que enseñárselo.

CasaSencilla-recortableAsí podría verse el recortable para construir esta casa.

Si queremos que el techo sobresalga por los lados, tenemos que construirlo como una pieza aparte y hacerlo un poco más grande que la casa:

CasaSencilla-recortable2

Otras casas:

Se pueden diseñar las variaciones más diversas de casas. Unos ejemplos:

– Una casa con techo en caballete, donde el caballete no se encuentra en el medio (o sea, una parte del techo es más larga que la otra). En este caso es importante dibujar la pared opuesta de la casa en forma reflejada.

casaSencilla-a-peg

– Una casa con dos alas en ángulo recto. Con techo plano, esta construcción es bastante fácil. Pero este tipo de casa con caballete (o sea, dos caballetes en ángulo recto) ya es bastante difícil; la mayoría de los niños no podrán construirlo sin ayuda. La solución más fácil consiste en construir primero un plano de la casa; de allí podemos medir las longitudes de los caballetes hasta su intersección. Las otras medidas dependen de las medidas de las paredes.

casa2-peq

casa2-plano

Si el caballete se encuentra en el medio, entonces podemos también demostrar que su longitud es igual al promedio de las longitudes de las dos paredes paralelas a él. (Geométricamente, es la línea media de un trapecio.) Entramos aquí al tema de las figuras semejantes, las proporciones, y teoremas relacionados.

casa2-recortableEsta es una posibilidad de construir un recortable para la casa arriba mostrada.

– Una torre con techo en forma de pirámide. Esto es más fácil si la base de la torre es un cuadrado. En este caso, el techo consiste en cuatro triángulos congruentes.

torre-piramide-peq

Un carro sencillo:

recortable-carroEste modelo sencillo consiste solamente en dos lados iguales (o sea, reflejados), y el techo de en medio. Por abajo queda abierto. Para construir un modelo de este tipo hay que comenzar con uno de los lados, y delimitarlo enteramente con líneas rectas (con excepción de las ruedas). Con principiantes se recomienda todavía no usar formas redondas. (De los participantes en nuestros programas vacacionales, solamente los alumnos más avanzados lograron construir un cilindro como su primera forma redonda, y eso recién en la doceava lección.) – Aquellos niños que todavía no saben usar un compás, usarán un objeto redondo (p.ej. una moneda) para dibujar las ruedas.
Después de terminar un lado del carro, construimos sobre su lado superior una tira recta que formará el techo del carro. Los dos lados de esta tira tienen que ser paralelos.

carro2Dividimos esta tira en rectángulos, de manera que la longitud de cada rectángulo corresponde a la longitud de uno de los segmentos del lado del carro.

carro3Finalmente construimos al lado opuesto de la tira el otro lado del carro, congruente (pero reflejado) al lado que construimos al inicio. Aquí surgirá nuevamente el problema de que muchos niños medirán solamente las longitudes de los segmentos, pero dibujarán los ángulos sin medirlos con exactitud. Es bueno primero dejarlos que lo hagan así, y después comprobar la congruencia. Hay diversas maneras de realizar esta comprobación: Uno puede medir los ángulos y/o las diagonales; o se puede terminar de armar el primer modelo, y entonces se notará que sale chueco si los dos lados no son congruentes. También se puede doblar la cartulina de tal manera que los dos lados del carro se sobreponen, y mirarla hacia una luz fuerte. Si las líneas son suficientemente nítidas, se pueden ver los dos lados uno sobre el otro, y así se puede ver fácilmente si son congruentes o no. Así los niños llegarán a entender que en los polígonos con más de tres lados no es suficiente que tengan lados iguales para que sean congruentes, sino que también los ángulos tienen que ser iguales.

Proyectos propios

Después de dominar las construcciones sencillas como las que acabamos de describir, los niños podrán inventar y construir otros modelos con líneas rectas: otras variaciones de casas; muebles como mesas, sillas, etc; cuerpos geométricos; un tren; etc. A menudo los niños tienen ideas interesantes y novedosas. Por ejemplo, una alumna fabricó un modelo de un lápiz. – Es claro que a veces necesitan ayuda para sus construcciones. Así practicarán y aprenderán nuevos conceptos geométricos.

(Continuará)

 


Para familias educadoras y escuelas alternativas, los libros de la serie “Matemática activa” proveen un método de proveer a los niños un aprendizaje según las ideas esbozadas en este artículo.


Deja un comentario »

Más juegos que ayudan a desarrollar el pensamiento matemático

Suma, resta y multiplicación

Se juega con un solo dado que se tira cuatro veces seguidas. El puntaje del primer tiro simplemente se anota. De los tres tiros siguientes, uno tiene que sumarse, uno tiene restarse y uno tiene que multiplicarse. El jugador tiene que decidirse inmediatamente después de tirar, cuál operación desea aplicar a este tiro, antes de realizar el tiro siguiente. El jugador con el mayor puntaje gana. Se pueden jugar varios turnos y sumar los puntajes.
Un ejemplo: El primer tiro fue 4, se anota. El siguiente tiro fue 2, el jugador decide restar: 4 – 2 = 2. Después tiró 5 y decidió multiplicar: 2 x 5 = 10. El último tiro fue 3, ahora necesariamente tiene que sumar porque ya usó las otras operaciones: 10 + 3 = 13. Entonces el puntaje final del jugador en este turno es 13.
Obviamente, el puntaje final depende no solamente del azar; es también necesario decidir de manera óptima acerca del orden de las operaciones. Por ejemplo, en el ejemplo anterior, el puntaje hubiera resultado mayor si el jugador hubiera primero sumado y después multiplicado: 4 + 2 = 6, 6 x 5 = 30, 30 – 3 = 27. Pero con otros puntajes, otro orden de las operaciones puede ser más ventajoso.

Acércate a 1000

Un juego con tres dados para varios jugadores. Se juega por turnos: el jugador tira los tres dados juntos, los coloca en el orden que desea (sin alterar los puntajes), y forma de los puntajes un número de tres dígitos (interpretando cada dado como un dígito). Este número se anota con el nombre del jugador; después juega el siguiente. Esto se repite hasta que cada jugador haya jugado tres turnos (o sea, tenga tres números anotados, de tres dígitos cada uno). Estos tres números se suman. Gana el jugador cuya suma es más cerca de 1000 (sin importar si la suma es por encima o por debajo de 1000).
Ejemplo: Un jugador tira primero 2, 4, 5, decide anotar 425. Después tira 1, 3, 3, decide anotar 331. Por fin tira 2, 5, 6 y anota 256. Su suma es 425 + 331 + 256 = 1012; o sea, se alejó de la meta por 12 puntos. (Si en el segundo tiro hubiera anotado 313 y en el último 265, su resultado hubiera sido mejor, porque 425 + 313 + 265 = 1003, lo que es más cerca de 1000 que 1012.)
El desafío consiste en hacer la mejor decisión en cuanto al orden de los tres dados. Por ejemplo, si los dados muestran 3, 6 y 1, se puede formar el número 136, 163, 316, 361, 613 ó 631. Es obvio que en el tercer turno, el jugador puede calcular cuál de las seis posibilidades hará que su suma final sea más cerca de 1000. Pero ¿existe también una estrategia para hacer decisiones “óptimas” en el primer y segundo turno? (Por ejemplo, si en el primer turno anoté 652, no sería aconsejable en el segundo turno colocar otra vez un 6 adelante, porque así la suma final será mucho más grande que 1000.)

24 con cuatro dados

Otro juego matemático con dados: Un jugador tira cuatro dados simultáneamente, visibles para todos. Entonces cada jugador intenta formar con los cuatro puntajes una operación matemática que dé como resultado 24. Se debe usar cada dado exactamente una vez; y se pueden usar las cuatro operaciones básicas y paréntesis. El jugador que primero encuentra una solución, recibe un punto.
Ejemplo: Los dados muestran 1, 3, 4, 4. Una solución sería (4+4) x 3 x 1 = 24.
– Obviamente, algunas combinaciones no tienen solución (por ejemplo 1, 1, 1, 1). En este caso, nadie recibe un punto. Se puede acordar un límite de tiempo, p.ej. dos minutos, y si después de este tiempo nadie tiene una solución, no hay punto y el siguiente jugador tira los dados.

Variación: Se admiten operaciones adicionales, p.ej. potencias, y formar números de varios dígitos. Así aumentan las posibilidades de encontrar una solución. Por ejemplo, con 1, 1, 2, 5 se podría formar 52 – (1 ÷ 1) = 24, ó 25 – (1 ÷ 1) = 24; y con 1, 4, 4, 6 se podría formar 144 ÷ 6 = 24. (Aunque en este caso existe también la solución “regular” 4 x (6+1) – 4 = 24.)

Yatzy

Se juega con cinco dados. Primero se prepara la lista de entradas:

A B C
1
2
3
4
5
6
Subtotal
Bono (25 p.)
Un par
Dos pares
3 iguales
4 iguales
“Full” o Casa llena (2 y 3)
Escalera pequeña (12345)
Escalera grande (23456)
Oportunidad
Yatzy (5 iguales) 50 p.
Total

En lugar de A, B, C (etc.) se ponen los nombres de los jugadores. Por turno, cada jugador tira los dados de la siguiente manera: Primero tira los cinco dados juntos. Después puede elegir cuáles dados quiere dejar como están, y cuáles desea tirar otra vez. (Puede también elegir tirar todos los dados otra vez, o ninguno de ellos.) Del nuevo resultado, puede una vez más volver a tirar los dados que desea. Después tiene que anotar el resultado en la columna debajo de su nombre, en una fila de su elección que todavía esté libre. Las entradas tienen el siguiente significado:

1 a 6: Se anotan solamente los puntos de los dados que corresponden al número respectivo. Ejemplo: He tirado 2, 4, 4, 5, 4 y decido anotarlo en la fila “4”. Entonces anoto 12 puntos, porque 4+4+4 = 12; el 2 y el 5 no puedo anotar aquí.

Subtotal (se llena al final del juego): El total de las entradas “1” a “6”.

Bono (se llena al final del juego): Se pueden anotar 25 puntos si el subtotal es de 64 puntos o más. En caso contrario se anotan cero puntos en “Bono”.

Un par: Dos dados deben mostrar el mismo número; se anota el total de estos dados. Ejemplo: He tirado 1, 2, 3, 3, 5, entonces se anotan 3 + 3 = 6 puntos.

Dos pares: Es necesario tener 2 pares de números iguales, p.ej. 3, 3, 5, 5, 2. Entonces anoto 3+3+5+5 = 16 puntos (el 2 no cuenta).

3 (4) iguales: Es necesario que 3 (4) dados muestren el mismo número, entonces se anota el total de estos 3 (4) dados.

Casa llena (“Full”): Es necesario tener 3 números iguales, y los 2 restantes también deben ser iguales; p.ej. 2, 2, 2, 6, 6. (Se anota la suma de todos los dados.)

Escalera pequeña / grande: Los dados tienen que mostrar los números 1, 2, 3, 4, 5 (escalera pequeña) resp. 2, 3, 4, 5, 6 (escalera grande). Se anotan todos los puntos (da siempre 15 para la escalera pequeña y 20 para la escalera grande).

Oportunidad: Se anota la suma de todos los dados, sin restricciones adicionales. P.ej. 3, 5, 2, 6, 1, se anota 17.

Yatzy (5 iguales): Los 5 dados deben mostrar el mismo número. “Yatzy” vale siempre 50 puntos, sin importar el puntaje de los dados.

Total (se llena al final del juego): La suma de “Subtotal”, “Bono”, y todas las entradas debajo de “Bono”.

En cada turno, el jugador tiene que llenar una entrada que todavía está libre. O sea, después de exactamente 15 turnos debe tener todas sus entradas llenas. Esto significa que hacia el fin del juego se verá obligado a llenar algunas entradas sin poder cumplir la condición necesaria; y en este caso tiene que escribir cero puntos en la fila respectiva. Por ejemplo, puede suceder que un jugador tenga solamente las filas “4 iguales”, “Calle grande” y “Yatzy” libres, y no logra alcanzar ninguno de éstos. Entonces tiene que escribir cero puntos en una de estas filas.

El jugador con el mayor total de puntos gana.

En el transcurso de este juego es necesario hacer diversas decisiones estratégicas. Por ejemplo, si tiro tres veces el 5, ¿es mejor anotarlo en la fila “5” o en “3 iguales”? – Si en el primer intento tiro 1, 2, 4, 4, 6, ¿es mejor volver a tirar los dados 1, 2, 6 para intentar lograr tres o cuatro veces el 4; o es mejor volver a tirar los dados 1, 4 para intentar lograr la Calle grande? – Si he tirado unos números “inútiles” y ya he llenado “Oportunidad”, ¿en cuál fila conviene escribir cero puntos? – Etc.
Algunas de estas preguntas se pueden responder con un poco de reflexión; otras requieren un análisis combinatorio bastante complicado. Una investigación matemática completa de este juego para encontrar la mejor estrategia, sería un desafío incluso para estudiantes universitarios.

Kalaha

Este es un juego tradicional africano para dos jugadores. Los niños africanos lo juegan en el suelo arcilloso con frejoles y otras semillas, o con piedritas. Se forman huecos en la tierra según el siguiente diseño:

kalaha400

(En vez de jugarlo en la tierra, se puede fabricar este juego de madera o de arcilla.) Los huecos pequeños se llaman “casas”, los dos huecos grandes se llaman “almacenes”. A un jugador pertenece la fila superior de casas y el almacén a la izquierda; al otro jugador pertenece la fila inferior de casas y el almacén a la derecha. Se comienza con un mismo número de semillas en cada casa (por ejemplo 3, 4, 5 ó 6 semillas en cada casa), y los almacenes vacíos. Una jugada consiste en sacar todas las semillas de una casa y “sembrarlas” en las casas adyacentes, una por una, hasta acabarlas. Se siembra según las siguientes reglas:

– Cada jugador siembra en dirección hacia su almacén, o sea (considerando el tablero como un círculo) en el sentido contrario a las agujas del reloj, una semilla en cada casa y también en su almacén.

– Si el jugador al sembrar alcanzó su almacén y todavía sobran semillas, entonces sigue sembrando en las casas del otro jugador (siempre en el sentido contrario a las agujas del reloj), y si al terminarla todavía sobran semillas, salta otra vez a su propia fila (pasando por alto el almacén del oponente) y sigue sembrando así, hasta acabar todas las semillas que sacó de la casa.

– Si la última semilla sembrada cae en el almacén, el jugador puede jugar otra vez. Esto se puede repetir varias veces, hasta que la última semilla sembrada ya no caiga en el almacén.

kalaha1-300

kalaha2-300

– Si la última semilla sembrada cae en una casa vacía del propio jugador, entonces puede vaciar la casa adyacente del oponente y echar todo el contenido a su almacén, junto con la última semilla sembrada.

kalaha3-300

kalaha4-300

kalaha5-300

– El juego termina cuando uno de los jugadores tiene todas sus casas vacías. Entonces, el otro jugador vacía todas sus casas a su almacén. Ganador es el que tiene más semillas en su almacén.

Master Mind (Código secreto)

Este juego para dos jugadores fue inventado recién en la segunda mitad del siglo XX (a base de un juego tradicional más antiguo), y se hizo muy popular. El tablero consiste en una caja delgada de plástico (pero se puede fabricar también de una tabla de madera) con agujeros según el siguiente diseño:

Mastermind-Init-224

En los agujeros se colocan clavijas de diferentes colores. (Se pueden fabricar de fósforos, pintándolos con los colores necesarios). Existen clavijas de evaluación (blancas y negras), y clavijas de código (en seis colores diferentes). – El tablero tiene además cuatro agujeros escondidos en su borde trasero para el código secreto.

Mastermind-foto

Una edición comercial de “Mastermind”. A la derecha el código secreto que es invisible para el jugador del otro lado.

Y así se juega:
El jugador A inventa un código secreto, y el jugador B intenta adivinarlo. El jugador A establece su código, colocando cuatro clavijas de colores (sin usar las blancas ni las negras) en los agujeros escondidos, sin que el jugador B las pueda ver. Entonces B intenta adivinar el código, colocando cuatro clavijas de colores en los agujeros de la fila 1, de la forma como él piensa que podría ser el código. Obviamente, este primer intento será completamente al azar, puesto que el jugador no sabe nada acerca del código verdadero. Pero A “evalúa” cada intento de B, de manera que en el transcurso del juego se van acumulando pautas acerca del código verdadero.
Después de cada intento de B, A coloca unas clavijas blancas y/o negras en los agujeros en cuadrado de la fila correspondiente, según las siguientes reglas:
– Por cada color que se encuentra en la posición correcta (o sea, en la misma posición como en el código verdadero), se coloca una clavija negra.
– Por cada color que se encuentra en el código verdadero, pero en una posición distinta, se coloca una clavija blanca.
Entonces, B sabe el número de “aciertos” que tuvo, pero no sabe a cuáles de sus clavijas se refieren las clavijas blancas y negras. A base de esta información, hace un segundo intento en la fila 2, el cual es nuevamente evaluado por A. Y así sucesivamente, hasta que B adivina el código correcto (entonces A coloca cuatro clavijas negras como evaluación, porque todos los colores son correctos), o hasta que llegue a la fila 6 sin poder adivinar el código.

Antes de poder jugar este juego, es necesario practicar varias veces la manera de “evaluar”. Si A se equivoca en una evaluación, entonces B ya no tiene la posibilidad de adivinar el código correcto, y el juego tiene que anularse. Por tanto, es importante que ambos jugadores estén bien seguros en la forma de evaluar, antes de jugar “en serio”.

La siguiente ilustración muestra un juego de “Master Mind” como ejemplo. La fila superior muestra el código correcto (el cual es invisible para B.) Los comentarios abajo explican la forma como el jugador A debe evaluar las jugadas de B; y además aclaran el razonamiento de B para llegar a la solución correcta en la fila 6:

Mastermind-ejemplo-224

1) B colocó dos clavijas amarillas y dos celestes. Como evaluación, jugador A coloca una clavija negra por el color amarillo en la posición correcta (segunda desde la izquierda). La primera clavija amarilla colocada por B no recibe ninguna clavija de evaluación, porque este color existe una sola vez en el código original.
2) Una clavija blanca para el color amarillo en posición equivocada, y otra clavija blanca para el color rojo en posición equivocada. El color anaranjado no existe en el código original.
3) B supuso (correctamente) que la clavija negra de la fila 1 corresponde al color amarillo, y por tanto el código original debe contener amarillo en la segunda posición. (Si el color amarillo estuviera en la primera posición, hubiera recibido una clavija negra en la fila 2. Si estuviera en la tercera o cuarta posición, hubiera recibido una clavija blanca en la fila 1.) – Además, B pensó que la otra clavija blanca de la fila 2 podría referirse al color anaranjado; por tanto coloca ahora este color en posiciones distintas.
En este nuevo intento, el color amarillo es el único que figura en el código original, y está en la posición correcta: A coloca una clavija negra.
4) B sabe ahora (asumiendo que amarillo es correcto) que anaranjado y marrón no figuran en el código, y (según la fila 1) celeste tampoco. Por tanto intenta armar el código con los colores restantes. (Un desafío de razonamiento: Conociendo solamente la evaluación de los primeros tres intentos, todavía existe la posibilidad de que el código no contenga amarillo, sino que la clavija negra de la fila 1 se refiera al color celeste. ¿Cómo podría verse el código correcto en este caso?)
Evaluación: Tres clavijas negras para amarillo, rojo y verde en las posiciones correctas. Verde en la primera posición no recibe ninguna clavija de evaluación.
5) B cometió un error de razonamiento. Debería saber que la cuarta posición no puede contener rojo; de otro modo hubiera recibido una clavija negra en la fila 2. Pero concluyó correctamente que el color rojo, no el verde, debe aparecer duplicado. (El amarillo no puede estar duplicado, porque en este caso A hubiera colocado dos clavijas en la fila 1.)
Verde está en la posición equivocada (clavija blanca); amarillo está en la posición correcta (clavija negra). Rojo en la tercera posición también está correcto (otra clavija negra). Rojo en la cuarta posición recibe una clavija blanca, porque el código contiene una segunda clavija roja, pero en una posición distinta.
6) B sabe ahora que todos sus colores son correctos; solamente que la posición de dos de ellos todavía está equivocada. Con eso (y tomando en cuenta las filas anteriores) tiene suficiente información para deducir el código correcto en su último intento.

Desde un punto de vista matemático, este juego es “difícil”, en el sentido de que no se puede dar ninguna estrategia generalizada que sea “óptima” en cada caso. Pero si el jugador B razona de manera consistente, y elimina todas las combinaciones imposibles, siempre será capaz de adivinar el código con 6 intentos o menos. Existe una estrategia computarizada que puede descubrir el código en un máximo de 5 intentos.

 


Familias educadoras y escuelas alternativas interesadas en un aprendizaje lúdico de la matemática, revisen los libros de la serie “Matemática activa”.

1 Comentario »

Matemática en la vida diaria: Juegos que ayudan a desarrollar el pensamiento matemático

En el artículo anterior hemos visto que muchos juegos de mesa son una forma de practicar la matemática pura. No es necesario que contengan números para que sea matemática. Un movimiento de ajedrez puede describirse como operación matemática, igual como una suma o una división. Existen matemáticos profesionales que pasan mucho tiempo analizando juegos.

Entre los juegos de tablero más conocidos figuran el ajedrez, el juego de damas, y las damas chinas. A casi todos los niños les gusta jugar estos juegos, y así entrenan su pensamiento lógico y estratégico. No lo considero necesario describir estos juegos aquí, porque se pueden conseguir fácilmente en cualquier tienda de juegos, y sus reglas se pueden averiguar en internet.
A continuación mencionaré algunos otros juegos idóneos para entrenar el pensamiento matemático:

Michi

Este juego muy conocido se juega entre dos jugadores, en un cuadrado de 3 por 3 cuadraditos dibujado en papel. Por turnos, cada jugador marca uno de los cuadraditos con su símbolo respectivo ( O resp. X ). Gana el primero en tener tres de sus símbolos en una línea recta (horizontal, vertical o diagonal).
Los niños más pequeños simplemente jugarán pensando en su turno actual. Niños más grandes podrán anticipar mentalmente una o más jugadas y así desarrollar una “estrategia ganadora” más eficaz.

Variación: “Michi cilíndrico”: Los jugadores se imaginan que el cuadrado fuera enrollado en forma de un cilindro, de manera que saliéndose por el borde derecho uno vuelve a entrar al cuadrado desde la izquierda. Esto significa que las siguientes configuraciones también constituyen “líneas rectas” y por tanto gana el jugador que alcanza una de ellas:

michi-cilindrico

Variación: “Michi al revés”: El que tenga tres de sus símbolos en una línea recta, pierde.

Marcar casitas

Se juega entre dos jugadores en papel cuadriculado. Primero se marca una “cancha de juego”, por ejemplo un rectángulo. La meta del juego es “conquistar” dentro de la cancha la mayor cantidad posible de cuadraditos, encerrándolos con rayas por sus cuatro lados. Los jugadores trazan por turno cada uno un lado de uno de los cuadraditos dentro de la cancha. Si un jugador logra encerrar un cuadradito completamente (trazando su último lado), puede marcarlo con su símbolo (O resp. X) y trazar una raya adicional. Si con esta raya adicional él completa otro cuadradito, puede marcarlo también y seguir jugando, etc. hasta que ya no puede completar ningún cuadrado. Los bordes de la cancha valen como rayas ya trazadas. Se juega hasta que todos los cuadrados de la cancha son marcados. Entonces es ganador el que marcó el mayor número de cuadrados.

Un ejemplo de una jugada:

marcarCasitas1

Comenzando con la situación a la izquierda, el jugador del turno pudo sucesivamente marcar los dos cuadraditos mostrados, y después trazó una línea más (última imagen). Su adversario podrá entonces marcar para sí el cuadradito abajo en el medio. (Normalmente, la cancha se hará más grande que esta.)
– Aunque se dé la situación de que un jugador puede con una sola línea marcar dos cuadraditos a la vez, puede después trazar una sola línea adicional, no dos.

Nim

Se juega entre dos jugadores con objetos pequeños como palitos de fósforos o piedritas. Los palitos se colocan en tres, cuatro o más filas. No hay regla acerca del arreglo inicial, los jugadores están libres para comenzar con cualquier arreglo que deseen. Por ejemplo, se puede comenzar con una fila de 3, una fila de 4 y una fila de 5 palitos. Otra posición inicial común es con cuatro filas que contienen 1, 3, 5 y 7 palitos respectivamente.
Entonces, por turnos, cada jugador quita unos palitos de una fila. Puede quitar tantos palitos como desea, con tal que todos se encuentren en la misma fila. El que puede quitar el último palito, gana.

Este es un juego muy antiguo, y uno de los primeros que fue analizado a fondo por matemáticos profesionales. Se encontró que existe una estrategia generalizada que permite ganar siempre al jugador afortunado que la puede aplicar primero. Pero no la explicaré aquí, para que el juego siga siendo interesante …

Solitario

Este juego se juega a solas. También es conocido con el nombre “senku”. El tablero tiene 33 agujeros en la siguiente forma:

solitaire267

En cada agujero se coloca un palito de fósforo, excepto en el agujero del medio que queda vacío.

Una jugada válida consiste en saltar con un palito sobre un palito vecino y colocarlo inmediatamente detrás del palito vecino en un agujero vacío, y enseguida se quita el palito vecino:

solitaire-salto267

O sea, un palito puede saltar solamente si a su lado se encuentra otro palito (el cual será quitado), y si detrás de ese otro palito hay un agujero vacío. Se puede saltar solamente en dirección horizontal o vertical, pero no diagonal. Ningún otro tipo de jugadas es permitido. Cuando ya no se puede hacer ninguna jugada válida, el juego termina. La meta consiste en saltar y quitar palitos tantas veces como sea posible, o sea hasta que quede un número mínimo de palitos. La solución perfecta (que es difícil de lograr) consiste en dejar un solo palito.

Variaciones: Se puede comenzar con posiciones iniciales distintas, usando menos que 32 palitos. Es una tarea de investigación interesante (pero exigente), descubrir con cuáles posiciones iniciales es posible que al final del juego sobre un solo palito. – Existe también una variación donde el tablero tiene una estructura hexagonal, de manera que se puede saltar en 6 direcciones.

Golf matemático

Este es un juego puramente matemático que se puede jugar sin ningún material, y existen muchas variaciones del mismo. Básicamente se trata de llegar desde un número inicial (normalmente el cero) exactamente hasta un número determinado, aplicando solamente ciertas operaciones prescritas.

La variación más sencilla para niños permite solamente sumar al número actual uno de dos números prescritos; y se puede jugar con regletas Cuisenaire y una cinta métrica pegada en la mesa (o una recta numérica dibujada en una tira larga de papel, con unidades de 1 cm). Por ejemplo, se permite solamente sumar 3 ó 5. Entonces, se juega únicamente con las regletas de las longitudes 3 y 5. Si el “número destino” es 19, entonces gana el jugador que primero alcanza exactamente 19, según las siguientes reglas:

– Jugando por turnos, cada jugador construye por su lado de la cinta métrica una fila ininterrumpida de regletas, comenzando desde el cero.

– Se pueden usar solamente regletas de las longitudes permitidas (3 ó 5, en nuestro ejemplo).

– En cada turno, se puede:
a) aumentar una regleta al final de la fila; o
b) remplazar una regleta de la fila por una regleta de la “otra” longitud (o sea, corregir un error cometido).

– No es permitido colocar una regleta solamente para “probar”. Si un jugador coloca una regleta y entonces no está conforme con su jugada, tiene que esperar el siguiente turno para corregirla.

– Si un jugador sobrepasa el destino (por ejemplo, llega con su fila al 20 en vez del 19), pierde.

– Si el jugador que comenzó el juego llega al destino, y el otro jugador puede enseguida también llegar al destino, ambos ganan.

GolfMatematico

Jugando así, se puede dar el problema de que el segundo jugador “copia” las jugadas del primer jugador, en vez de pensar por sí mismo. Esto se podría evitar haciendo que ambos jueguen simultáneamente (por ejemplo contando “uno, dos, tres” para cada turno), sin poder ver cuál regleta está escogiendo el otro jugador.
– Otra forma de evitar el problema consiste en no dar las mismas regletas a los dos jugadores; pero en este caso tendríamos que asegurar que ambos jugadores puedan llegar al destino con el mismo número de turnos. Por ejemplo, con las regletas de 3 y 5, el número 19 se puede alcanzar con un mínimo de 5 turnos, porque 5+5+3+3+3=19. Usando regletas de 3 y 4, también se puede llegar en 5 turnos, porque 4+4+4+4+3=19. Por tanto, con el 19 como destino, se podría dar a un jugador regletas de 3 y 5, y al otro jugador regletas de 3 y 4; entonces ambos tienen las mismas oportunidades, pero no pueden “copiar” el uno del otro. Esto requiere unos cálculos por parte de un adulto que define con anticipación el “número destino” y las regletas permitidas.

Este juego puede dar lugar a unas investigaciones interesantes. Por ejemplo, ¿se puede calcular de antemano la “solución más corta”? ¿Cómo se puede hacer eso? – ¿Qué pasa si jugamos con regletas de 4 y de 6, y queremos alcanzar el número 21? ¿Por qué sucede eso? – ¿Es posible alcanzar todos los destinos con palitos de 3 y 4? ¿con palitos de 4 y 5? ¿con palitos de 3 y 7? Etc…

Más difícil se vuelve el juego cuando se permiten tres (o más) números diferentes para sumar, pero que son relativamente grandes en comparación con el número destino. Por ejemplo, ¿cómo se puede alcanzar 38 en un mínimo de jugadas con regletas de 7, 9 y 10? ¿o cómo se puede llegar a 100 con los sumandos 13, 19 y 23? – ¿Cuáles son los destinos que no se pueden alcanzar con 7, 9 y 10? – Investigaciones como estas son un entrenamiento excelente en pensamiento matemático; pero la mayoría de los niños tendrán que alcanzar los doce años o más, antes que puedan emprender tales investigaciones con éxito y de manera sistemática.

Lobo y ovejas

Este es un juego para principiantes (niños pequeños) que se puede jugar antes de enseñarles el juego de damas. Como el juego de damas, se juega en un tablero de ajedrez, usando solamente los cuadrados negros. Las fichas avanzan diagonalmente, un paso a la vez. Un jugador es el lobo (una ficha negra en un borde del tablero), el otro jugador tiene cuatro ovejas (cuatro fichas blancas que se colocan en los cuadrados negros del borde opuesto del tablero). Las ovejas pueden solamente ir hacia adelante (diagonalmente); el lobo puede ir hacia adelante y hacia atrás.

lobo-ovejas240

No se puede saltar ni “matar” fichas. El lobo gana si logra llegar al borde opuesto del tablero (donde comenzaron las ovejas). Las ovejas ganan si logran encerrar al lobo, de manera que ya no puede moverse.

Molino

Se juega entre dos jugadores con fichas de damas en un tablero como en el dibujo:

Molino1-420

Un jugador tiene 9 fichas blancas, el otro 9 fichas negras. El juego tiene dos fases: la de colocar fichas, y la de mover fichas.

Primera fase:
Por turnos, cada jugador coloca una de sus fichas en uno de los puntos de intersección (o esquina) del tablero. Cada vez que un jugador logra colocar tres de sus fichas en una misma línea recta del tablero, puede quitar del tablero una ficha del oponente. Las fichas quitadas ya no juegan.

Las tres fichas en una línea se llaman “molino”. Una ficha que pertenece a un molino no puede ser quitada, excepto si todas las fichas del jugador pertenecen a molinos. – Aun si un jugador lograse en un solo turno crear dos molinos simultáneamente, puede quitar una sola ficha del oponente. (Estas reglas valen también para la segunda fase.)

Molino2-420

Segunda fase:
Cuando todas las fichas están colocadas, los jugadores (por turnos) mueven una de sus fichas por un paso; o sea, siguiendo una de las líneas negras hasta el siguiente punto (intersección o esquina). Si con este movimiento el jugador logra formar un molino, puede nuevamente quitar una ficha a su oponente.

Un jugador puede, en movimientos sucesivos, “abrir” y “cerrar” un mismo molino varias veces y quitar una ficha al oponente, cada vez que cierra el molino. Jugadores experimentados logran construir molinos combinados de tal manera que al abrir uno de ellos, con el mismo movimiento cierran otro.

MolinoCombinado-420

Arriba: Negro puede cerrar un molino si este es su turno. Blanco tiene molinos combinados.

Si un jugador tiene solamente tres fichas en el tablero, puede saltar con una de ellas a cualquier punto libre.

Ganador es el que quita todas las fichas de su oponente; o el que logra encerrar a su oponente de manera que ya no puede hacer ningún movimiento.

Variación: El mismo juego se puede jugar con 12 fichas por jugador. En este caso, al tablero se le añaden cuatro líneas diagonales:

Molino1diag-420

Unas variaciones del ajedrez

“Ajedrez con desventaja”: Si un jugador es mucho más experimentado que el otro (por ejemplo cuando un adulto juega con un niño que recién está empezando a aprender), el jugador más experimentado puede comenzar con una o dos figuras menos. Por ejemplo puede jugar sin reina, o con una sola torre y un solo alfil.

“Ajedrez cilíndrico”: Los jugadores se imaginan que el tablero es “enrollado” en forma cilíndrica, de manera que si una figura sale del tablero por el borde izquierdo, vuelve a entrar por el borde derecho, y viceversa. Así por ejemplo, un peón blanco en h4 y un peón negro en a5 podrían matarse mutuamente.

“Ajedrez al revés”: Quien tiene la posibilidad de comer una figura enemiga, tiene que comerla. Ganador es quien se queda primero sin figuras. (En esta variación, el rey se trata como cualquier pieza común: el juego continúa aunque el rey esté muerto.)

 


Familias educadoras y escuelas alternativas interesadas en un aprendizaje lúdico de la matemática, revisen los libros de la serie “Matemática activa” .

Deja un comentario »

Matemática en la vida diaria: La matemática de los juegos y los juegos de matemática

Matemática aplicada y matemática pura

En el artículo anterior hemos visto que la vida diaria está llena de matemática. Los quehaceres del hogar brindan muchas oportunidades para enseñar y aplicar principios matemáticos. Solamente hay que tener los ojos abiertos y la mente despierta para reconocer y aprovechar estas oportunidades.

Los ejemplos del artículo anterior pertenecen al campo de la “matemática aplicada”: Se usa la matemática para describir y analizar situaciones de la vida real, o para hacer predicciones acerca de tales situaciones. Para la mayoría de las personas, éste es probablemente el único uso que hacen de la matemática en su vida diaria. Pero la mayoría de los matemáticos profesionales dirían que esta no es la matemática “verdadera”, o por lo menos que esta no es la esencia de la matemática. La matemática “en sí” (“matemática pura”) es una abstracción que lleva una vida propia, independiente del mundo material. (Por ejemplo, se pueden investigar las propiedades de los números primos, independientemente de si en el mundo real existen números primos o no.) La matemática pura se caracteriza no por llevar a cabo determinadas operaciones y procedimientos, sino por un modo de pensar particular. Algunos aspectos de esta forma de “pensar matemáticamente” son:

– Encontrar y describir regularidades, patrones, principios, leyes generales de “cómo se comportan” los objetos matemáticos (números, figuras geométricas, etc.)

– Aplicar estos principios y leyes de manera consistente a situaciones nuevas.

– Fundamentar nuevas propiedades, leyes y reglas a base de leyes y principios ya conocidos.

– Explicar el “por qué” de las propiedades y resultados matemáticos.

Para poder aplicar la matemática de manera sensata a situaciones de la vida real, es necesario desarrollar esta capacidad de pensar matemáticamente. Al usar situaciones de la vida diaria para enseñar matemática, se deben señalar también los principios en los que se basan las operaciones matemáticas: ¿Qué significa sumar? (Básicamente significa juntar dos cantidades o magnitudes.) ¿Qué significa restar? (Al nivel más sencillo, restar significa “quitar”. Al nivel de los principios matemáticos, la resta es la operación inversa de la suma.) ¿Qué significa una fracción? (Matemáticamente, una fracción es lo mismo como una división, solamente escrita de otra forma.) ¿Por qué puedo intercambiar los números en una suma, pero no en una resta? – o sea, ¿por qué es 3+7 = 7+3, pero 3-7 no es lo mismo como 7-3? (Esta pregunta ya lleva a consideraciones bastante profundas, que son difíciles de entender aun para muchos adultos. – Un alumno entrenado en los caminos del sistema escolar con su memorización de definiciones, tal vez diría: “Porque la suma es conmutativa, pero la resta no.” Pero en realidad eso no responde a la pregunta ¿Por qué?; es solamente volver a enunciar el problema con otras palabras. – Para poder dar una respuesta apropiada, es necesario entender cómo “funcionan” los números negativos.)

¿Cómo podemos entonces ayudar a los niños a desarrollar la capacidad de pensar matemáticamente?

El juego como abstracción matemática, y como vía de acceso a la matemática pura

– Los razonamientos al nivel de principios matemáticos son bastante abstractos; entonces no podemos esperar que un niño promedio en edad de primaria pueda realizarlos de manera consciente. Pero existe una forma de abstracción matemática que es accesible aun para niños bastante pequeños, y es el juego. No cualquier juego, por supuesto; pero aquellos juegos que son determinados por reglas fijas y movimientos claramente definidos. El matemático Paul Lockhart hace la siguiente sugerencia para las clases de matemática en los primeros grados:

“¡Déjenlos jugar! Enséñenles ajedrez y go, hex y chaquete, nim, o cualquier otro. Inventen sus juegos propios. Resuelvan rompecabezas y adivinanzas. Confróntenlos con situaciones donde tienen que razonar de manera deductiva. No se preocupen por las técnicas y notaciones. Ayúdenles a convertirse en pensadores matemáticos activos y creativos.”
(Paul Lockhart, “Lamento de un matemático”)

Efectivamente, esta clase de juegos cumplen los requisitos de la matemática pura:

– Son abstracciones, independientes del mundo real. Aunque normalmente se juegan con figuras, tableros etc. concretos (lo que satisface la necesidad de los niños), el juego en sí es independiente de estas figuras concretas. Un buen ajedrecista puede jugar ajedrez en su mente, sin teniendo un tablero verdadero ni figuras verdaderas delante de sí.

– Se rigen según reglas fijas y consecuentes. Aunque las reglas son en cierto sentido arbitrarias (se han inventado variaciones del ajedrez donde algunas reglas son distintas), no pueden cambiar durante el juego, una vez que han sido definidas. Estas reglas corresponden a los principios y leyes en la matemática. La matemática pura puede considerarse un “juego” donde se establecen ciertas reglas fundamentales, y después se analiza lo que sucede cuando se “juega” de acuerdo a estas reglas.

– Dentro del marco establecido por las reglas, se pueden teoréticamente describir, clasificar y analizar todos los “partidos” posibles. (En un juego complejo como el ajedrez, esto es imposible en la práctica porque el número de partidos posibles es tan inmenso; pero teoréticamente la posibilidad existe. En juegos simples como p.ej. michi, es también factible en la práctica, elaborar una tabla de todos los partidos posibles.) Aun en aquellos juegos que contienen un elemento de azar, como p.ej. los juegos con dados, los sucesos “al azar” suceden según probabilidades matemáticas, y por tanto es posible analizar el juego matemáticamente.

Por tanto, los juegos de tablero, de dados, etc, son un buen entrenamiento en el pensamiento matemático. Requieren razonar, aplicar reglas de manera consecuente, y sacar conclusiones lógicas. Los juegos de estrategia, tales como ajedrez, requieren también hacer predicciones fundamentadas de movimientos futuros (“si yo hago esto, él puede hacer eso”), y elaborar estrategias a base de estas predicciones. Y a los niños ¡les gusta jugar!

“Un nuevo estudio descubrió que los expertos en juegos de mesa, como el ajedrez, utilizan una región del cerebro que el resto no solemos usar. La investigación, publicada en ‘Science’, realizó escáneres cerebrales de jugadores, tanto profesionales como aficionados, del juego japonés shogi. Expertos del Instituto de Ciencia Cerebral Riken, en Japón, descubrieron que las jugadas intuitivas que realizan estos jugadores no son naturales, sino que surgen del entrenamiento cerebral. (…) El hallazgo fue una sorpresa, porque al volverse expertos los maestros shogi comienzan a usar todas las regiones del cerebro.”
(Diario “El Comercio”, Lima, 30 de enero de 2011)

Por tanto, jugar no es tiempo perdido. Al contrario, es una actividad importante del niño que desarrolla su inteligencia y su personalidad. Además, el niño aprende a ser honesto cuando tiene que jugar según las reglas; y se prepara para obedecer las “reglas” de Dios. Para que una sociedad funcione bien, sus integrantes tienen que “jugar según las reglas”; de otro modo habrá toda clase de conflictos. Un niño que no aprendió a obedecer las reglas de un juego, experimentará conflictos en sus relaciones con otras personas; y también dificultará en entender la matemática.

En un artículo siguiente deseo describir algunos juegos que ayudan a los niños a pensar matemáticamente y estratégicamente.

Deja un comentario »

Matemática en la vida diaria: Operaciones matemáticas en el quehacer diario

En un artículo anterior hemos examinado unos conceptos matemáticos básicos, y hemos dado unas sugerencias de cómo los niños pueden asimilar estos conceptos de manera natural en su vida cotidiana en el hogar. Veremos ahora como muchas actividades de nuestra vida diaria están relacionadas con la matemática, de manera que podemos usarlas como oportunidades educativas.

Las cosas que vienen en pares

Zapatos, medias y guantes vienen “en pares”, así como también algunos otros objetos de la vida diaria. Si tenemos ocho pares de zapatos para lustrar, ¿cuántos zapatos son? – Así podemos introducir los conceptos de “el doble” y “la mitad”.

Haciendo compras

Cuando nuestros hijos eran pequeños, un panecillo costaba diez céntimos. Entonces fue fácil para ellos, ir a la tienda con seis monedas de diez céntimos y calcular que con eso podían comprar seis panes. Esta fue una de las primeras operaciones matemáticas que ellos realizaron, aun antes de saber leer o escribir números. Más tarde aprendieron que dos monedas de diez céntimos valen “veinte”, tres monedas valen “treinta”, etc; y así aprendieron a contar de diez en diez. Durante esa etapa intentamos siempre tener suficientes monedas de diez céntimos a la mano, para no complicar sus cálculos con monedas de otros valores. Después aprendieron que existe una moneda de veinte céntimos que vale igual como dos monedas de diez; y que existe una moneda de cincuenta céntimos que vale igual como cinco monedas de diez; etc; y así aprendieron poco a poco a cambiar monedas y a entender su valor. Por un buen tiempo, su “unidad básica” en estos cálculos seguía siendo el pan: “¿Cuántos panecillos puedo comprar con eso?” O cuando escucharon que un litro de leche cuesta S/.1.20: “¿Cuántos panes son eso?” Así practicaron sumas (una moneda de cincuenta más una moneda de veinte son 5 + 2 = 7 panes) y restas (tengo un sol (10 panes) y compro 8 panes, ¿cuánto recibo de vuelto?). Como “añadidura” aprendieron a hacer las mismas operaciones con decenas, puesto que tuvieron que calcular a base de monedas de diez céntimos. – Unos años más tarde subió el precio del pan, y entonces en una tienda vendieron por ejemplo “ocho panes por un sol”, y en otra tienda “siete panes por un sol”. Esta ya no era una proporción tan fácil, entonces se presentó el desafío de calcular con estas nuevas proporciones: Si me dan 7 panes por un sol, ¿cuánto recibo por 3 soles? – De los panes que cuestan ocho por un sol, ¿cuánto cuestan veinte panes? – Así nuestros hijos se iniciaron poco a poco en la multiplicación, la división, y el cálculo con proporciones. Ellos nunca dificultaron en el tema de las proporciones (a diferencia de muchos niños escolares), porque tuvieron suficientes experiencias concretas que involucran proporciones.

Cabe notar que nuestros hijos realizaron todas estas operaciones mencionadas sin libros ni cuadernos, solamente calculando mentalmente. Aunque tenían aparte un cuaderno donde a veces les dimos unos ejercicios más sistemáticos, o les hicimos anotar unos principios fundamentales, para ayudarles a entender los conceptos matemáticos de manera ordenada – pero en comparación con los niños escolares, ellos tuvieron mucho menos necesidad de tales ejercicios, porque su entendimiento ya había sido preparado con sus experiencias prácticas. Además, desarrollaron buenas capacidades de cálculo mental – algo que les hace falta a la mayoría de los alumnos del sistema escolar.

Por supuesto que ellos compraron también otras cosas, no solamente panes. Así tuvieron muchas oportunidades de sumar precios de leche, fideos, verduras, lápices, borradores, etc; de comparar precios, calcular cambios, hacer presupuestos, etc. Los problemas prácticos que se presentaron al hacer compras, incluyeron situaciones como esta: En una tienda ofrecen tres huevos por un sol. En otra tienda venden un kilo de huevos a cinco soles. ¿Dónde son más económicos? – Para encontrar la respuesta, tuvieron que descubrir primero cuántos huevos son un kilo, y después encontrar una manera de comparar los precios. Obviamente, este problema también está relacionado con proporciones.

Los cálculos con dinero son también una buena preparación para aprender a convertir medidas y a calcular con decimales. Un precio como S/.16.70 ya es un número decimal. Los cálculos con dinero se pueden realizar o convirtiendo todo a céntimos, o aplicando directamente los principios del cálculo con decimales. La situación es un poco más fácil aquí porque tenemos siempre exactamente dos dígitos decimales; pero la experiencia se puede fácilmente generalizar para todos los números decimales más adelante.

Así, una actividad cotidiana como ir de compras brinda oportunidades ilimitadas para practicar las cuatro operaciones básicas. ¿Cómo aprovechamos estas oportunidades educativas de la mejor manera?
Conversando, explicando, y respondiendo a las preguntas de los niños. Los niños aprenden un montón, simplemente observándonos e imitándonos. Desde pequeños los llevábamos con nosotros al hacer compras, y ellos nos observaron. De vez en cuando les dimos unas explicaciones: “Mira, esta es una moneda de diez céntimos.” – “Con esta moneda se puede comprar un pan.” – “Con esta otra moneda se pueden comprar dos panes.” – Con el tiempo, los niños empiezan a hacer preguntas: “Y esta otra moneda, ¿cuántos panes se pueden comprar con ella?” – “Por qué la señora te devuelve dinero?” – Cada pregunta de un niño es una oportunidad excelente para enseñarle algo.
Haciendo preguntas a los niños. De vez en cuando, nosotros también hicimos preguntas a los niños, “planteando el problema”: “¿Cuánto dinero debe darnos la señora de vuelto?” – “Mira, un kilo de papas cuesta S/.1.30 aquí, ¿cuánto costarán cinco kilos?” – “Mira, estos dos helados cuestan un sol cada uno. ¿Prefieres el helado grande de agua, o el helado pequeño de leche?” (Esta última pregunta ya no es estrictamente matemática. Pero demuestra al niño que a menudo no es suficiente fijarse solamente en los números o en las cantidades, sino también – por ejemplo – en la calidad del producto.)
No resolver para el niño lo que él mismo puede resolver. Por ejemplo, a veces mandamos a uno de los niños a comprar una cantidad determinada de pan, leche, etc. (un producto del cual conoce el precio), y no le dimos dinero, sino esperamos a que él nos pida la cantidad correspondiente de dinero. Si el niño dice solamente “Dame dinero”, le preguntamos: “¿Cuánto necesitas?”

Negocios propios

Quedémonos un poco más con el tema del dinero. Oportunidades educativas aun más variadas se dan cuando los niños empiezan a hacer sus propios negocios. Algunos niños preparan galletas, pan, gelatina, y otros productos para venderlos. Otros ofrecen sus servicios atendiendo en una tienda, haciendo trabajos de limpieza en una casa, o ayudando a otros niños con sus tareas escolares. Otros crían animales o cultivan verduras. (No se trata de “mandar a los niños a trabajar”. Se trata de que ellos mismos buscan estas oportunidades para ganarse un dinero que pertenece a ellos y que lo pueden usar como ellos mismos desean.)
Este es el momento para enseñarles a llevar una contabilidad sencilla; por lo menos un registro de ingresos y egresos. Esto les ayuda a ser responsables con el dinero, a mantener orden, y a tener un control sobre los resultados de sus negocios – cuánto están ganando, ¡o si tal vez están haciendo pérdidas! Y además hacen experiencias con la matemática. Por ejemplo, los cálculos relacionados con ingresos y egresos, inversiones, ganancias y deudas, ayudan a comprender las leyes que rigen las operaciones con números negativos.

Cuando se elabora un producto para venta, es también aconsejable hacer primero un cálculo de gastos y beneficios. Así se puede decidir cuál será un precio de venta razonable para el producto. Para obtener un cuadro más realista, se pueden incluir en el cálculo las horas de trabajo, y así calcular cuánto será la ganancia por hora de trabajo. Todos estos cálculos requieren bastante pensamiento matemático y ayudan a ver la utilidad de la matemática para la vida real.
Por ejemplo, durante algún tiempo nuestros hijos tuvieron un negocio de fabricar y vender cajitas de cartón para regalos. Entonces calcularon la cantidad de cartón que necesitaban para una determinada cantidad de cajas, y el precio del cartón y de los otros materiales necesitados (goma, cintas, etc.) Después midieron el tiempo que necesitaron para fabricar una cantidad determinada de cajas. A base de estos datos calcularon su ganancia por hora de trabajo, para diferentes precios de venta por caja.

A veces los niños deciden ahorrar dinero para poder comprarse algo que desean mucho (por ejemplo una bicicleta, un instrumento musical, o hasta una computadora). Entonces puede ser útil calcular de antemano cuánto tendrán que trabajar (por ejemplo, cuántas cajas tendrán que vender) hasta alcanzar su meta.

Cocinando según receta

Al probar una receta nueva se aprende un montón – no solamente matemática, también lectura, nutrición, física y química, y otras cosas más. Pero nos limitaremos por ahora al aspecto matemático.
Para preparar una receta correctamente, es necesario medir y pesar correctamente. Una buena balanza y una litrera graduada serán indispensables. Entonces, los niños pronto tendrán bien claro cuánto es un gramo y un kilogramo, un litro y un mililitro. – Las mediciones pueden requerir también conceptos un poco más difíciles. Por ejemplo, tenemos una balanza de cocina que tiene una numeración de 100 a 100 gramos, y cinco marcas en cada intervalo de 100 gramos. Entonces, el primer desafío consistía en descubrir cuánto vale una de esas marcas. Después, al pesar: 300 gramos y tres rayitas más, ¿cuánto es eso? – ¿Cómo hago para pesar 175 gramos?
Otro problema al pesar: Echo azúcar en un recipiente y lo peso. Pero esto me da el peso del azúcar junto con el recipiente. ¿Cómo puedo saber el peso del azúcar sin el recipiente?
– Algunas recetas tienen indicaciones como: “3/4 tazas de harina”. Entonces se practican también operaciones con fracciones. – ¿Y si mi taza es más grande o más pequeña que la que usaron para la receta? ¿Cuánto entra en una taza, según esta receta? ¿Y cuánto entra en mi taza? – Esto puede dar lugar a un cálculo un poco complicado (el tema de las proporciones se asoma nuevamente).
– Las proporciones entran también en este problema bastante común: La receta dice “para 4 personas”. Pero seremos siete personas para el almuerzo; entonces ¿cuánto de cada ingrediente tenemos que usar?
– Después tenemos que medir también tiempos: “Hornear durante 45 minutos.” Son las 10:37. ¿A qué hora estará lista nuestra torta? Cuidado con equivocarse, ¡la torta se puede quemar! Eso es lo interesante en la matemática en la vida diaria: Si me equivocó, no recibo ninguna marca roja en el cuaderno (la cual haría solamente que me enoje contra el profesor). Pero experimento una consecuencia real: la torta se quema, o la comida tiene un sabor extraño – entonces me esfuerzo para calcular mejor la próxima vez, y entiendo que la matemática es realmente útil.

Balanza justa, medida exacta

Aquí tenemos otro principio bíblico que es muy importante en la matemática: la exactitud en las mediciones. Esto tiene que ver con la justicia que Dios exige de nosotros: “No hagáis injusticia en juicio, en medida de tierra, en peso ni en otra medida. Balanzas justas, pesas justas y medidas justas tendréis.” (Levítico 19:35-36; vea también Deut.25:13, Prov.11:1, 16:11, 20:10, 20:23.) En toda clase de negocio, siempre instruimos a nuestros hijos a medir y pesar correctamente. (Y en caso de duda, mejor ser generosos que ser tacaños.) – A veces volvemos a pesar en casa las compras del mercado, para comprobar si el peso es correcto.
Hay muchas otras situaciones de la vida diaria que involucran medidas: Trabajos de carpintería, y otros trabajos manuales, requieren mediciones y construcciones geométricas. Antes de pintar las paredes, hay que medir y calcular su área, y calcular cuánta pintura se necesitará. Al cultivar un jardín, puede ser necesario medir y calcular áreas de terreno, longitudes de cercos, alturas de postes, cantidades de semillas. Coser y tejer también requiere diversas mediciones. Al ir de viaje, puede ser necesario consultar mapas, calcular distancias y tiempos de viaje. Al lavar ropa o hacer limpieza en la casa, hay que medir y calcular las cantidades correctas de detergente y agua. Al hacer instalaciones eléctricas hay que medir y calcular la longitud de cable que se necesita. A veces, por pura curiosidad los niños quieren saber cuánto mide la puerta de su cuarto, cuán alto es el árbol frente a la casa, o cuánto pesa la cómoda en su habitación.
Al medir, para algunos niños es una dificultad entender que la medición empieza con “cero”, porque al contar están acostumbrados a comenzar con “uno”. Entonces colocan la regla o cinta métrica con el número 1 al inicio del objeto a medir. Tenemos que explicarles que al inicio todavía no hay “nada”, o sea cero; y recién cuando hemos avanzado un centímetro (por ejemplo), tenemos “uno”. Este concepto del “cero” no es tan trivial como parece; por ejemplo los antiguos griegos y romanos todavía no conocían el cero como número. Por eso, el medir requiere un desarrollo mental más avanzado que el contar.

¿Cuánto peso? ¿Cuánto mido?

La mayoría de los niños, en alguna etapa de su vida se interesan por su propio crecimiento. Podemos en intervalos regulares medir y anotar su estatura y su peso. (No hay necesidad de delegar eso a los médicos y enfermeras; lo podemos hacer en casa.) En vez de solamente anotar las mediciones en una tabla, podemos graficarlas. Algunas familias usan el sistema de las “rayas en la pared” para marcar la estatura de sus hijos en determinadas fechas. Un poco más profesional es graficar las mediciones en un gráfico peso-tiempo resp. estatura-tiempo. – Nosotros pintamos en un lugar de la casa una escala métrica en la pared, desde el piso hacia arriba; entonces los niños podían medirse ellos mismos allí.

Leer el reloj

Saber la hora es esencial en muchas situaciones de la vida. Todas estas situaciones nos dan una oportunidad para enseñar a nuestros hijos el significado de una hora, un minuto y un segundo; y para mostrarles cómo se lee el reloj. – Aunque hoy en día prevalecen los relojes digitales, opino que sigue siendo útil saber leer un reloj analógico. El reloj analógico provee una ilustración más gráfica (y por tanto más “concreta”) del pasar del tiempo, que el reloj digital. Es un poco más complicado leerlo, pero eso significa un entrenamiento matemático adicional: Una vez que un niño sabe leer los minutos en un reloj analógico, ha aprendido implícitamente también la tabla de multiplicación por 5. Además ha recibido una ilustración de proporciones: La velocidad del minutero es 12 veces la velocidad del horario; y la velocidad del segundero es 60 veces la velocidad del minutero. Cuando el niño tiene una imagen del reloj grabada en su mente, se recuerda más fácilmente de que el día tiene 12 horas (habrá que recordarle que la noche tiene 12 horas adicionales), una hora tiene 60 minutos, y un minuto tiene 60 segundos. Y la experiencia de ver diariamente girar las manecillas del reloj, prepara al niño para poder entender más adelante lo que es un ángulo.
Aparte del saber la hora, algunas otras actividades de la vida diaria implican también el uso de un reloj o de un cronómetro. Por ejemplo contar el pulso de una persona. Es bueno enseñar eso a los niños después de que han comprendido cómo se ve en el reloj cuando ha pasado un minuto, o medio minuto.

La energía que consumimos

A veces enviamos a los niños a pagar las facturas de la electricidad y del agua. Así llegan a tener una idea de lo que cuesta la energía que consumimos. De vez en cuando analizamos estas facturas, y nuestro consumo. Por ejemplo:

¿Cuánto cuesta un metro cúbico de agua? ¿Cuántos metros cúbicos consumimos en un mes? ¿Cuántas bañeras podríamos llenar con esta cantidad de agua?
¿Cuánto de agua consume el “wáter” cada vez que bajamos el agua? ¿al día? ¿al mes?
¿Cuánto ahorramos con coleccionar agua de la lluvia para regar el jardín, en vez de usar agua del caño para eso?

¿Cuánto cuesta un kilovatio-hora (kWh) de electricidad?
¿Por cuánto tiempo estaría prendida la luz eléctrica, la computadora, la refrigeradora, la plancha, … – hasta gastar un kWh?
¿Cuánto cuesta ducharse 10 minutos con la ducha eléctrica? (Tiene una potencia de 5400 W, ¡eso es un montón!)
¿Cuánto ahorramos entonces mensualmente con nuestro improvisado calentador solar (una simple manguera negra de 100 metros de largo sobre el techo de la casa)?
(Se puede ampliar la pregunta, calculando cuánta agua cabe en esta manguera, sabiendo su diámetro interior.)

Trabajos manuales

Muchas cosas que se venden en las tiendas, se pueden también fabricar de manera casera. Por ejemplo las tarjetas de invitación para el cumpleaños de un niño: En vez de comprar tarjetas prefabricadas, ¿por qué no cortar tarjetas de cartulina y poner un dibujo o pegar una figura decorativa cortada de papel? Tales trabajos aumentan la independencia y la autoestima de los niños: “¡Puedo hacerlo yo mismo!” – Y además entrenan destrezas matemáticas. Cortar tarjetas de cartulina requiere diversos cálculos, particularmente divisiones: Si quiero tarjetas de 14 cm de largo, ¿cuántas tarjetas salen de este pliego de cartulina? – Si quiero sacar ocho tarjetas de lo largo de esta cartulina, ¿cuánto tiene que medir cada tarjeta? – Después hay que realizar una construcción geométrica para dividir el pliego en rectángulos. Es una pena que las escuelas no valoren más la práctica de construcciones geométricas; algo tan esencial en trabajos con papel y cartón, en los artes gráficos, en trabajos de carpintería, de arquitectura, de construcción y de ingeniería, y en muchas otras áreas. ¡Hagámoslo en casa!
Se pueden crear adornos decorativos, doblando y cortando papel. Tales trabajos proveen una experiencia concreta y práctica de lo que es la simetría. – También el origami es una muy buena experiencia concreta con formas geométricas. – La fabricación de cajitas de cartón, mencionada arriba, requiere diversas construcciones geométricas en el plano y en el espacio.
Los trabajos de carpintería son también buenos ejercicios en geometría y mediciones – desde arreglar una silla rota hasta fabricar muebles propios. Algo que los niños pueden aprender con bastante facilidad, es cortar madera “triplay” con una sierra caladora (sierrita fina). Así pueden fabricar sus propios rompecabezas y otros juegos, o una casita para muñecas.
Igualmente, al coser y tejer hacemos uso de medidas y números. Según el psicólogo Howard Gardner (descubridor de las “inteligencias múltiples”), el tejer está muy relacionado con la inteligencia matemática. Un trabajo de tejido puede dar lugar a problemas como los siguientes: He tejido 80 puntos y miden 30 cm, pero mi tejido debe medir 48 cm. ¿Cuántos puntos tengo que tejer? – Nuevamente es un problema con proporciones; realmente las proporciones están por todas partes. Si un niño no llega a entenderlas, debe ser porque las aprendió como un ejercicio escolar, en vez de experiencias prácticas en casa. – También esta situación puede presentarse al tejer: Tengo un patrón de tejido que se repite cada 13 puntos, y mi tejido debe medir alrededor de 110 puntos. ¿Cuántos puntos exactamente debo tejer para que todos los patrones me salgan enteros y no sobren puntos? – Aquí entramos al tema de los múltiplos y divisores – un tema recurrente en la matemática de los tejidos. Aquí hay otro de esta clase: Mi tejido tiene un patrón repetitivo de 4 puntos; y más abajo tiene un patrón que se repite cada 6 puntos. ¿Cómo debe ser el número total de puntos para que ambos patrones se repitan completos, sin que uno de ellos salga cortado? (Pauta: Esta situación implica el concepto del “múltiplo común”, pero no necesariamente el “mínimo”.) – La manera como se combinan los puntos de un tejido para formar un diseño, es la misma como se combinan los puntos (píxeles) de una pantalla de computadora para formar una imagen digital. Por tanto, los patrones de tejidos requieren la misma clase de razonamiento como el diseño de gráficos computarizados.

Planos y mapas

En diversas situaciones puede ser necesario saber orientarse con un mapa en una ciudad o en el campo; o saber interpretar un plano de una casa. En muchas familias, eso no es parte de su vida diaria; pero en mi opinión debería serlo. Ha habido casos de aventureros que se perdieron en el desierto o en la alta montaña; si hubieran tenido un mapa y hubieran sabido usarlo, hubieran encontrado el camino correcto. Otros fueron estafados al comprar un terreno, porque no sabían leer los planos. Un caso menos extremo, pero todavía bastante molestoso: ¿alguna vez perdió usted horas buscando una calle determinada en una ciudad, cuando un mapa podría haberle dado la respuesta rápidamente? – Algunos quizás piensan que desde la invención del GPS ya no es necesario saber orientarse en un mapa. Pero para entender las indicaciones del GPS, ¡igualmente es necesario saber interpretar un mapa!
En algunos lugares existen grupos de “scouts” donde los niños y adolescentes pueden aprender las destrezas correspondientes. Donde no existe esta oportunidad, tenemos que aprenderlo nosotros, juntos con nuestros hijos. Un comienzo puede consistir en estudiar juntos el plano de la propia casa. ¿Podemos ubicar la sala, la cocina, el dormitorio? – Tenemos que considerar que el leer un plano o un mapa implica un cambio de perspectiva: Es necesario imaginarse cómo se verían las cosas vistas desde el aire. Por tanto, tenemos que esperar hasta que los niños tengan la madurez suficiente para llevar a cabo este cambio de perspectiva en su mente. – Se pueden jugar juegos con el plano. Por ejemplo, escondo un objeto determinado (una pelota, una muñeca, …) en algún lugar de la casa y después indico a los niños en el plano dónde se encuentra el objeto. ¿Quién lo encuentra primero?
Después podemos hacer lo mismo con un plano o mapa de las calles del vecindario. Vamos a un lugar determinado, a ver si los niños lo pueden identificar en el plano. O marcamos un lugar específico y preguntamos a los niños: ¿Qué cosa se encuentra en ese lugar? – ¿Quién vive en esta casa? – etc. Si no lo saben, que vayan al lugar (con la ayuda del mapa) a averiguarlo. – En vez de usar un mapa, se puede usar primero una imagen satelital (p.ej. de las Mapas Google) donde es más fácil para los niños, identificar casas u otros lugares que les son conocidos.
La orientación en el campo es más difícil, porque allí no encontramos calles con nombres. En su lugar, tenemos que ubicarnos según el rumbo de los senderos, o con la ayuda de marcas naturales (ríos y canales, cerros, rocas), o según la vegetación que está indicada en un buen mapa (bosques; terrenos cultivados; lugares desiertos). En un nivel más avanzado, se puede aprender la orientación según el relieve del terreno (líneas de altura), o con la ayuda de una brújula.
Los niños pueden también aprender a elaborar sus propios planos y mapas. Un buen punto de partida es nuevamente la propia casa. Que midan su propia habitación y la dibujen a escala. Pueden también medir su cama, mesa, cómoda, y otros muebles que pueden tener, dibujarlos a la misma escala en otro papel o cartón y cortarlos. Después pueden mover estas piezas en el plano y probar distintas ubicaciones de los muebles, para ver si desean ordenarlos de otra manera. – Si tienen perseverancia para hacerlo, pueden medir la casa entera y dibujar un plano, o incluso hacer una maqueta tridimensional. (1:50 es una buena escala para una casa; 1:20 para un plano de una sola habitación que no es muy grande.)
Todas estas actividades proveen muchas aplicaciones de la matemática y geometría.

Las preguntas curiosas de los niños

A veces los niños hacen preguntas relacionadas con números, cantidades y medidas. Por ejemplo, un día mi hijo preguntó: “¿Cuántas hojas de papel son una tonelada?” – Para un padre aburrido es fácil responder “No lo sé”, o decir cualquier número al azar. Pero una respuesta mucho mejor es (si los niños ya tienen el nivel correspondiente de comprensión): “A ver, vamos a calcularlo.” En el paquete de papel está indicado: “75 g/m2“. Nos falta averiguar cuántas hojas de papel son un metro cuadrado. Podríamos medir y calcularlo. Pero la cosa se hace mucho más fácil cuando entendemos el sistema de los formatos DIN (A4, A5, etc.): El número indica cuántas veces sucesivas se parte un pliego de 1 m2 por la mitad, hasta obtener el formato indicado. Entonces, una hoja A4 corresponde a 1/24 = 1/16 m2. (De paso, esta es una oportunidad para practicar potencias. Una pequeña agenda de bolsillo tiene el formato A7, ¿qué fracción de un metro cuadrado es eso?) – Sabemos entonces que 16 hojas de este papel pesan 75 gramos. Así podemos calcular fácilmente cuántas hojas son una tonelada. (¡¡Proporciones otra vez!!) – Un método alternativo consistiría en comprar un millar de papel, pesarlo, y establecer la proporción a partir de este dato.

Unos años más tarde, uno de mis hijos había leído acerca de la historia de las computadoras, y se enteró de que antes de inventar los medios de almacenamiento magnético (disquetes, discos duros), los datos se almacenaban en tiras de papel perforado. Entonces dijo: “Seguramente esas tiras de papel ocupaban mucho espacio. Si las computadoras actuales funcionaran así, ¿cuánto mediría una tira de papel lo suficientemente larga para almacenar el sistema operativo “Windows”?” – Una oportunidad para un cálculo interesante. Tuvimos que hacer unas suposiciones iniciales acerca del tamaño que ocupa una perforación (un “bit”) en el papel, y acerca del grosor del papel. Entonces llegamos a la conclusión de que una tal tira de papel, enrollada, llenaría nuestro patio entero. ¡A imaginarnos que un DVD, o una pequeña memoria USB, almacena varias veces la cantidad de información que correspondería a tal tira de papel!

Otras preguntas “matemáticas” de los niños podrían ser, por ejemplo:
¿Cuánto pesa el nevado Huascarán?
¿Qué tamaño tiene una nube?
¿Cuán rápido vuela una mosca?
Si se podría viajar a la luna en carro, ¿cuánto tiempo duraría el viaje? (y ¿cuánta gasolina habría que llevar?)
¿Cuántos átomos hay en mi almuerzo?

Nota al margen: Preguntas como estas pertenecen a la categoría de las “estimaciones Fermi” (según el físico italiano Enrico Fermi): Se trata de calcular una cantidad determinada, sin conocer los datos iniciales exactos; pero el resultado se puede aproximar, haciendo suposiciones razonables acerca de los datos iniciales. Por ejemplo, se pueden estimar la altura, la extensión de base y la densidad promedia del nevado Huascarán, y calcular a base de estas estimaciones.

Estos últimos ejemplos demuestran también que los niños, una vez que han hecho suficientes experiencias matemáticas en su vida cotidiana, empiezan a extender ideas matemáticas más allá del ámbito de su experiencia inmediata. Una vez que entienden la aplicabilidad de la matemática al mundo real, tienen la confianza de que la matemática puede responder también a preguntas que sobrepasan su propio horizonte de experiencias.

Beneficios del adquirir la matemática en relación con la vida diaria

Al comparar nuestros hijos con alumnos del sistema escolar, veo un gran beneficio particular de este método: Nuestros hijos entienden el significado de la matemática. En cuanto a las habilidades “técnicas” (tales como multiplicar o dividir mecánicamente), ellos no llevaron ninguna ventaja significativa durante sus años de primaria. (Ahora, en su adolescencia, se nota una ventaja en estas áreas también.) Por ejemplo, los alumnos escolares de primaria también saben convertir metros en centímetros y viceversa, después de haberlo practicado cientas de veces. Pero la mayoría de ellos están perdidos cuando les pido señalar con sus manos cuánto es un metro, y no pueden dar ninguna estimación sensata de cuánto mide una mesa, o cuán largo es el patio de la casa. – Los alumnos escolares saben también sumar, restar, multiplicar y dividir por escrito. Pero muchos de ellos no saben decir cuál de estas operaciones es apropiada para resolver un problema como este: “Un muro tiene el largo de 18 ladrillos y la altura de 22 ladrillos; ¿cuántos ladrillos se necesitan para construir el muro?” – O sea, los alumnos escolares realizan sus cálculos mecánicamente sin encontrar ningún significado en ellos. Los niños que aprendieron matemática en su vida diaria, en cambio, asocian sus cálculos con experiencias concretas, y por tanto entienden lo que significan en una situación concreta.

 


Para familias educadoras y escuelas alternativas, los libros de la serie “Matemática activa” proveen un método de proveer a los niños un aprendizaje según las ideas esbozadas en este artículo.

5 comentarios »

Matemática en la vida diaria: Primeros pasos

La educación en casa permite que los niños aprendan matemática de la manera más natural: en su vida diaria y en los sucesos normales de su entorno familiar. Esto es algo que una escuela no puede brindar, aun si quisiera hacerlo.
Pero antes de mencionar sugerencias prácticas, trataré de dibujar “el cuadro grande”.

Un poco de trasfondo

Los niños escolares y sus profesores conocen generalmente una sola manera de aprender matemática: memorizando fórmulas, procedimientos y definiciones abstractas, y resolviendo una cantidad sumamente exagerada de ejercicios que exigen la aplicación mecánica de estos procedimientos. Pero aquellos matemáticos profesionales que se ocupan de cuestiones educativas – por lo menos en las universidades prestigiosas de los Estados Unidos -, en su mayoría están sumamente descontentos con esta manera de enseñar y aprender matemática. Se quejan de que los alumnos no aprenden a pensar matemáticamente, no se les da suficiente tiempo para procesar mentalmente los principios fundamentales, y se les transmite una noción muy equivocada de lo que “es” la matemática. Aparte de ser burocrático, el método escolar desconecta la matemática de la vida diaria, y así la hace incomprensible e inaplicable para el alumno. Charlotte Iserbyt documenta que esto puede haberse hecho intencionalmente:

“Según el ‘Educador Nacional’, Julio de 1979:
(Testimonio del educador jubilado, O.A.Nelson)
(…) Un cierto Dr.Ziegler me pidió asistir a una reunión educativa especial. (…) Fuimos 13 personas. Dos cosas habían causado que el Dr.Ziegler me invitase: Mi charla acerca de la enseñanza de física funcional en las escuelas secundarias, y el hecho de que yo era miembro de un grupo conocido como los ‘Educadores progresivos de América’. Yo pensaba que la palabra ‘progresivo’ significaba un progreso para escuelas mejores, pero (más tarde me enteré de que) no era otra cosa que un frente comunista. Once de los presentes eran líderes en la educación. Los doctores John Dewey y Edward Thorndike de la Universidad de Columbia estaban allí, y los demás eran de igual influencia. Más tarde averigüé y descubrí que TODOS ellos eran miembros pagados del Partido Comunista ruso. Yo también era clasificado como un miembro del partido, aunque en aquel entonces yo no lo sabía.
¡El único trabajo de ese grupo consistía en destruir nuestras escuelas! Pasamos una hora y cuarenta y cinco minutos hablando acerca de la ‘Matemática Moderna’. En un punto yo les contradije porque su propuesta contenía demasiada memorización; y dije que la matemática es razonar, no memorizar. El Dr.Ziegler se volvió hacia mí y dijo: ‘Nelson, ¡despierta! Eso es lo que queremos … ¡una matemática que los alumnos no podrán aplicar a ninguna situación de la vida después de terminar la escuela!‘ – Esta matemática se introdujo en las escuelas solamente muchísimos años más tarde, porque en aquel entonces pensaban que iba a ser un cambio demasiado radical. (…) Entonces, si los alumnos terminan la secundaria sin saber nada de matemática, no los culpen por ello. Estos resultados son planeados.”
(Charlotte Iserbyt, “The Deliberate Dumbing Down of America”, http://www.deliberatedumbingdown.com)

Así es como la enseñanza escolar de la matemática sigue funcionando hasta hoy – también aquí en el Perú, y supongo que en muchos otros países más. Hace mucho tiempo ya, educadores como María Montessori y Jean Piaget han demostrado que los niños de primaria necesitan experimentar situaciones concretas y manipular materiales concretos para poder razonar correctamente; y que el pensamiento abstracto, en la mayoría de los niños, no despierta hasta la edad de la secundaria. Sin embargo, el sistema escolar obliga a los pequeños a memorizar definiciones abstractas como por ejemplo: “La sustracción es la operación matemática en la cual se sustrae el sustraendo del minuendo, para dar como resultado la diferencia.” – Después tienen que “aplicar” estos términos en ejercicios como: “Si en una sustracción, el minuendo es 76 y la diferencia es 39, ¿cuánto es el sustraendo?” – Con este método, el 99% de los alumnos nunca comprenderán lo que es una sustracción, por más que resuelvan cientos de estos ejercicios. Esto simplemente no corresponde a la manera de pensar de un niño de diez años. Además, con toda probabilidad nunca más va a tener que resolver tales ejercicios en su vida adulta, ni va a tener que usar las palabras “minuendo” y “sustraendo” – excepto si se decide ser profesor(a) de primaria y así perpetuar esta tortura con la siguiente generación de alumnos.

Nota aparte: Tan pronto como la comprensión matemática avanza un poco más, ya no es necesario usar los conceptos de “minuendo” y “sustraendo”, porque ambos son implicados en el concepto de “sumando” – tomando en cuenta que un sumando puede ser tanto positivo como negativo. Esto corresponde a la esencia de la matemática que consiste en generalizar y simplificar, no diversificar y complicar. La buena matemática consiste en expresar todo de la forma más sencilla posible.

Un niño comprenderá mucho mejor lo que es una sustracción, si lo experimenta en diversas situaciones concretas de su vida diaria. Por ejemplo, jugando a los tiros, experimentará que de vez en cuando pierde algunos de sus tiros. O teniendo cierta cantidad de dinero, va a hacer compras y experimenta que su dinero disminuye. O en la cocina hay cierto número de manzanas, y la familia come cinco manzanas, entonces quedan menos manzanas en la cocina. Así puede formarse en la mente del niño el concepto de que “sustraer (o restar) es quitar”. Más tarde se puede formalizar este concepto, usando materiales específicos para la matemática (p.ej. un ábaco, o las regletas Cuisenaire), y haciendo dibujos correspondientes (p.ej. dibujar 12 círculos que representan 12 manzanas, después tachar 5 de ellos para representar que se comieron 5 manzanas). Como último paso, se puede enseñar al niño cómo anotar una sustracción con números. Este es el camino que corresponde a la mente del niño: comenzando con la experiencia concreta (¡una multitud de experiencias!), uno lo puede guiar poco a poco hacia conceptos más abstractos (el principio general de que “restar es quitar”, y su notación matemática). Pero mientras un niño no ha hecho suficientes experiencias concretas, no va a comprender realmente el concepto abstracto.

Los términos técnicos necesarios se pueden introducir de manera natural, conversando juntos en el transcurso de la experiencia práctica. Por ejemplo, tenemos 3 tazas rojas y 5 tazas azules, juntas son 8 tazas – mientras el niño hace esta experiencia, podemos decir: “Entonces la suma de las tazas rojas y azules es ocho.” – O en la tienda venden seis naranjas por un sol; entonces podemos decir (si el niño ya tiene suficiente madurez para entenderlo): “La proporción de naranjas a soles es de seis a uno.”

Iniciar a los niños en la matemática

Los primeros conceptos del pensamiento matemático pueden formarse a una edad temprana, de manera natural, en el transcurso de la vida cotidiana. Cuando papá o mamá realizan los quehaceres de la casa juntos con sus hijos, juegan juntos, o simplemente conversan juntos en el transcurso del día, se presentan numerosas “oportunidades educativas” que incluyen conceptos matemáticos básicos. He aquí unos ejemplos:

El concepto del orden

Dios ha creado un universo ordenado, y de la misma manera nos conviene a nosotros mantener orden en el pequeño “universo” de nuestro hogar. El orden es un elemento importante en la matemática. El niño pequeño que aprende a guardar sus juguetes en la caja de juguetes, está al mismo tiempo aprendiendo un concepto matemático: Aprende a clasificar los objetos en su alrededor según un criterio definido. ¿Pertenece a la caja de juguetes o no? (Varios años más tarde expresará esta relación en los términos de la teoría de los conjuntos.)
Esta misma actividad del “clasificar y ordenar” es esencial en otros trabajos de la vida diaria: al poner la mesa; al guardar los cubiertos y servicios después de lavarlos; al guardar la ropa limpia en el lugar apropiado; al escoger verduras para cocinar; etc. – Más adelante, el niño puede aprender a clasificar objetos según diversos otros criterios: juguetes de madera y de plástico; papas grandes y pequeñas; manzanas verdes, amarillas y rojas; etc.
Igualmente se pueden ordenar objetos según a quién pertenecen: “Este es el pantalón de papá, esta es la media de Rut, esta es la falda de mamá …” – “¿A quíén pertenece este carrito? ¿A quién pertenece este pañuelo?” – Esto a la vez enseña al niño a cuidar sus pertenencias, y a respetar la propiedad ajena.
Al “orden” pertenece también el concepto de la relación entre dos o más objetos. Por ejemplo, existe una relación entre una herramienta y los objetos con los cuales se usa: El martillo se usa para los clavos, el serrucho para la madera, la plancha para la ropa, la aguja con el hilo, etc. – Relaciones similares existen entre objetos que se complementan o se usan juntos: la olla se relaciona con su tapa, el fósforo con su cajita, la llave con la cerradura. Al usar tales objetos en la vida diaria, se puede conversar con el niño acerca de la relación que existe entre estos objetos. Más adelante se le puede mostrar por ejemplo la tapa de una olla y preguntar: ¿A qué pertenece esto?, o mostrar una aguja y preguntar: ¿Con qué se usa esto? Aun un paso más allá consistiría en expresar la pregunta de manera puramente verbal, sin mostrar el objeto: ¿Con qué se usa la llave? – ¿Con qué se usa el pasador? – Esto se puede hacer fácilmente durante las conversaciones entre padres e hijos a lo largo del día.
Otro aspecto del orden es la comparación – por ejemplo del tamaño: ¿Cuál manzana es más grande? – ¿Quién es más alto, papá o mamá? – Se pueden comparar también otras cualidades como el peso, el matiz del color (claro-oscuro), etc. – Los niños pequeños normalmente no pueden comparar más de dos objetos entre sí. Solamente cuando entran a la etapa de las “operaciones concretas” (según Piaget), pueden realizar “seriaciones”, o sea, ordenar una serie de tres, cuatro o más objetos según tamaño, peso, color, etc.

El concepto del espacio

La matemática (particularmente la geometría) tiene que ver también con el ubicarse en el espacio y describir relaciones espaciales: “encima de”, “al lado de”, “delante de”, “dentro de”, etc. Los quehaceres diarios brindan muchas oportunidades para practicar descripciones que hacen uso de estas relaciones espaciales:
– Tráeme la escoba; está detrás de la puerta.
– Por favor, ponme este florero encima de la mesa.
– ¿Dónde está el cucharón? – En el cajón de arriba.
La ubicación en el espacio se facilita también jugando juegos que requieren un desplazamiento en el espacio (juegos de pelota; manejar tríciclo o bicicleta; hasta trepar árboles …), y ubicándose en las calles del vecindario.
La relación “izquierda – derecha” normalmente presenta mayores dificultades. Esto puede ser debido a que la integración entre los hemisferios izquierdo y derecho del cerebro se completa recién entre los siete y los nueve años de edad, en la mayoría de los niños. Por tanto, puede ser que tengamos que conceder a los niños más tiempo para desarrollar su capacidad de distinguir entre “izquierda” y “derecha”. Particularmente difícil es para aquellos niños que usan ambas manos con la misma destreza (o sea, que no desarrollan una preferencia para el uso de la mano derecha, pero tampoco son zurdos), porque ellos no disponen de ninguna manera práctica para distinguir entre sus dos manos. Una vez que se sienten seguros con la lectura y escritura, uno puede ayudarles explicándoles que el lado de la página donde comenzamos con leer o escribir, es siempre el lado izquierdo.
Una dificultad particular ocurre cuando la relación “izquierda – derecha” implica un cambio de la perspectiva: Cuando estamos frente a una cómoda o un escritorio, llamamos “cajón derecho” al cajón que está a mi mano derecha. Sin embargo, cuando estamos frente a una persona, su mano derecha está donde está mi mano izquierda. Esto parece paradójico a muchos niños, y necesitan bastante tiempo (¡y experiencias concretas!) para comprenderlo. Nuevamente, este aprendizaje sucede de la manera más natural en la vida cotidiana, mediante situaciones que involucran esta relación de “izquierda – derecha”.

El concepto del número

En la vida diaria hay muchas oportunidades para contar objetos: Frutas (p.ej. una para cada miembro de la familia), juguetes (tengo uno, dos, tres, cuatro tiros), platos (¿cuántos tenemos que poner en la mesa?), etc. Si aprovechamos estas oportunidades para contar objetos con nuestros hijos, pronto entenderán el concepto del número y aprenderán a contar ellos mismos. (El concepto del número lo entienden cuando se dan cuenta de que “uno”, “dos”, “tres” no son nombres de determinados objetos, sino que se usan para señalar la misma cantidad de objetos cualesquieras.) Entonces no hay necesidad de hacer repetir a los niños como loros: “Uno, dos, tres, cuatro, cinco…” – así los niños pensarán que se trata solamente de palabras y sonidos sin sentido. Debemos darles la experiencia de que los números se asocian a cantidades de objetos reales y concretos – sean papas, nuestros dedos, o aun los cuadrados en el diseño del mantel de la mesa.
Normalmente, el niño aprende a contar y a entender números, mucho antes de que aprende a leer y escribir números. Lo último es un acto bastante abstracto y vendrá varios años más tarde, si permitimos al niño desarrollarse de manera natural.

El concepto de medir

Muchas veces en nuestro quehacer diario necesitamos medir longitudes, pesos, tiempos, etc. Cada vez que realizamos una medición, hacemos matemática. – El concepto de “medida” es bastante más avanzado que el contar, y los niños normalmente no lo entienden hasta que son capaces también de escribir y leer números. Por tanto, trataremos de este tema en la parte siguiente.
Al tratar con niños pequeños, debemos tener en cuenta que ellos todavía no pueden imaginarse nada concreto cuando hablamos de “un metro”, “un litro” o “una hora”. Tenemos que encontrar maneras más concretas de describir medidas para niños pequeños: “desde aquí hasta allí” (señalando con la mano); “tanto tiempo como necesitas para caminar hasta el mercado”; “esta botella llena”; etc.

(Continuará)

 


Para familias educadoras y escuelas alternativas, los libros de la serie “Matemática activa” proveen un método de proveer a los niños un aprendizaje según las ideas esbozadas en este artículo.

Deja un comentario »

Olimpiadas de matemática: No solo Einstein …

Hace algún tiempo mencioné que Albert Einstein probablemente no hubiera ganado ninguna olimpiada de matemática. Su pensamiento era demasiado lento – pero tanto más profundo. Einstein no es el único ejemplo de ello. De hecho, tengo que suponer que la mayoría de los matemáticos realmente buenos se sentirían muy incómodos con la manera como se llevan a cabo las “olimpiadas de matemática” contemporáneas. Y los ganadores de estas olimpiadas muy probablemente no serán los mejores matemáticos. Aquí tenemos más evidencia de ello:

“Muchos pensadores matemáticos fuertes y profundos sienten repulsión ante la matemática (escolar), a causa de su énfasis en la velocidad. En mi experiencia, los matemáticos están entre las personas más lentas que conocí. Esto no lo digo como un insulto contra los matemáticos; al contrario: A menudo ellos son lentos en pensar porque su pensamiento es muy profundo.
Lauren Schwartz es una de las matemáticos más grandes de Francia; ella ganó la Medalla Field, que es algo como el Premio Nobel en matemáticas. Ella dice acerca de su tiempo escolar:
‘Siempre me sentía muy insegura acerca de mi propia capacidad intelectual. Pensé que yo no era inteligente. Y es cierto que yo era bastante lenta, y todavía lo soy. Necesito tiempo para captar las cosas, porque siempre necesito comprenderlas completamente. Incluso cuando alguna vez logré ser la primera en responder una pregunta de la profesora, era solamente porque eran preguntas cuya respuesta yo ya sabía. Cuando surgía una pregunta nueva, otros alumnos siempre respondían antes que yo. En mis últimos años escolares, yo pensaba dentro de mí que yo era estúpida, y esto me preocupaba por mucho tiempo. Nunca lo dije a nadie, pero siempre estaba segura de que algún día me descubrirían como una impostora. El mundo entero vería que en realidad yo no era inteligente. Ahora, esto nunca sucedió. Aparentemente nadie nunca se dio cuenta, y sigo siendo tan lenta como siempre. Al terminar la secundaria, finalmente llegué a la conclusión de que la rapidez no está relacionada con la inteligencia. Lo que importa es entender las cosas profundamente, y entender como se relacionan entre sí. Allí está la inteligencia. No es relevante si alguien es rápido o lento. – Claro que te ayuda si eres rápido, como también te ayuda tener una buena memoria. Pero no es necesario ni suficiente para tener éxito intelectual.'”
(Jo Boaler, educadora en matemática, Universidad de Stanford)

¿Por qué entonces los exámenes de matemática en las escuelas dan tanta importancia a la rapidez? Se exige que se resuelvan dentro de un límite fijo de tiempo; y a menudo son preparados de tal manera que solamente uno o dos alumnos de toda la clase logran resolver todos los ejercicios dentro de este tiempo. Entonces, muchos alumnos sacan malas notas no porque se hubieran equivocado, sino simplemente porque no se les dio suficiente tiempo para resolver el examen. Y según lo que dicen los matemáticos profesionales, ¿dónde tendríamos que buscar a los futuros matemáticos buenos, a los pensadores profundos? – ¡Exactamente entre estos alumnos “lentos” que no logran resolver todos los ejercicios dentro del tiempo!

Esto es no solamente injusto; es trágico. No solamente para los perdedores. Es trágico también para los ganadores. Imaginémonos a ese ganador de una olimpiada de matemática, que ahora orgullosamente piensa que él es “el mejor”. Elige una carrera matemática o científica porque piensa que eso le sería fácil. Y solamente cuando ya está bastante avanzado en sus estudios universitarios, recién se dará cuenta de que en realidad él no es tan buen pensador. Lo que le ayudó para ganar la olimpiada de matemática, eran mayormente fórmulas memorizadas, “trucos” para resolver ciertos tipos de problemas de manera muy rápida (pero sin entenderlos verdaderamente), y la rutina de haber resuelto muchos ejercicios similiares. Pero todo eso no es pensamiento matemático. La capacidad de pensar profundamente, de llegar “al fondo” de un asunto, no se cultiva en olimpiadas de matemática ni en exámenes escolares. Pero esta sería exactamente la capacidad más necesaria para un buen matemático o científico.

Escuchemos otra vez a Jo Boaler acerca del daño que hacen los límites de tiempo en los exámenes:

“Uno de los mensajes más importantes que nos dan las neurociencias, es que la matemática nunca se debería asociar con rapidez. Se hicieron numerosas investigaciones en los últimos años, demostrando que los ejercicios y exámenes con límite de tiempo causan la fobia ante la matemática a temprana edad. Yo pienso que los exámenes con límite de tiempo son algo de lo más dañino en el sistema escolar.
Sian Beilock y sus colegas hicieron escaneos del cerebro para estudiar como el temor afecta a los estudiantes cuando calculan con datos matemáticos en exámenes con límite de tiempo. Los cálculos requieren recobrar información almacenada en la memoria funcional del estudiante. Cuanto más memoria funcional tiene una persona, más potencial tiene para el éxito académico. Ahora, Beilock y sus colegas encontraron que el estrés bloquea la memoria funcional. Así que los estudiantes no pueden recordar los datos que les son conocidos. Ud. tal vez reconoce esta situación de cualquier situación en público donde Ud. tuvo que usar algo de matemática que le era conocido – tal como calcular el cambio en un restaurante -, y Ud. miró los números y sintió que su mente quedó en blanco. Este es el impacto del estrés que bloquea la memoria funcional. – Ellos encontraron que la fobia ante la matemática impacta más a las personas con mayor cantidad de memoria funcional; o sea, exactamente a aquellos estudiantes que tendrían el potencial de llegar a un nivel alto en la matemática.”

Reitero por tanto mi llamado a cambiar la forma de las olimpiadas de matemática. En vez de exámenes con límite de tiempo, se deberían dar tareas de investigación que invitan a analizar un problema de manera profunda, y con suficiente tiempo para resolverlo. (Vea en este artículo.)

1 Comentario »

Sugerencia para una olimpiada de matemática que realmente incentive el pensamiento matemático

En la primera parte de este artículo expliqué por qué las “olimpiadas de matemática” no incentivan mucho el pensamiento matemático. En cambio, incentivan otras capacidades que no tienen mucho que ver con pensar matemáticamente: Memorizar una gran cantidad de fórmulas y datos matemáticos; y resolver ejercicios prescritos en un mínimo de tiempo (lo cual induce una forma de pensar superficial).

El verdadero pensamiento matemático consiste en encontrar soluciones nuevas y creativas para un problema que uno nunca antes ha encontrado. Y como vimos en la parte anterior, esto requiere tiempo. Entonces, una olimpiada matemática que realmente incentive el pensamiento matemático, no puede consistir en un examen que debe resolverse dentro de un tiempo muy limitado. Consistiría en un problema novedoso, y se debe dar mucho tiempo para resolverlo. Además, no se calificaría simplemente la solución final. Se calificaría el razonamiento que el estudiante empleó para llegar a la solución. O sea, el estudiante debe ser capaz de explicar de manera lógica y coherente, cómo llegó a la solución.

Esto es lo que se hace también en la matemática profesional. No es suficiente que un matemático presente una solución a un problema, o que establezca un nuevo teorema. El matemático tiene que explicar lógicamente cómo llegó a la solución, y tiene que demostrar de manera convincente que su solución o teorema es correcto. Y los matemáticos profesionales no hacen esto en sesiones con límite de tiempo, donde tienen que entregar su respuesta dentro de noventa minutos. No, ellos demoran semanas, meses, a veces hasta años reflexionando acerca del mismo problema, intentando las más diversas maneras de resolverlo, hasta que finalmente encuentren una solución.

Ahora, yo no sé si alguna vez estaré en la situación de organizar un concurso de matemática. Pero quién sabe si algún día algún lector de este blog tenga esta oportunidad. Para este caso, presento aquí mi sugerencia.

Una olimpiada de matemática que realmente incentive el pensamiento matemático, requerirá la entrega de un trabajo escrito acerca de un problema matemático novedoso, inusual, de una clase que no figure dentro de los currículos escolares; de preferencia un problema que permita una multitud de soluciones posibles. Para la elaboración de este trabajo se debe dar suficiente tiempo – por lo menos un mes a partir del momento en que se conoce el tema. Como tema se pueden dar varios problemas para elegir entre ellos, o se puede dar libertad para que el estudiante proponga un tema propio. En su trabajo escrito, el estudiante presentará no solamente su solución del problema. Explicará también detalladamente los pasos que lo llevaron a su solución, y dará una demostración lógica de que su solución es correcta. Este trabajo escrito tendrá entonces un formato comparable con un ensayo o una tesis académica.

Entre los trabajos entregados, se seleccionarán los mejores para que participen en una sustentación pública. Los autores de estos trabajos expondrán ante un jurado el contenido de su trabajo y responderán a preguntas del jurado (y puede que aun del público), para demostrar su dominio del tema. Serán premiados los estudiantes que presenten el razonamiento más lógico y coherente, y las soluciones más ingeniosas y novedosas, tomando en cuenta también la dificultad del problema.

Hasta se podría publicar un libro con los mejores trabajos de un tal concurso.

Por supuesto que esta forma de concurso de matemática impone mayores exigencias al jurado. El jurado tiene que integrarse por personas que sepan pensar matemáticamente ellos mismos – y muchos profesores de matemática no cumplen con este requisito. (¿Será por eso que no se organizan olimpiadas matemáticas de esta forma?) También tendrán que invertir más tiempo en la calificación, y en la preparación de preguntas para la sustentación. No podrán maquinalmente asignar puntos a un examen de selección múltiple. Pero la recompensa consistirá en un nivel más elevado de pensamiento matemático por parte de los participantes.
Y, de paso sea dicho: No se generaría el trabajo administrativo excesivo de tener que calificar miles de trabajos de estudiantes que sacarán “cero puntos” como en las olimpiadas convencionales; porque estos estudiantes de “cero puntos”, si no entienden el tema, ya se darán cuenta de ello en el proceso de escribir su trabajo, y se retirarán del concurso. Pero quizás ¿esta es otra razón por la cual no se organizan olimpiadas matemáticas de esta forma – porque los muchos participantes con “cero puntos” generan ingresos adicionales para los organizadores? De ser cierto, esto comprobaría que el dinero les importa más que el incentivar el pensamiento matemático…

Uno podría decir que la calificación de tales trabajos y sustentaciones puede ser subjetiva. Sí, existe cierto elemento subjetivo en esto. Al igual como en las calificaciones de tesis y sustentaciones en toda universidad. Y en una universidad, esto tiene aun mayores consecuencias: El participante de una olimpiada de matemática recibe solamente un premio para esta única oportunidad; pero el estudiante que sustenta su tesis en la universidad, gana o pierde la aprobación de su carrera entera. Sin embargo, ninguna universidad renunciaría por ello a este proceso “subjetivo” de calificar tesis y sustentaciones. Mas bien se esfuerzan por hacer el proceso lo más objetivo posible. Es que los educadores universitarios saben que esta es una de las mejores maneras de incentivar el pensamiento independiente del estudiante, y su capacidad de investigación. Entonces no hay razón para no hacer lo mismo con estudiantes de niveles inferiores que quieren destacar en el pensamiento matemático. Si las universidades logran calificar a sus estudiantes de manera justa con este sistema, los organizadores de una olimpiada de matemática lo pueden lograr también.

Daré unos ejemplos de problemas apropiados para esta clase de olimpiadas matemáticas:


1. Investiga las propiedades de sucesiones aritméticas de números primos, tales como:

11, 41, 71, 101, 131

(131 es el último miembro de esta sucesión, porque 161 ya no es primo.)
En particular:
– Investiga y describe cómo se pueden encontrar tales sucesiones de longitud máxima con valores numéricos mínimos.
– Demuestra o refuta la hipótesis: Existen sucesiones aritméticas de números primos de longitudes arbitrariamente largas.
– Describe y fundamenta cualquier otra propiedad de tales sucesiones que encuentres.


2. Investiga diversas clases de ecuaciones diofantinas* de segundo grado, tales como:

ax + b = y2
ax + by = xy
x
2 + y2 = z2

etc. (donde a, b representan números conocidos; x, y, z son incógnitas.)
Analiza casos especiales; busca también soluciones generalizadas donde fuera posible. Toma en cuenta que una ecuación diofantina por lo general tiene múltiples soluciones.
* “Ecuaciones diofantinas” son ecuaciones que deben resolverse de tal manera que las incógnitas representen números naturales.

(Note que la tarea anterior es intencionalmente formulada de manera abierta: Se dan algunos ejemplos de formas que puede asumir una ecuación diofantina de segundo grado, pero el “etc.” incentiva al estudiante a ampliar el tema con formas adicionales de su propia creación.)


3. Propón una forma de construir un reloj solar que indique no solamente las horas del día, sino también los días del año; y que pueda funcionar en distintas latitudes geográficas. Presenta un diseño, y fundamenta tu solución geométricamente.


4. (Para alumnos de grados inferiores):
Investiga el juego de “Michi”:
– ¿Cuál es la mejor jugada para el primer jugador?
– Para cada jugada posible del primer jugador, ¿cuál es la mejor jugada para el segundo jugador?
– ¿Cómo terminará un juego de “Michi” donde ambos jugadores juegan de manera óptima, o sea, eligiendo siempre la mejor jugada posible?
Fundamenta tus respuestas lógicamente. Describe cualquier otra propiedad interesante que descubras acerca de este juego.


Problemas como estos no figuran en los libros escolares, ni en las olimpiadas matemáticas convencionales. Son problemas que requieren una investigación profunda y prolongada, y que no tienen una “única solución” que se podría marcar en un cuadro de selección múltiple. Y es exactamente por estas características, que tales problemas incentivan el pensamiento matemático mucho más que las tareas convencionales.

1 Comentario »

Por qué Einstein no hubiera ganado la olimpiada de matemática

Parece que las olimpiadas de matemática están de moda. Cada país, cada ciudad, cada escuela que se siente orgullosa de su existencia, quiere organizar una. Y todos los alumnos quieren participar – y los que no quieren participar, son obligados a ello por sus profesores o por sus padres. Aun los que desde un inicio no tienen posibilidades de ganar. Por eso, las listas de resultados de tales olimpiadas suelen llevar una larga cola de nombres que figuran con cero puntos.

La creencia general es que tales olimpiadas incentiven el pensamiento matemático en los alumnos. Pero, ¿es realmente “pensamiento matemático” lo que se necesita para ganar una olimpiada de matemática?

Primeramente, la gran mayoría de participantes que sacan cero puntos, no se han beneficiado en nada. No han aprendido nada, ni antes ni durante el evento, porque obviamente las tareas están por encima de su comprensión. Solamente se llevan una mala experiencia, y lo más probable es que pierdan la motivación por la matemática.

Ahora, los que sí tienen el potencial de sacar un buen puntaje, ¿qué capacidades han entrenado por medio de un tal evento?

Las tareas que se dan en las olimpiadas de matemática, normalmente requieren el conocimiento de una sola propiedad matemática, una fórmula, una sola “idea feliz”, para resolverla en el tiempo más breve posible. (En casos excepcionales se requiere una combinación específica de dos o tres propiedades matemáticas.) Y los límites de tiempo en estas olimpiadas son muy estrechos: Si uno quiere resolver todo, puede invertir ni siquiera cinco minutos para cada tarea. – Entonces, aquellos participantes que se quedan atrás, normalmente se ven limitados por estos dos factores: Memoria y tiempo.

El factor “memoria”: Los que no logran ganar, no han podido meter en sus cabezas una cantidad tan enorme de fórmulas y datos matemáticos como los ganadores. Con lo que tienen presente en su memoria, podrían encontrar las soluciones de algunas tareas, pero probablemente por un camino un poco más difícil, un poco más lento. Los ganadores, en cambio, pueden recurrir a su memoria y sacar de allí una fórmula memorizada que “dispara” la tarea de un solo golpe.

El factor “tiempo”: Los que resuelven las tareas por un camino un poco más lento, no pueden terminar todas las tareas en el tiempo asignado. Entonces se quedan con un bajo puntaje, no porque no hubieran entendido la tarea, ni porque fueran incapaces de resolverla, sino solamente porque no les queda tiempo para hacerlo.

Pero estos dos factores, memoria y tiempo, tienen muy poco que ver con pensamiento matemático. Memorizar una gran cantidad de fórmulas todavía no es pensar matemáticamente. Resolver un gran número de tareas en tiempo mínimo tampoco es pensar matemáticamente.

El gran científico Albert Einstein, cuando era niño, era “atrasado” en su desarrollo. No sabía hablar hasta los cuatro años de edad, y hasta los nueve años tenía problemas del habla. Sus profesores lo describieron como un alumno de comprensión lenta. Mucho más tarde dijo acerca de su descubrimiento de la teoría de la relatividad: “Un adulto ordinario nunca se preocupa por los problemas del espacio y del tiempo. El considera estos pensamientos como cosas de niños. Pero yo me desarrollé tan lentamente que empecé a curiosear acerca del espacio y del tiempo recién cuando ya era adulto. En consecuencia, me introduje más profundamente en este problema de lo que un niño ordinario hubiera hecho.”

Einstein, de niño o joven, probablemente no hubiera ganado ninguna olimpiada de matemática. El no era un niño precoz como lo son los ganadores de estas olimpiadas. Y puesto que él necesitaba tiempo para pensar profundamente acerca de los problemas, se hubiera estrellado contra los límites de tiempo.

Pero si él no hubiera tomado más tiempo que las personas ordinarias, para pensar acerca de los problemas del espacio y del tiempo, entonces nunca hubiera descubierto la teoría de la relatividad. En cambio el pensamiento apresurado, bajo presión del tiempo, es una forma superficial de pensar. Por tanto, las olimpiadas de matemática no fomentan el verdadero pensamiento matemático. Solo fomentan un pensamiento superficial que busca soluciones rápidas para problemas poco profundos. Los ganadores de olimpiadas matemáticas raramente son los mejores matemáticos.

Keith Devlin, profesor de matemática en la universidad de Stanford, dice:

“Nosotros los matemáticos profesionales nos desesperamos por los sistemas escolares que imponen estrechos límites de tiempo sobre los exámenes de matemática, y obligan a trabajar rápidamente. La verdadera matemática requiere tiempo.

Y también: “Pensar matemáticamente no es lo mismo como hacer matemática – por lo menos no de la manera como nuestro sistema escolar normalmente presenta la matemática. (…) La clave para el éxito en la matemática escolar consiste en pensar como el profesor quiere que pienses. En contraste, una característica clave del pensamiento matemático es pensar en contra del pensamiento convencional.

Y el matemático Paul Lockhart dijo:

“Los alumnos aprenden de sus profesores lo que (supuestamente) es la matemática, y éstos a su vez lo aprendieron de sus profesores, y así se repite en cada generación esta falta de comprensión y valoración de la matemática. Aun peor: Esta “seudo-matemática”, este énfasis en la manipulación correcta (pero sin sentido) de símbolos, crea su propia cultura y sus propios valores (equivocados). Aquellos que la dominan, se vuelven presumidos. No quieren saber nada de que la matemática es creatividad y estética. A muchos alumnos, sus profesores les dijeron durante diez años que eran “buenos en matemática”; pero cuando llegaron a la universidad, se decepcionaron al descubrir que no tenían ningún talento matemático. Solamente habían sido “buenos” en seguir las órdenes de otras personas. Pero la matemática no trata de seguir las órdenes de otra gente. Se trata de descubrir direcciones nuevas.

Por tanto, en una segunda parte trazaré algunas sugerencias de cómo podría organizarse un concurso de matemática que realmente fomente el pensamiento matemático.

(Continuará)

1 Comentario »