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Matemática en la vida diaria: Juegos que ayudan a desarrollar el pensamiento matemático

Vea también:Libros de Matemática Activa

para un aprendizaje sistemático según los principios expuestos en este artículo.


En el artículo anterior hemos visto que muchos juegos de mesa son una forma de practicar la matemática pura. No es necesario que contengan números para que sea matemática. Un movimiento de ajedrez puede describirse como operación matemática, igual como una suma o una división. Existen matemáticos profesionales que pasan mucho tiempo analizando juegos.

Entre los juegos de tablero más conocidos figuran el ajedrez, el juego de damas, y las damas chinas. A casi todos los niños les gusta jugar estos juegos, y así entrenan su pensamiento lógico y estratégico. No lo considero necesario describir estos juegos aquí, porque se pueden conseguir fácilmente en cualquier tienda de juegos, y sus reglas se pueden averiguar en internet.
A continuación mencionaré algunos otros juegos idóneos para entrenar el pensamiento matemático:

Michi

Este juego muy conocido se juega entre dos jugadores, en un cuadrado de 3 por 3 cuadraditos dibujado en papel. Por turnos, cada jugador marca uno de los cuadraditos con su símbolo respectivo ( O resp. X ). Gana el primero en tener tres de sus símbolos en una línea recta (horizontal, vertical o diagonal).
Los niños más pequeños simplemente jugarán pensando en su turno actual. Niños más grandes podrán anticipar mentalmente una o más jugadas y así desarrollar una “estrategia ganadora” más eficaz.

Variación: “Michi cilíndrico”: Los jugadores se imaginan que el cuadrado fuera enrollado en forma de un cilindro, de manera que saliéndose por el borde derecho uno vuelve a entrar al cuadrado desde la izquierda. Esto significa que las siguientes configuraciones también constituyen “líneas rectas” y por tanto gana el jugador que alcanza una de ellas:

michi-cilindrico

Variación: “Michi al revés”: El que tenga tres de sus símbolos en una línea recta, pierde.

Marcar casitas

Se juega entre dos jugadores en papel cuadriculado. Primero se marca una “cancha de juego”, por ejemplo un rectángulo. La meta del juego es “conquistar” dentro de la cancha la mayor cantidad posible de cuadraditos, encerrándolos con rayas por sus cuatro lados. Los jugadores trazan por turno cada uno un lado de uno de los cuadraditos dentro de la cancha. Si un jugador logra encerrar un cuadradito completamente (trazando su último lado), puede marcarlo con su símbolo (O resp. X) y trazar una raya adicional. Si con esta raya adicional él completa otro cuadradito, puede marcarlo también y seguir jugando, etc. hasta que ya no puede completar ningún cuadrado. Los bordes de la cancha valen como rayas ya trazadas. Se juega hasta que todos los cuadrados de la cancha son marcados. Entonces es ganador el que marcó el mayor número de cuadrados.

Un ejemplo de una jugada:

marcarCasitas1

Comenzando con la situación a la izquierda, el jugador del turno pudo sucesivamente marcar los dos cuadraditos mostrados, y después trazó una línea más (última imagen). Su adversario podrá entonces marcar para sí el cuadradito abajo en el medio. (Normalmente, la cancha se hará más grande que esta.)
– Aunque se dé la situación de que un jugador puede con una sola línea marcar dos cuadraditos a la vez, puede después trazar una sola línea adicional, no dos.

Nim

Se juega entre dos jugadores con objetos pequeños como palitos de fósforos o piedritas. Los palitos se colocan en tres, cuatro o más filas. No hay regla acerca del arreglo inicial, los jugadores están libres para comenzar con cualquier arreglo que deseen. Por ejemplo, se puede comenzar con una fila de 3, una fila de 4 y una fila de 5 palitos. Otra posición inicial común es con cuatro filas que contienen 1, 3, 5 y 7 palitos respectivamente.
Entonces, por turnos, cada jugador quita unos palitos de una fila. Puede quitar tantos palitos como desea, con tal que todos se encuentren en la misma fila. El que puede quitar el último palito, gana.

Este es un juego muy antiguo, y uno de los primeros que fue analizado a fondo por matemáticos profesionales. Se encontró que existe una estrategia generalizada que permite ganar siempre al jugador afortunado que la puede aplicar primero. Pero no la explicaré aquí, para que el juego siga siendo interesante …

Solitario

Este juego se juega a solas. También es conocido con el nombre “senku”. El tablero tiene 33 agujeros en la siguiente forma:

solitaire267

En cada agujero se coloca un palito de fósforo, excepto en el agujero del medio que queda vacío.

Una jugada válida consiste en saltar con un palito sobre un palito vecino y colocarlo inmediatamente detrás del palito vecino en un agujero vacío, y enseguida se quita el palito vecino:

solitaire-salto267

O sea, un palito puede saltar solamente si a su lado se encuentra otro palito (el cual será quitado), y si detrás de ese otro palito hay un agujero vacío. Se puede saltar solamente en dirección horizontal o vertical, pero no diagonal. Ningún otro tipo de jugadas es permitido. Cuando ya no se puede hacer ninguna jugada válida, el juego termina. La meta consiste en saltar y quitar palitos tantas veces como sea posible, o sea hasta que quede un número mínimo de palitos. La solución perfecta (que es difícil de lograr) consiste en dejar un solo palito.

Variaciones: Se puede comenzar con posiciones iniciales distintas, usando menos que 32 palitos. Es una tarea de investigación interesante (pero exigente), descubrir con cuáles posiciones iniciales es posible que al final del juego sobre un solo palito. – Existe también una variación donde el tablero tiene una estructura hexagonal, de manera que se puede saltar en 6 direcciones.

Golf matemático

Este es un juego puramente matemático que se puede jugar sin ningún material, y existen muchas variaciones del mismo. Básicamente se trata de llegar desde un número inicial (normalmente el cero) exactamente hasta un número determinado, aplicando solamente ciertas operaciones prescritas.

La variación más sencilla para niños permite solamente sumar al número actual uno de dos números prescritos; y se puede jugar con regletas Cuisenaire y una cinta métrica pegada en la mesa (o una recta numérica dibujada en una tira larga de papel, con unidades de 1 cm). Por ejemplo, se permite solamente sumar 3 ó 5. Entonces, se juega únicamente con las regletas de las longitudes 3 y 5. Si el “número destino” es 19, entonces gana el jugador que primero alcanza exactamente 19, según las siguientes reglas:

– Jugando por turnos, cada jugador construye por su lado de la cinta métrica una fila ininterrumpida de regletas, comenzando desde el cero.

– Se pueden usar solamente regletas de las longitudes permitidas (3 ó 5, en nuestro ejemplo).

– En cada turno, se puede:
a) aumentar una regleta al final de la fila; o
b) remplazar una regleta de la fila por una regleta de la “otra” longitud (o sea, corregir un error cometido).

– No es permitido colocar una regleta solamente para “probar”. Si un jugador coloca una regleta y entonces no está conforme con su jugada, tiene que esperar el siguiente turno para corregirla.

– Si un jugador sobrepasa el destino (por ejemplo, llega con su fila al 20 en vez del 19), pierde.

– Si el jugador que comenzó el juego llega al destino, y el otro jugador puede enseguida también llegar al destino, ambos ganan.

GolfMatematico

Jugando así, se puede dar el problema de que el segundo jugador “copia” las jugadas del primer jugador, en vez de pensar por sí mismo. Esto se podría evitar haciendo que ambos jueguen simultáneamente (por ejemplo contando “uno, dos, tres” para cada turno), sin poder ver cuál regleta está escogiendo el otro jugador.
– Otra forma de evitar el problema consiste en no dar las mismas regletas a los dos jugadores; pero en este caso tendríamos que asegurar que ambos jugadores puedan llegar al destino con el mismo número de turnos. Por ejemplo, con las regletas de 3 y 5, el número 19 se puede alcanzar con un mínimo de 5 turnos, porque 5+5+3+3+3=19. Usando regletas de 3 y 4, también se puede llegar en 5 turnos, porque 4+4+4+4+3=19. Por tanto, con el 19 como destino, se podría dar a un jugador regletas de 3 y 5, y al otro jugador regletas de 3 y 4; entonces ambos tienen las mismas oportunidades, pero no pueden “copiar” el uno del otro. Esto requiere unos cálculos por parte de un adulto que define con anticipación el “número destino” y las regletas permitidas.

Este juego puede dar lugar a unas investigaciones interesantes. Por ejemplo, ¿se puede calcular de antemano la “solución más corta”? ¿Cómo se puede hacer eso? – ¿Qué pasa si jugamos con regletas de 4 y de 6, y queremos alcanzar el número 21? ¿Por qué sucede eso? – ¿Es posible alcanzar todos los destinos con palitos de 3 y 4? ¿con palitos de 4 y 5? ¿con palitos de 3 y 7? Etc…

Más difícil se vuelve el juego cuando se permiten tres (o más) números diferentes para sumar, pero que son relativamente grandes en comparación con el número destino. Por ejemplo, ¿cómo se puede alcanzar 38 en un mínimo de jugadas con regletas de 7, 9 y 10? ¿o cómo se puede llegar a 100 con los sumandos 13, 19 y 23? – ¿Cuáles son los destinos que no se pueden alcanzar con 7, 9 y 10? – Investigaciones como estas son un entrenamiento excelente en pensamiento matemático; pero la mayoría de los niños tendrán que alcanzar los doce años o más, antes que puedan emprender tales investigaciones con éxito y de manera sistemática.

Lobo y ovejas

Este es un juego para principiantes (niños pequeños) que se puede jugar antes de enseñarles el juego de damas. Como el juego de damas, se juega en un tablero de ajedrez, usando solamente los cuadrados negros. Las fichas avanzan diagonalmente, un paso a la vez. Un jugador es el lobo (una ficha negra en un borde del tablero), el otro jugador tiene cuatro ovejas (cuatro fichas blancas que se colocan en los cuadrados negros del borde opuesto del tablero). Las ovejas pueden solamente ir hacia adelante (diagonalmente); el lobo puede ir hacia adelante y hacia atrás.

lobo-ovejas240

No se puede saltar ni “matar” fichas. El lobo gana si logra llegar al borde opuesto del tablero (donde comenzaron las ovejas). Las ovejas ganan si logran encerrar al lobo, de manera que ya no puede moverse.

Molino

Se juega entre dos jugadores con fichas de damas en un tablero como en el dibujo:

Molino1-420

Un jugador tiene 9 fichas blancas, el otro 9 fichas negras. El juego tiene dos fases: la de colocar fichas, y la de mover fichas.

Primera fase:
Por turnos, cada jugador coloca una de sus fichas en uno de los puntos de intersección (o esquina) del tablero. Cada vez que un jugador logra colocar tres de sus fichas en una misma línea recta del tablero, puede quitar del tablero una ficha del oponente. Las fichas quitadas ya no juegan.

Las tres fichas en una línea se llaman “molino”. Una ficha que pertenece a un molino no puede ser quitada, excepto si todas las fichas del jugador pertenecen a molinos. – Aun si un jugador lograse en un solo turno crear dos molinos simultáneamente, puede quitar una sola ficha del oponente. (Estas reglas valen también para la segunda fase.)

Molino2-420

Segunda fase:
Cuando todas las fichas están colocadas, los jugadores (por turnos) mueven una de sus fichas por un paso; o sea, siguiendo una de las líneas negras hasta el siguiente punto (intersección o esquina). Si con este movimiento el jugador logra formar un molino, puede nuevamente quitar una ficha a su oponente.

Un jugador puede, en movimientos sucesivos, “abrir” y “cerrar” un mismo molino varias veces y quitar una ficha al oponente, cada vez que cierra el molino. Jugadores experimentados logran construir molinos combinados de tal manera que al abrir uno de ellos, con el mismo movimiento cierran otro.

MolinoCombinado-420

Arriba: Negro puede cerrar un molino si este es su turno. Blanco tiene molinos combinados.

Si un jugador tiene solamente tres fichas en el tablero, puede saltar con una de ellas a cualquier punto libre.

Ganador es el que quita todas las fichas de su oponente; o el que logra encerrar a su oponente de manera que ya no puede hacer ningún movimiento.

Variación: El mismo juego se puede jugar con 12 fichas por jugador. En este caso, al tablero se le añaden cuatro líneas diagonales:

Molino1diag-420

Unas variaciones del ajedrez

“Ajedrez con desventaja”: Si un jugador es mucho más experimentado que el otro (por ejemplo cuando un adulto juega con un niño que recién está empezando a aprender), el jugador más experimentado puede comenzar con una o dos figuras menos. Por ejemplo puede jugar sin reina, o con una sola torre y un solo alfil.

“Ajedrez cilíndrico”: Los jugadores se imaginan que el tablero es “enrollado” en forma cilíndrica, de manera que si una figura sale del tablero por el borde izquierdo, vuelve a entrar por el borde derecho, y viceversa. Así por ejemplo, un peón blanco en h4 y un peón negro en a5 podrían matarse mutuamente.

“Ajedrez al revés”: Quien tiene la posibilidad de comer una figura enemiga, tiene que comerla. Ganador es quien se queda primero sin figuras. (En esta variación, el rey se trata como cualquier pieza común: el juego continúa aunque el rey esté muerto.)

 


Vea también:Libros de Matemática Activa

para un aprendizaje sistemático según los principios expuestos en este artículo.

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Matemática en la vida diaria: La matemática de los juegos y los juegos de matemática

Vea también:Libros de Matemática Activa

para un aprendizaje sistemático según los principios expuestos en este artículo.


Matemática aplicada y matemática pura

En el artículo anterior hemos visto que la vida diaria está llena de matemática. Los quehaceres del hogar brindan muchas oportunidades para enseñar y aplicar principios matemáticos. Solamente hay que tener los ojos abiertos y la mente despierta para reconocer y aprovechar estas oportunidades.

Los ejemplos del artículo anterior pertenecen al campo de la “matemática aplicada”: Se usa la matemática para describir y analizar situaciones de la vida real, o para hacer predicciones acerca de tales situaciones. Para la mayoría de las personas, éste es probablemente el único uso que hacen de la matemática en su vida diaria. Pero la mayoría de los matemáticos profesionales dirían que esta no es la matemática “verdadera”, o por lo menos que esta no es la esencia de la matemática. La matemática “en sí” (“matemática pura”) es una abstracción que lleva una vida propia, independiente del mundo material. (Por ejemplo, se pueden investigar las propiedades de los números primos, independientemente de si en el mundo real existen números primos o no.) La matemática pura se caracteriza no por llevar a cabo determinadas operaciones y procedimientos, sino por un modo de pensar particular. Algunos aspectos de esta forma de “pensar matemáticamente” son:

– Encontrar y describir regularidades, patrones, principios, leyes generales de “cómo se comportan” los objetos matemáticos (números, figuras geométricas, etc.)

– Aplicar estos principios y leyes de manera consistente a situaciones nuevas.

– Fundamentar nuevas propiedades, leyes y reglas a base de leyes y principios ya conocidos.

– Explicar el “por qué” de las propiedades y resultados matemáticos.

Para poder aplicar la matemática de manera sensata a situaciones de la vida real, es necesario desarrollar esta capacidad de pensar matemáticamente. Al usar situaciones de la vida diaria para enseñar matemática, se deben señalar también los principios en los que se basan las operaciones matemáticas: ¿Qué significa sumar? (Básicamente significa juntar dos cantidades o magnitudes.) ¿Qué significa restar? (Al nivel más sencillo, restar significa “quitar”. Al nivel de los principios matemáticos, la resta es la operación inversa de la suma.) ¿Qué significa una fracción? (Matemáticamente, una fracción es lo mismo como una división, solamente escrita de otra forma.) ¿Por qué puedo intercambiar los números en una suma, pero no en una resta? – o sea, ¿por qué es 3+7 = 7+3, pero 3-7 no es lo mismo como 7-3? (Esta pregunta ya lleva a consideraciones bastante profundas, que son difíciles de entender aun para muchos adultos. – Un alumno entrenado en los caminos del sistema escolar con su memorización de definiciones, tal vez diría: “Porque la suma es conmutativa, pero la resta no.” Pero en realidad eso no responde a la pregunta ¿Por qué?; es solamente volver a enunciar el problema con otras palabras. – Para poder dar una respuesta apropiada, es necesario entender cómo “funcionan” los números negativos.)

¿Cómo podemos entonces ayudar a los niños a desarrollar la capacidad de pensar matemáticamente?

El juego como abstracción matemática, y como vía de acceso a la matemática pura

– Los razonamientos al nivel de principios matemáticos son bastante abstractos; entonces no podemos esperar que un niño promedio en edad de primaria pueda realizarlos de manera consciente. Pero existe una forma de abstracción matemática que es accesible aun para niños bastante pequeños, y es el juego. No cualquier juego, por supuesto; pero aquellos juegos que son determinados por reglas fijas y movimientos claramente definidos. El matemático Paul Lockhart hace la siguiente sugerencia para las clases de matemática en los primeros grados:

“¡Déjenlos jugar! Enséñenles ajedrez y go, hex y chaquete, nim, o cualquier otro. Inventen sus juegos propios. Resuelvan rompecabezas y adivinanzas. Confróntenlos con situaciones donde tienen que razonar de manera deductiva. No se preocupen por las técnicas y notaciones. Ayúdenles a convertirse en pensadores matemáticos activos y creativos.”
(Paul Lockhart, “Lamento de un matemático”)

Efectivamente, esta clase de juegos cumplen los requisitos de la matemática pura:

– Son abstracciones, independientes del mundo real. Aunque normalmente se juegan con figuras, tableros etc. concretos (lo que satisface la necesidad de los niños), el juego en sí es independiente de estas figuras concretas. Un buen ajedrecista puede jugar ajedrez en su mente, sin teniendo un tablero verdadero ni figuras verdaderas delante de sí.

– Se rigen según reglas fijas y consecuentes. Aunque las reglas son en cierto sentido arbitrarias (se han inventado variaciones del ajedrez donde algunas reglas son distintas), no pueden cambiar durante el juego, una vez que han sido definidas. Estas reglas corresponden a los principios y leyes en la matemática. La matemática pura puede considerarse un “juego” donde se establecen ciertas reglas fundamentales, y después se analiza lo que sucede cuando se “juega” de acuerdo a estas reglas.

– Dentro del marco establecido por las reglas, se pueden teoréticamente describir, clasificar y analizar todos los “partidos” posibles. (En un juego complejo como el ajedrez, esto es imposible en la práctica porque el número de partidos posibles es tan inmenso; pero teoréticamente la posibilidad existe. En juegos simples como p.ej. michi, es también factible en la práctica, elaborar una tabla de todos los partidos posibles.) Aun en aquellos juegos que contienen un elemento de azar, como p.ej. los juegos con dados, los sucesos “al azar” suceden según probabilidades matemáticas, y por tanto es posible analizar el juego matemáticamente.

Por tanto, los juegos de tablero, de dados, etc, son un buen entrenamiento en el pensamiento matemático. Requieren razonar, aplicar reglas de manera consecuente, y sacar conclusiones lógicas. Los juegos de estrategia, tales como ajedrez, requieren también hacer predicciones fundamentadas de movimientos futuros (“si yo hago esto, él puede hacer eso”), y elaborar estrategias a base de estas predicciones. Y a los niños ¡les gusta jugar!

“Un nuevo estudio descubrió que los expertos en juegos de mesa, como el ajedrez, utilizan una región del cerebro que el resto no solemos usar. La investigación, publicada en ‘Science’, realizó escáneres cerebrales de jugadores, tanto profesionales como aficionados, del juego japonés shogi. Expertos del Instituto de Ciencia Cerebral Riken, en Japón, descubrieron que las jugadas intuitivas que realizan estos jugadores no son naturales, sino que surgen del entrenamiento cerebral. (…) El hallazgo fue una sorpresa, porque al volverse expertos los maestros shogi comienzan a usar todas las regiones del cerebro.”
(Diario “El Comercio”, Lima, 30 de enero de 2011)

Por tanto, jugar no es tiempo perdido. Al contrario, es una actividad importante del niño que desarrolla su inteligencia y su personalidad. Además, el niño aprende a ser honesto cuando tiene que jugar según las reglas; y se prepara para obedecer las “reglas” de Dios. Para que una sociedad funcione bien, sus integrantes tienen que “jugar según las reglas”; de otro modo habrá toda clase de conflictos. Un niño que no aprendió a obedecer las reglas de un juego, experimentará conflictos en sus relaciones con otras personas; y también dificultará en entender la matemática.

En un artículo siguiente deseo describir algunos juegos que ayudan a los niños a pensar matemáticamente y estratégicamente.

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Matemática en la vida diaria: Operaciones matemáticas en el quehacer diario

Vea también:Libros de Matemática Activa

para un aprendizaje sistemático según los principios expuestos en este artículo.


 

En un artículo anterior hemos examinado unos conceptos matemáticos básicos, y hemos dado unas sugerencias de cómo los niños pueden asimilar estos conceptos de manera natural en su vida cotidiana en el hogar. Veremos ahora como muchas actividades de nuestra vida diaria están relacionadas con la matemática, de manera que podemos usarlas como oportunidades educativas.

Las cosas que vienen en pares

Zapatos, medias y guantes vienen “en pares”, así como también algunos otros objetos de la vida diaria. Si tenemos ocho pares de zapatos para lustrar, ¿cuántos zapatos son? – Así podemos introducir los conceptos de “el doble” y “la mitad”.

Haciendo compras

Cuando nuestros hijos eran pequeños, un panecillo costaba diez céntimos. Entonces fue fácil para ellos, ir a la tienda con seis monedas de diez céntimos y calcular que con eso podían comprar seis panes. Esta fue una de las primeras operaciones matemáticas que ellos realizaron, aun antes de saber leer o escribir números. Más tarde aprendieron que dos monedas de diez céntimos valen “veinte”, tres monedas valen “treinta”, etc; y así aprendieron a contar de diez en diez. Durante esa etapa intentamos siempre tener suficientes monedas de diez céntimos a la mano, para no complicar sus cálculos con monedas de otros valores. Después aprendieron que existe una moneda de veinte céntimos que vale igual como dos monedas de diez; y que existe una moneda de cincuenta céntimos que vale igual como cinco monedas de diez; etc; y así aprendieron poco a poco a cambiar monedas y a entender su valor. Por un buen tiempo, su “unidad básica” en estos cálculos seguía siendo el pan: “¿Cuántos panecillos puedo comprar con eso?” O cuando escucharon que un litro de leche cuesta S/.1.20: “¿Cuántos panes son eso?” Así practicaron sumas (una moneda de cincuenta más una moneda de veinte son 5 + 2 = 7 panes) y restas (tengo un sol (10 panes) y compro 8 panes, ¿cuánto recibo de vuelto?). Como “añadidura” aprendieron a hacer las mismas operaciones con decenas, puesto que tuvieron que calcular a base de monedas de diez céntimos. – Unos años más tarde subió el precio del pan, y entonces en una tienda vendieron por ejemplo “ocho panes por un sol”, y en otra tienda “siete panes por un sol”. Esta ya no era una proporción tan fácil, entonces se presentó el desafío de calcular con estas nuevas proporciones: Si me dan 7 panes por un sol, ¿cuánto recibo por 3 soles? – De los panes que cuestan ocho por un sol, ¿cuánto cuestan veinte panes? – Así nuestros hijos se iniciaron poco a poco en la multiplicación, la división, y el cálculo con proporciones. Ellos nunca dificultaron en el tema de las proporciones (a diferencia de muchos niños escolares), porque tuvieron suficientes experiencias concretas que involucran proporciones.

Cabe notar que nuestros hijos realizaron todas estas operaciones mencionadas sin libros ni cuadernos, solamente calculando mentalmente. Aunque tenían aparte un cuaderno donde a veces les dimos unos ejercicios más sistemáticos, o les hicimos anotar unos principios fundamentales, para ayudarles a entender los conceptos matemáticos de manera ordenada – pero en comparación con los niños escolares, ellos tuvieron mucho menos necesidad de tales ejercicios, porque su entendimiento ya había sido preparado con sus experiencias prácticas. Además, desarrollaron buenas capacidades de cálculo mental – algo que les hace falta a la mayoría de los alumnos del sistema escolar.

Por supuesto que ellos compraron también otras cosas, no solamente panes. Así tuvieron muchas oportunidades de sumar precios de leche, fideos, verduras, lápices, borradores, etc; de comparar precios, calcular cambios, hacer presupuestos, etc. Los problemas prácticos que se presentaron al hacer compras, incluyeron situaciones como esta: En una tienda ofrecen tres huevos por un sol. En otra tienda venden un kilo de huevos a cinco soles. ¿Dónde son más económicos? – Para encontrar la respuesta, tuvieron que descubrir primero cuántos huevos son un kilo, y después encontrar una manera de comparar los precios. Obviamente, este problema también está relacionado con proporciones.

Los cálculos con dinero son también una buena preparación para aprender a convertir medidas y a calcular con decimales. Un precio como S/.16.70 ya es un número decimal. Los cálculos con dinero se pueden realizar o convirtiendo todo a céntimos, o aplicando directamente los principios del cálculo con decimales. La situación es un poco más fácil aquí porque tenemos siempre exactamente dos dígitos decimales; pero la experiencia se puede fácilmente generalizar para todos los números decimales más adelante.

Así, una actividad cotidiana como ir de compras brinda oportunidades ilimitadas para practicar las cuatro operaciones básicas. ¿Cómo aprovechamos estas oportunidades educativas de la mejor manera?
Conversando, explicando, y respondiendo a las preguntas de los niños. Los niños aprenden un montón, simplemente observándonos e imitándonos. Desde pequeños los llevábamos con nosotros al hacer compras, y ellos nos observaron. De vez en cuando les dimos unas explicaciones: “Mira, esta es una moneda de diez céntimos.” – “Con esta moneda se puede comprar un pan.” – “Con esta otra moneda se pueden comprar dos panes.” – Con el tiempo, los niños empiezan a hacer preguntas: “Y esta otra moneda, ¿cuántos panes se pueden comprar con ella?” – “Por qué la señora te devuelve dinero?” – Cada pregunta de un niño es una oportunidad excelente para enseñarle algo.
Haciendo preguntas a los niños. De vez en cuando, nosotros también hicimos preguntas a los niños, “planteando el problema”: “¿Cuánto dinero debe darnos la señora de vuelto?” – “Mira, un kilo de papas cuesta S/.1.30 aquí, ¿cuánto costarán cinco kilos?” – “Mira, estos dos helados cuestan un sol cada uno. ¿Prefieres el helado grande de agua, o el helado pequeño de leche?” (Esta última pregunta ya no es estrictamente matemática. Pero demuestra al niño que a menudo no es suficiente fijarse solamente en los números o en las cantidades, sino también – por ejemplo – en la calidad del producto.)
No resolver para el niño lo que él mismo puede resolver. Por ejemplo, a veces mandamos a uno de los niños a comprar una cantidad determinada de pan, leche, etc. (un producto del cual conoce el precio), y no le dimos dinero, sino esperamos a que él nos pida la cantidad correspondiente de dinero. Si el niño dice solamente “Dame dinero”, le preguntamos: “¿Cuánto necesitas?”

Negocios propios

Quedémonos un poco más con el tema del dinero. Oportunidades educativas aun más variadas se dan cuando los niños empiezan a hacer sus propios negocios. Algunos niños preparan galletas, pan, gelatina, y otros productos para venderlos. Otros ofrecen sus servicios atendiendo en una tienda, haciendo trabajos de limpieza en una casa, o ayudando a otros niños con sus tareas escolares. Otros crían animales o cultivan verduras. (No se trata de “mandar a los niños a trabajar”. Se trata de que ellos mismos buscan estas oportunidades para ganarse un dinero que pertenece a ellos y que lo pueden usar como ellos mismos desean.)
Este es el momento para enseñarles a llevar una contabilidad sencilla; por lo menos un registro de ingresos y egresos. Esto les ayuda a ser responsables con el dinero, a mantener orden, y a tener un control sobre los resultados de sus negocios – cuánto están ganando, ¡o si tal vez están haciendo pérdidas! Y además hacen experiencias con la matemática. Por ejemplo, los cálculos relacionados con ingresos y egresos, inversiones, ganancias y deudas, ayudan a comprender las leyes que rigen las operaciones con números negativos.

Cuando se elabora un producto para venta, es también aconsejable hacer primero un cálculo de gastos y beneficios. Así se puede decidir cuál será un precio de venta razonable para el producto. Para obtener un cuadro más realista, se pueden incluir en el cálculo las horas de trabajo, y así calcular cuánto será la ganancia por hora de trabajo. Todos estos cálculos requieren bastante pensamiento matemático y ayudan a ver la utilidad de la matemática para la vida real.
Por ejemplo, durante algún tiempo nuestros hijos tuvieron un negocio de fabricar y vender cajitas de cartón para regalos. Entonces calcularon la cantidad de cartón que necesitaban para una determinada cantidad de cajas, y el precio del cartón y de los otros materiales necesitados (goma, cintas, etc.) Después midieron el tiempo que necesitaron para fabricar una cantidad determinada de cajas. A base de estos datos calcularon su ganancia por hora de trabajo, para diferentes precios de venta por caja.

A veces los niños deciden ahorrar dinero para poder comprarse algo que desean mucho (por ejemplo una bicicleta, un instrumento musical, o hasta una computadora). Entonces puede ser útil calcular de antemano cuánto tendrán que trabajar (por ejemplo, cuántas cajas tendrán que vender) hasta alcanzar su meta.

Cocinando según receta

Al probar una receta nueva se aprende un montón – no solamente matemática, también lectura, nutrición, física y química, y otras cosas más. Pero nos limitaremos por ahora al aspecto matemático.
Para preparar una receta correctamente, es necesario medir y pesar correctamente. Una buena balanza y una litrera graduada serán indispensables. Entonces, los niños pronto tendrán bien claro cuánto es un gramo y un kilogramo, un litro y un mililitro. – Las mediciones pueden requerir también conceptos un poco más difíciles. Por ejemplo, tenemos una balanza de cocina que tiene una numeración de 100 a 100 gramos, y cinco marcas en cada intervalo de 100 gramos. Entonces, el primer desafío consistía en descubrir cuánto vale una de esas marcas. Después, al pesar: 300 gramos y tres rayitas más, ¿cuánto es eso? – ¿Cómo hago para pesar 175 gramos?
Otro problema al pesar: Echo azúcar en un recipiente y lo peso. Pero esto me da el peso del azúcar junto con el recipiente. ¿Cómo puedo saber el peso del azúcar sin el recipiente?
– Algunas recetas tienen indicaciones como: “3/4 tazas de harina”. Entonces se practican también operaciones con fracciones. – ¿Y si mi taza es más grande o más pequeña que la que usaron para la receta? ¿Cuánto entra en una taza, según esta receta? ¿Y cuánto entra en mi taza? – Esto puede dar lugar a un cálculo un poco complicado (el tema de las proporciones se asoma nuevamente).
– Las proporciones entran también en este problema bastante común: La receta dice “para 4 personas”. Pero seremos siete personas para el almuerzo; entonces ¿cuánto de cada ingrediente tenemos que usar?
– Después tenemos que medir también tiempos: “Hornear durante 45 minutos.” Son las 10:37. ¿A qué hora estará lista nuestra torta? Cuidado con equivocarse, ¡la torta se puede quemar! Eso es lo interesante en la matemática en la vida diaria: Si me equivocó, no recibo ninguna marca roja en el cuaderno (la cual haría solamente que me enoje contra el profesor). Pero experimento una consecuencia real: la torta se quema, o la comida tiene un sabor extraño – entonces me esfuerzo para calcular mejor la próxima vez, y entiendo que la matemática es realmente útil.

Balanza justa, medida exacta

Aquí tenemos otro principio bíblico que es muy importante en la matemática: la exactitud en las mediciones. Esto tiene que ver con la justicia que Dios exige de nosotros: “No hagáis injusticia en juicio, en medida de tierra, en peso ni en otra medida. Balanzas justas, pesas justas y medidas justas tendréis.” (Levítico 19:35-36; vea también Deut.25:13, Prov.11:1, 16:11, 20:10, 20:23.) En toda clase de negocio, siempre instruimos a nuestros hijos a medir y pesar correctamente. (Y en caso de duda, mejor ser generosos que ser tacaños.) – A veces volvemos a pesar en casa las compras del mercado, para comprobar si el peso es correcto.
Hay muchas otras situaciones de la vida diaria que involucran medidas: Trabajos de carpintería, y otros trabajos manuales, requieren mediciones y construcciones geométricas. Antes de pintar las paredes, hay que medir y calcular su área, y calcular cuánta pintura se necesitará. Al cultivar un jardín, puede ser necesario medir y calcular áreas de terreno, longitudes de cercos, alturas de postes, cantidades de semillas. Coser y tejer también requiere diversas mediciones. Al ir de viaje, puede ser necesario consultar mapas, calcular distancias y tiempos de viaje. Al lavar ropa o hacer limpieza en la casa, hay que medir y calcular las cantidades correctas de detergente y agua. Al hacer instalaciones eléctricas hay que medir y calcular la longitud de cable que se necesita. A veces, por pura curiosidad los niños quieren saber cuánto mide la puerta de su cuarto, cuán alto es el árbol frente a la casa, o cuánto pesa la cómoda en su habitación.
Al medir, para algunos niños es una dificultad entender que la medición empieza con “cero”, porque al contar están acostumbrados a comenzar con “uno”. Entonces colocan la regla o cinta métrica con el número 1 al inicio del objeto a medir. Tenemos que explicarles que al inicio todavía no hay “nada”, o sea cero; y recién cuando hemos avanzado un centímetro (por ejemplo), tenemos “uno”. Este concepto del “cero” no es tan trivial como parece; por ejemplo los antiguos griegos y romanos todavía no conocían el cero como número. Por eso, el medir requiere un desarrollo mental más avanzado que el contar.

¿Cuánto peso? ¿Cuánto mido?

La mayoría de los niños, en alguna etapa de su vida se interesan por su propio crecimiento. Podemos en intervalos regulares medir y anotar su estatura y su peso. (No hay necesidad de delegar eso a los médicos y enfermeras; lo podemos hacer en casa.) En vez de solamente anotar las mediciones en una tabla, podemos graficarlas. Algunas familias usan el sistema de las “rayas en la pared” para marcar la estatura de sus hijos en determinadas fechas. Un poco más profesional es graficar las mediciones en un gráfico peso-tiempo resp. estatura-tiempo. – Nosotros pintamos en un lugar de la casa una escala métrica en la pared, desde el piso hacia arriba; entonces los niños podían medirse ellos mismos allí.

Leer el reloj

Saber la hora es esencial en muchas situaciones de la vida. Todas estas situaciones nos dan una oportunidad para enseñar a nuestros hijos el significado de una hora, un minuto y un segundo; y para mostrarles cómo se lee el reloj. – Aunque hoy en día prevalecen los relojes digitales, opino que sigue siendo útil saber leer un reloj analógico. El reloj analógico provee una ilustración más gráfica (y por tanto más “concreta”) del pasar del tiempo, que el reloj digital. Es un poco más complicado leerlo, pero eso significa un entrenamiento matemático adicional: Una vez que un niño sabe leer los minutos en un reloj analógico, ha aprendido implícitamente también la tabla de multiplicación por 5. Además ha recibido una ilustración de proporciones: La velocidad del minutero es 12 veces la velocidad del horario; y la velocidad del segundero es 60 veces la velocidad del minutero. Cuando el niño tiene una imagen del reloj grabada en su mente, se recuerda más fácilmente de que el día tiene 12 horas (habrá que recordarle que la noche tiene 12 horas adicionales), una hora tiene 60 minutos, y un minuto tiene 60 segundos. Y la experiencia de ver diariamente girar las manecillas del reloj, prepara al niño para poder entender más adelante lo que es un ángulo.
Aparte del saber la hora, algunas otras actividades de la vida diaria implican también el uso de un reloj o de un cronómetro. Por ejemplo contar el pulso de una persona. Es bueno enseñar eso a los niños después de que han comprendido cómo se ve en el reloj cuando ha pasado un minuto, o medio minuto.

La energía que consumimos

A veces enviamos a los niños a pagar las facturas de la electricidad y del agua. Así llegan a tener una idea de lo que cuesta la energía que consumimos. De vez en cuando analizamos estas facturas, y nuestro consumo. Por ejemplo:

¿Cuánto cuesta un metro cúbico de agua? ¿Cuántos metros cúbicos consumimos en un mes? ¿Cuántas bañeras podríamos llenar con esta cantidad de agua?
¿Cuánto de agua consume el “wáter” cada vez que bajamos el agua? ¿al día? ¿al mes?
¿Cuánto ahorramos con coleccionar agua de la lluvia para regar el jardín, en vez de usar agua del caño para eso?

¿Cuánto cuesta un kilovatio-hora (kWh) de electricidad?
¿Por cuánto tiempo estaría prendida la luz eléctrica, la computadora, la refrigeradora, la plancha, … – hasta gastar un kWh?
¿Cuánto cuesta ducharse 10 minutos con la ducha eléctrica? (Tiene una potencia de 5400 W, ¡eso es un montón!)
¿Cuánto ahorramos entonces mensualmente con nuestro improvisado calentador solar (una simple manguera negra de 100 metros de largo sobre el techo de la casa)?
(Se puede ampliar la pregunta, calculando cuánta agua cabe en esta manguera, sabiendo su diámetro interior.)

Trabajos manuales

Muchas cosas que se venden en las tiendas, se pueden también fabricar de manera casera. Por ejemplo las tarjetas de invitación para el cumpleaños de un niño: En vez de comprar tarjetas prefabricadas, ¿por qué no cortar tarjetas de cartulina y poner un dibujo o pegar una figura decorativa cortada de papel? Tales trabajos aumentan la independencia y la autoestima de los niños: “¡Puedo hacerlo yo mismo!” – Y además entrenan destrezas matemáticas. Cortar tarjetas de cartulina requiere diversos cálculos, particularmente divisiones: Si quiero tarjetas de 14 cm de largo, ¿cuántas tarjetas salen de este pliego de cartulina? – Si quiero sacar ocho tarjetas de lo largo de esta cartulina, ¿cuánto tiene que medir cada tarjeta? – Después hay que realizar una construcción geométrica para dividir el pliego en rectángulos. Es una pena que las escuelas no valoren más la práctica de construcciones geométricas; algo tan esencial en trabajos con papel y cartón, en los artes gráficos, en trabajos de carpintería, de arquitectura, de construcción y de ingeniería, y en muchas otras áreas. ¡Hagámoslo en casa!
Se pueden crear adornos decorativos, doblando y cortando papel. Tales trabajos proveen una experiencia concreta y práctica de lo que es la simetría. – También el origami es una muy buena experiencia concreta con formas geométricas. – La fabricación de cajitas de cartón, mencionada arriba, requiere diversas construcciones geométricas en el plano y en el espacio.
Los trabajos de carpintería son también buenos ejercicios en geometría y mediciones – desde arreglar una silla rota hasta fabricar muebles propios. Algo que los niños pueden aprender con bastante facilidad, es cortar madera “triplay” con una sierra caladora (sierrita fina). Así pueden fabricar sus propios rompecabezas y otros juegos, o una casita para muñecas.
Igualmente, al coser y tejer hacemos uso de medidas y números. Según el psicólogo Howard Gardner (descubridor de las “inteligencias múltiples”), el tejer está muy relacionado con la inteligencia matemática. Un trabajo de tejido puede dar lugar a problemas como los siguientes: He tejido 80 puntos y miden 30 cm, pero mi tejido debe medir 48 cm. ¿Cuántos puntos tengo que tejer? – Nuevamente es un problema con proporciones; realmente las proporciones están por todas partes. Si un niño no llega a entenderlas, debe ser porque las aprendió como un ejercicio escolar, en vez de experiencias prácticas en casa. – También esta situación puede presentarse al tejer: Tengo un patrón de tejido que se repite cada 13 puntos, y mi tejido debe medir alrededor de 110 puntos. ¿Cuántos puntos exactamente debo tejer para que todos los patrones me salgan enteros y no sobren puntos? – Aquí entramos al tema de los múltiplos y divisores – un tema recurrente en la matemática de los tejidos. Aquí hay otro de esta clase: Mi tejido tiene un patrón repetitivo de 4 puntos; y más abajo tiene un patrón que se repite cada 6 puntos. ¿Cómo debe ser el número total de puntos para que ambos patrones se repitan completos, sin que uno de ellos salga cortado? (Pauta: Esta situación implica el concepto del “múltiplo común”, pero no necesariamente el “mínimo”.) – La manera como se combinan los puntos de un tejido para formar un diseño, es la misma como se combinan los puntos (píxeles) de una pantalla de computadora para formar una imagen digital. Por tanto, los patrones de tejidos requieren la misma clase de razonamiento como el diseño de gráficos computarizados.

Planos y mapas

En diversas situaciones puede ser necesario saber orientarse con un mapa en una ciudad o en el campo; o saber interpretar un plano de una casa. En muchas familias, eso no es parte de su vida diaria; pero en mi opinión debería serlo. Ha habido casos de aventureros que se perdieron en el desierto o en la alta montaña; si hubieran tenido un mapa y hubieran sabido usarlo, hubieran encontrado el camino correcto. Otros fueron estafados al comprar un terreno, porque no sabían leer los planos. Un caso menos extremo, pero todavía bastante molestoso: ¿alguna vez perdió usted horas buscando una calle determinada en una ciudad, cuando un mapa podría haberle dado la respuesta rápidamente? – Algunos quizás piensan que desde la invención del GPS ya no es necesario saber orientarse en un mapa. Pero para entender las indicaciones del GPS, ¡igualmente es necesario saber interpretar un mapa!
En algunos lugares existen grupos de “scouts” donde los niños y adolescentes pueden aprender las destrezas correspondientes. Donde no existe esta oportunidad, tenemos que aprenderlo nosotros, juntos con nuestros hijos. Un comienzo puede consistir en estudiar juntos el plano de la propia casa. ¿Podemos ubicar la sala, la cocina, el dormitorio? – Tenemos que considerar que el leer un plano o un mapa implica un cambio de perspectiva: Es necesario imaginarse cómo se verían las cosas vistas desde el aire. Por tanto, tenemos que esperar hasta que los niños tengan la madurez suficiente para llevar a cabo este cambio de perspectiva en su mente. – Se pueden jugar juegos con el plano. Por ejemplo, escondo un objeto determinado (una pelota, una muñeca, …) en algún lugar de la casa y después indico a los niños en el plano dónde se encuentra el objeto. ¿Quién lo encuentra primero?
Después podemos hacer lo mismo con un plano o mapa de las calles del vecindario. Vamos a un lugar determinado, a ver si los niños lo pueden identificar en el plano. O marcamos un lugar específico y preguntamos a los niños: ¿Qué cosa se encuentra en ese lugar? – ¿Quién vive en esta casa? – etc. Si no lo saben, que vayan al lugar (con la ayuda del mapa) a averiguarlo. – En vez de usar un mapa, se puede usar primero una imagen satelital (p.ej. de las Mapas Google) donde es más fácil para los niños, identificar casas u otros lugares que les son conocidos.
La orientación en el campo es más difícil, porque allí no encontramos calles con nombres. En su lugar, tenemos que ubicarnos según el rumbo de los senderos, o con la ayuda de marcas naturales (ríos y canales, cerros, rocas), o según la vegetación que está indicada en un buen mapa (bosques; terrenos cultivados; lugares desiertos). En un nivel más avanzado, se puede aprender la orientación según el relieve del terreno (líneas de altura), o con la ayuda de una brújula.
Los niños pueden también aprender a elaborar sus propios planos y mapas. Un buen punto de partida es nuevamente la propia casa. Que midan su propia habitación y la dibujen a escala. Pueden también medir su cama, mesa, cómoda, y otros muebles que pueden tener, dibujarlos a la misma escala en otro papel o cartón y cortarlos. Después pueden mover estas piezas en el plano y probar distintas ubicaciones de los muebles, para ver si desean ordenarlos de otra manera. – Si tienen perseverancia para hacerlo, pueden medir la casa entera y dibujar un plano, o incluso hacer una maqueta tridimensional. (1:50 es una buena escala para una casa; 1:20 para un plano de una sola habitación que no es muy grande.)
Todas estas actividades proveen muchas aplicaciones de la matemática y geometría.

Las preguntas curiosas de los niños

A veces los niños hacen preguntas relacionadas con números, cantidades y medidas. Por ejemplo, un día mi hijo preguntó: “¿Cuántas hojas de papel son una tonelada?” – Para un padre aburrido es fácil responder “No lo sé”, o decir cualquier número al azar. Pero una respuesta mucho mejor es (si los niños ya tienen el nivel correspondiente de comprensión): “A ver, vamos a calcularlo.” En el paquete de papel está indicado: “75 g/m2“. Nos falta averiguar cuántas hojas de papel son un metro cuadrado. Podríamos medir y calcularlo. Pero la cosa se hace mucho más fácil cuando entendemos el sistema de los formatos DIN (A4, A5, etc.): El número indica cuántas veces sucesivas se parte un pliego de 1 m2 por la mitad, hasta obtener el formato indicado. Entonces, una hoja A4 corresponde a 1/24 = 1/16 m2. (De paso, esta es una oportunidad para practicar potencias. Una pequeña agenda de bolsillo tiene el formato A7, ¿qué fracción de un metro cuadrado es eso?) – Sabemos entonces que 16 hojas de este papel pesan 75 gramos. Así podemos calcular fácilmente cuántas hojas son una tonelada. (¡¡Proporciones otra vez!!) – Un método alternativo consistiría en comprar un millar de papel, pesarlo, y establecer la proporción a partir de este dato.

Unos años más tarde, uno de mis hijos había leído acerca de la historia de las computadoras, y se enteró de que antes de inventar los medios de almacenamiento magnético (disquetes, discos duros), los datos se almacenaban en tiras de papel perforado. Entonces dijo: “Seguramente esas tiras de papel ocupaban mucho espacio. Si las computadoras actuales funcionaran así, ¿cuánto mediría una tira de papel lo suficientemente larga para almacenar el sistema operativo “Windows”?” – Una oportunidad para un cálculo interesante. Tuvimos que hacer unas suposiciones iniciales acerca del tamaño que ocupa una perforación (un “bit”) en el papel, y acerca del grosor del papel. Entonces llegamos a la conclusión de que una tal tira de papel, enrollada, llenaría nuestro patio entero. ¡A imaginarnos que un DVD, o una pequeña memoria USB, almacena varias veces la cantidad de información que correspondería a tal tira de papel!

Otras preguntas “matemáticas” de los niños podrían ser, por ejemplo:
¿Cuánto pesa el nevado Huascarán?
¿Qué tamaño tiene una nube?
¿Cuán rápido vuela una mosca?
Si se podría viajar a la luna en carro, ¿cuánto tiempo duraría el viaje? (y ¿cuánta gasolina habría que llevar?)
¿Cuántos átomos hay en mi almuerzo?

Nota al margen: Preguntas como estas pertenecen a la categoría de las “estimaciones Fermi” (según el físico italiano Enrico Fermi): Se trata de calcular una cantidad determinada, sin conocer los datos iniciales exactos; pero el resultado se puede aproximar, haciendo suposiciones razonables acerca de los datos iniciales. Por ejemplo, se pueden estimar la altura, la extensión de base y la densidad promedia del nevado Huascarán, y calcular a base de estas estimaciones.

Estos últimos ejemplos demuestran también que los niños, una vez que han hecho suficientes experiencias matemáticas en su vida cotidiana, empiezan a extender ideas matemáticas más allá del ámbito de su experiencia inmediata. Una vez que entienden la aplicabilidad de la matemática al mundo real, tienen la confianza de que la matemática puede responder también a preguntas que sobrepasan su propio horizonte de experiencias.

Beneficios del adquirir la matemática en relación con la vida diaria

Al comparar nuestros hijos con alumnos del sistema escolar, veo un gran beneficio particular de este método: Nuestros hijos entienden el significado de la matemática. En cuanto a las habilidades “técnicas” (tales como multiplicar o dividir mecánicamente), ellos no llevaron ninguna ventaja significativa durante sus años de primaria. (Ahora, en su adolescencia, se nota una ventaja en estas áreas también.) Por ejemplo, los alumnos escolares de primaria también saben convertir metros en centímetros y viceversa, después de haberlo practicado cientas de veces. Pero la mayoría de ellos están perdidos cuando les pido señalar con sus manos cuánto es un metro, y no pueden dar ninguna estimación sensata de cuánto mide una mesa, o cuán largo es el patio de la casa. – Los alumnos escolares saben también sumar, restar, multiplicar y dividir por escrito. Pero muchos de ellos no saben decir cuál de estas operaciones es apropiada para resolver un problema como este: “Un muro tiene el largo de 18 ladrillos y la altura de 22 ladrillos; ¿cuántos ladrillos se necesitan para construir el muro?” – O sea, los alumnos escolares realizan sus cálculos mecánicamente sin encontrar ningún significado en ellos. Los niños que aprendieron matemática en su vida diaria, en cambio, asocian sus cálculos con experiencias concretas, y por tanto entienden lo que significan en una situación concreta.

 


Vea también:Libros de Matemática Activa

para un aprendizaje sistemático según los principios expuestos en este artículo.

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Matemática en la vida diaria: Primeros pasos

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La educación en casa permite que los niños aprendan matemática de la manera más natural: en su vida diaria y en los sucesos normales de su entorno familiar. Esto es algo que una escuela no puede brindar, aun si quisiera hacerlo.
Pero antes de mencionar sugerencias prácticas, trataré de dibujar “el cuadro grande”.

Un poco de trasfondo

Los niños escolares y sus profesores conocen generalmente una sola manera de aprender matemática: memorizando fórmulas, procedimientos y definiciones abstractas, y resolviendo una cantidad sumamente exagerada de ejercicios que exigen la aplicación mecánica de estos procedimientos. Pero aquellos matemáticos profesionales que se ocupan de cuestiones educativas – por lo menos en las universidades prestigiosas de los Estados Unidos -, en su mayoría están sumamente descontentos con esta manera de enseñar y aprender matemática. Se quejan de que los alumnos no aprenden a pensar matemáticamente, no se les da suficiente tiempo para procesar mentalmente los principios fundamentales, y se les transmite una noción muy equivocada de lo que “es” la matemática. Aparte de ser burocrático, el método escolar desconecta la matemática de la vida diaria, y así la hace incomprensible e inaplicable para el alumno. Charlotte Iserbyt documenta que esto puede haberse hecho intencionalmente:

“Según el ‘Educador Nacional’, Julio de 1979:
(Testimonio del educador jubilado, O.A.Nelson)
(…) Un cierto Dr.Ziegler me pidió asistir a una reunión educativa especial. (…) Fuimos 13 personas. Dos cosas habían causado que el Dr.Ziegler me invitase: Mi charla acerca de la enseñanza de física funcional en las escuelas secundarias, y el hecho de que yo era miembro de un grupo conocido como los ‘Educadores progresivos de América’. Yo pensaba que la palabra ‘progresivo’ significaba un progreso para escuelas mejores, pero (más tarde me enteré de que) no era otra cosa que un frente comunista. Once de los presentes eran líderes en la educación. Los doctores John Dewey y Edward Thorndike de la Universidad de Columbia estaban allí, y los demás eran de igual influencia. Más tarde averigüé y descubrí que TODOS ellos eran miembros pagados del Partido Comunista ruso. Yo también era clasificado como un miembro del partido, aunque en aquel entonces yo no lo sabía.
¡El único trabajo de ese grupo consistía en destruir nuestras escuelas! Pasamos una hora y cuarenta y cinco minutos hablando acerca de la ‘Matemática Moderna’. En un punto yo les contradije porque su propuesta contenía demasiada memorización; y dije que la matemática es razonar, no memorizar. El Dr.Ziegler se volvió hacia mí y dijo: ‘Nelson, ¡despierta! Eso es lo que queremos … ¡una matemática que los alumnos no podrán aplicar a ninguna situación de la vida después de terminar la escuela!‘ – Esta matemática se introdujo en las escuelas solamente muchísimos años más tarde, porque en aquel entonces pensaban que iba a ser un cambio demasiado radical. (…) Entonces, si los alumnos terminan la secundaria sin saber nada de matemática, no los culpen por ello. Estos resultados son planeados.”
(Charlotte Iserbyt, “The Deliberate Dumbing Down of America”, http://www.deliberatedumbingdown.com)

Así es como la enseñanza escolar de la matemática sigue funcionando hasta hoy – también aquí en el Perú, y supongo que en muchos otros países más. Hace mucho tiempo ya, educadores como María Montessori y Jean Piaget han demostrado que los niños de primaria necesitan experimentar situaciones concretas y manipular materiales concretos para poder razonar correctamente; y que el pensamiento abstracto, en la mayoría de los niños, no despierta hasta la edad de la secundaria. Sin embargo, el sistema escolar obliga a los pequeños a memorizar definiciones abstractas como por ejemplo: “La sustracción es la operación matemática en la cual se sustrae el sustraendo del minuendo, para dar como resultado la diferencia.” – Después tienen que “aplicar” estos términos en ejercicios como: “Si en una sustracción, el minuendo es 76 y la diferencia es 39, ¿cuánto es el sustraendo?” – Con este método, el 99% de los alumnos nunca comprenderán lo que es una sustracción, por más que resuelvan cientos de estos ejercicios. Esto simplemente no corresponde a la manera de pensar de un niño de diez años. Además, con toda probabilidad nunca más va a tener que resolver tales ejercicios en su vida adulta, ni va a tener que usar las palabras “minuendo” y “sustraendo” – excepto si se decide ser profesor(a) de primaria y así perpetuar esta tortura con la siguiente generación de alumnos.

Nota aparte: Tan pronto como la comprensión matemática avanza un poco más, ya no es necesario usar los conceptos de “minuendo” y “sustraendo”, porque ambos son implicados en el concepto de “sumando” – tomando en cuenta que un sumando puede ser tanto positivo como negativo. Esto corresponde a la esencia de la matemática que consiste en generalizar y simplificar, no diversificar y complicar. La buena matemática consiste en expresar todo de la forma más sencilla posible.

Un niño comprenderá mucho mejor lo que es una sustracción, si lo experimenta en diversas situaciones concretas de su vida diaria. Por ejemplo, jugando a los tiros, experimentará que de vez en cuando pierde algunos de sus tiros. O teniendo cierta cantidad de dinero, va a hacer compras y experimenta que su dinero disminuye. O en la cocina hay cierto número de manzanas, y la familia come cinco manzanas, entonces quedan menos manzanas en la cocina. Así puede formarse en la mente del niño el concepto de que “sustraer (o restar) es quitar”. Más tarde se puede formalizar este concepto, usando materiales específicos para la matemática (p.ej. un ábaco, o las regletas Cuisenaire), y haciendo dibujos correspondientes (p.ej. dibujar 12 círculos que representan 12 manzanas, después tachar 5 de ellos para representar que se comieron 5 manzanas). Como último paso, se puede enseñar al niño cómo anotar una sustracción con números. Este es el camino que corresponde a la mente del niño: comenzando con la experiencia concreta (¡una multitud de experiencias!), uno lo puede guiar poco a poco hacia conceptos más abstractos (el principio general de que “restar es quitar”, y su notación matemática). Pero mientras un niño no ha hecho suficientes experiencias concretas, no va a comprender realmente el concepto abstracto.

Los términos técnicos necesarios se pueden introducir de manera natural, conversando juntos en el transcurso de la experiencia práctica. Por ejemplo, tenemos 3 tazas rojas y 5 tazas azules, juntas son 8 tazas – mientras el niño hace esta experiencia, podemos decir: “Entonces la suma de las tazas rojas y azules es ocho.” – O en la tienda venden seis naranjas por un sol; entonces podemos decir (si el niño ya tiene suficiente madurez para entenderlo): “La proporción de naranjas a soles es de seis a uno.”

Iniciar a los niños en la matemática

Los primeros conceptos del pensamiento matemático pueden formarse a una edad temprana, de manera natural, en el transcurso de la vida cotidiana. Cuando papá o mamá realizan los quehaceres de la casa juntos con sus hijos, juegan juntos, o simplemente conversan juntos en el transcurso del día, se presentan numerosas “oportunidades educativas” que incluyen conceptos matemáticos básicos. He aquí unos ejemplos:

El concepto del orden

Dios ha creado un universo ordenado, y de la misma manera nos conviene a nosotros mantener orden en el pequeño “universo” de nuestro hogar. El orden es un elemento importante en la matemática. El niño pequeño que aprende a guardar sus juguetes en la caja de juguetes, está al mismo tiempo aprendiendo un concepto matemático: Aprende a clasificar los objetos en su alrededor según un criterio definido. ¿Pertenece a la caja de juguetes o no? (Varios años más tarde expresará esta relación en los términos de la teoría de los conjuntos.)
Esta misma actividad del “clasificar y ordenar” es esencial en otros trabajos de la vida diaria: al poner la mesa; al guardar los cubiertos y servicios después de lavarlos; al guardar la ropa limpia en el lugar apropiado; al escoger verduras para cocinar; etc. – Más adelante, el niño puede aprender a clasificar objetos según diversos otros criterios: juguetes de madera y de plástico; papas grandes y pequeñas; manzanas verdes, amarillas y rojas; etc.
Igualmente se pueden ordenar objetos según a quién pertenecen: “Este es el pantalón de papá, esta es la media de Rut, esta es la falda de mamá …” – “¿A quíén pertenece este carrito? ¿A quién pertenece este pañuelo?” – Esto a la vez enseña al niño a cuidar sus pertenencias, y a respetar la propiedad ajena.
Al “orden” pertenece también el concepto de la relación entre dos o más objetos. Por ejemplo, existe una relación entre una herramienta y los objetos con los cuales se usa: El martillo se usa para los clavos, el serrucho para la madera, la plancha para la ropa, la aguja con el hilo, etc. – Relaciones similares existen entre objetos que se complementan o se usan juntos: la olla se relaciona con su tapa, el fósforo con su cajita, la llave con la cerradura. Al usar tales objetos en la vida diaria, se puede conversar con el niño acerca de la relación que existe entre estos objetos. Más adelante se le puede mostrar por ejemplo la tapa de una olla y preguntar: ¿A qué pertenece esto?, o mostrar una aguja y preguntar: ¿Con qué se usa esto? Aun un paso más allá consistiría en expresar la pregunta de manera puramente verbal, sin mostrar el objeto: ¿Con qué se usa la llave? – ¿Con qué se usa el pasador? – Esto se puede hacer fácilmente durante las conversaciones entre padres e hijos a lo largo del día.
Otro aspecto del orden es la comparación – por ejemplo del tamaño: ¿Cuál manzana es más grande? – ¿Quién es más alto, papá o mamá? – Se pueden comparar también otras cualidades como el peso, el matiz del color (claro-oscuro), etc. – Los niños pequeños normalmente no pueden comparar más de dos objetos entre sí. Solamente cuando entran a la etapa de las “operaciones concretas” (según Piaget), pueden realizar “seriaciones”, o sea, ordenar una serie de tres, cuatro o más objetos según tamaño, peso, color, etc.

El concepto del espacio

La matemática (particularmente la geometría) tiene que ver también con el ubicarse en el espacio y describir relaciones espaciales: “encima de”, “al lado de”, “delante de”, “dentro de”, etc. Los quehaceres diarios brindan muchas oportunidades para practicar descripciones que hacen uso de estas relaciones espaciales:
– Tráeme la escoba; está detrás de la puerta.
– Por favor, ponme este florero encima de la mesa.
– ¿Dónde está el cucharón? – En el cajón de arriba.
La ubicación en el espacio se facilita también jugando juegos que requieren un desplazamiento en el espacio (juegos de pelota; manejar tríciclo o bicicleta; hasta trepar árboles …), y ubicándose en las calles del vecindario.
La relación “izquierda – derecha” normalmente presenta mayores dificultades. Esto puede ser debido a que la integración entre los hemisferios izquierdo y derecho del cerebro se completa recién entre los siete y los nueve años de edad, en la mayoría de los niños. Por tanto, puede ser que tengamos que conceder a los niños más tiempo para desarrollar su capacidad de distinguir entre “izquierda” y “derecha”. Particularmente difícil es para aquellos niños que usan ambas manos con la misma destreza (o sea, que no desarrollan una preferencia para el uso de la mano derecha, pero tampoco son zurdos), porque ellos no disponen de ninguna manera práctica para distinguir entre sus dos manos. Una vez que se sienten seguros con la lectura y escritura, uno puede ayudarles explicándoles que el lado de la página donde comenzamos con leer o escribir, es siempre el lado izquierdo.
Una dificultad particular ocurre cuando la relación “izquierda – derecha” implica un cambio de la perspectiva: Cuando estamos frente a una cómoda o un escritorio, llamamos “cajón derecho” al cajón que está a mi mano derecha. Sin embargo, cuando estamos frente a una persona, su mano derecha está donde está mi mano izquierda. Esto parece paradójico a muchos niños, y necesitan bastante tiempo (¡y experiencias concretas!) para comprenderlo. Nuevamente, este aprendizaje sucede de la manera más natural en la vida cotidiana, mediante situaciones que involucran esta relación de “izquierda – derecha”.

El concepto del número

En la vida diaria hay muchas oportunidades para contar objetos: Frutas (p.ej. una para cada miembro de la familia), juguetes (tengo uno, dos, tres, cuatro tiros), platos (¿cuántos tenemos que poner en la mesa?), etc. Si aprovechamos estas oportunidades para contar objetos con nuestros hijos, pronto entenderán el concepto del número y aprenderán a contar ellos mismos. (El concepto del número lo entienden cuando se dan cuenta de que “uno”, “dos”, “tres” no son nombres de determinados objetos, sino que se usan para señalar la misma cantidad de objetos cualesquieras.) Entonces no hay necesidad de hacer repetir a los niños como loros: “Uno, dos, tres, cuatro, cinco…” – así los niños pensarán que se trata solamente de palabras y sonidos sin sentido. Debemos darles la experiencia de que los números se asocian a cantidades de objetos reales y concretos – sean papas, nuestros dedos, o aun los cuadrados en el diseño del mantel de la mesa.
Normalmente, el niño aprende a contar y a entender números, mucho antes de que aprende a leer y escribir números. Lo último es un acto bastante abstracto y vendrá varios años más tarde, si permitimos al niño desarrollarse de manera natural.

El concepto de medir

Muchas veces en nuestro quehacer diario necesitamos medir longitudes, pesos, tiempos, etc. Cada vez que realizamos una medición, hacemos matemática. – El concepto de “medida” es bastante más avanzado que el contar, y los niños normalmente no lo entienden hasta que son capaces también de escribir y leer números. Por tanto, trataremos de este tema en la parte siguiente.
Al tratar con niños pequeños, debemos tener en cuenta que ellos todavía no pueden imaginarse nada concreto cuando hablamos de “un metro”, “un litro” o “una hora”. Tenemos que encontrar maneras más concretas de describir medidas para niños pequeños: “desde aquí hasta allí” (señalando con la mano); “tanto tiempo como necesitas para caminar hasta el mercado”; “esta botella llena”; etc.

(Continuará)


Vea también:Libros de Matemática Activa

para un aprendizaje sistemático según los principios expuestos en este artículo.

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¿No recibirán los niños un conocimiento incompleto si les permitimos estudiar según sus propios intereses?

He tratado de este tema en otros lugares, pero me parece que se merece un artículo propio en este blog. La Fórmula Moore, y en cierta medida también la pedagogía de la Escuela Activa, pone mucho énfasis en los propios intereses de los niños como su motivación más fuerte para aprender. Esto es muy distinto del modelo curricular de la escuela convencional, donde todos los niños tienen que aprender los mismos contenidos prescritos. (Dicho sea de paso, este modelo del currículo normado no existe “desde siempre”; no tiene mucho más que cien años de antigüedad.) Entonces, de parte de padres y profesores acostumbrados al sistema convencional, surge naturalmente la pregunta: “¿Y cómo podrán adquirir los niños un conocimiento completo, si les permitimos estudiar solamente lo que les interesa?” – O: “¿Cómo puede ser posible que un niño se interese por todo lo que debe aprender?”

La respuesta corta es: No, ningún niño se va a interesar por todo lo que se puede aprender. Pero eso no hace daño.

Voy a elaborar más sobre eso:

Los intereses de los niños dan lugar para una amplia variedad de actividades y conocimientos.

Cuando se aplica el método de los proyectos o unidades temáticas, cada interés del niño puede dar lugar a actividades de lectura y escritura, de matemática, de arte, de ciencias, de historia, etc. Así, las habilidades fundamentales pueden desarrollarse con muy poca necesidad de enseñanza “sistemática”: El niño lee, escribe, calcula, investiga y razona acerca de aquellas cosas que le interesan.
Es responsabilidad de los educadores usar su creatividad para ampliar este rango más allá de los intereses momentáneos de los niños. (Por ejemplo, un niño puede primero interesarse solamente por la técnica de la astronáutica, pero desde allí puede llegar a interesarse también en su historia, o en los fundamentos de la astronomía.) Estos conocimientos se grabarán en la memoria del niño de una manera mucho más duradera que lo que se aprende solamente de libros escolares, porque están unidos a un tema concreto que impacta al niño de manera positiva.
Es cierto que algunas habilidades deben aprenderse de manera sistemática. Por ejemplo, las habilidades matemáticas necesitan un entrenamiento sistemático (y en cuanto se trata de ejercicios escritos, tiene sentido realizarlos en un cuaderno destinado específicamente para este propósito). Lo mismo se puede decir de la ortografía (pero tomando los ejemplos de los propios escritos del alumno, para que no tenga que aprender palabras aisladas fuera de su contexto). Sin embargo, un educador creativo encontrará maneras como incorporar aun este entrenamiento sistemático en un tema de estudio según los intereses del niño.

A medida que pasa el tiempo, los niños descubren intereses nuevos.

Ahora que nuestros hijos están en su adolescencia, mirando atrás a su desarrollo puedo ver que en el transcurso del tiempo, ellos se interesaron por una buena parte de lo que se aprende en la escuela, y además por diversos campos que casi no se consideran en la escuela: plantas, animales, lectura (mayormente historias de aventura), problemas matemáticos, experimentos químicos, música, construcciones geométricas (al fabricar carros y aviones de cartulina), comunicación por internet, diseño gráfico computarizado, y otros más.
Pero ellos no se interesaron por todas estas cosas al mismo tiempo. Tenían por ejemplo una “fase de jardinería”, durante la cual sembraron toda clase de semillas, cuidaron sus plantas y observaron su crecimiento. Después pasó ese interés, y quisieron hacer experimentos químicos. En otros tiempos quedaron fascinados por ciertos tipos de problemas y “rompecabezas” matemáticos.
La adolescencia en particular es un tiempo donde suceden grandes cambios en los intereses de los niños. Se olvidan de muchos de sus intereses anteriores y empiezan a explorar campos nuevos. Entonces, aunque no hayan aprendido nada acerca de un tema determinado durante sus años de primaria, eso se puede recuperar fácilmente durante la adolescencia.

Con todo eso, los intereses de nuestros hijos no coincidían con la secuencia del currículo escolar, el cual exige determinados conocimientos según determinadas edades. Por ejemplo, su interés por la química despertó entre los diez y once años, mucho antes de lo provisto en el currículo; y aprendieron durante ese tiempo la mitad del contenido escolar en química. Además, su aprendizaje fue facilitado por las experiencias prácticas que tuvieron. A diferencia de muchos alumnos escolares, ellos sabían como se ve y huele el azufre, el cloro, el amoniaco, y otras sustancias; y vieron cómo reacciona el vinagre con la caliza, o el hidrógeno con el oxígeno, antes de aprender toda la teoría relacionada. Por eso, su aprendizaje fue más profundo y duradero, aun con mucho menos horas de teoría. – Por el otro lado, durante todos sus años de primaria nunca se interesaron por la historia. Este interés despertó solamente en su adolescencia cuando alguien les regaló el juego de computadora “Age of Empires”. Allí leyeron con interés todos los relatos históricos que el juego contiene; y eso fueron (casi) sus únicas “clases de historia” hasta hoy.
Pero al final y sumándolo todo, vemos que sus intereses han cubierto una porción sorprendentemente grande del currículo escolar. Y ellos adquirieron la mayor parte de sus conocimientos en el contexto de experiencias prácticas. Por eso saben lo que significa, a diferencia de muchos alumnos de las escuelas que saben solamente repetir unas definiciones teóricas sin conocer su significado. (Por ejemplo, en la escuela memorizan que el símbolo “Na” quiere decir “sodio”, pero no tienen ninguna idea de lo que es el sodio o dónde se encuentra. Mientras nuestros hijos un día se divirtieron yendo de tienda en tienda, preguntando: “Por favor, ¿tal vez tiene cloruro de sodio?” – y se rieron cuando en todas las tiendas les dijeron que no …)

Durante la edad de primaria, ningún conocimiento es realmente “necesario”.

Esto sorprenderá a muchos lectores, y particularmente a quienes son profesores profesionales o planificadores escolares. El sistema escolar es tan obsesionado con sus currículos normados y con su afán de apretar la mayor cantidad de “conocimientos” dentro de las cabezas de los niños pequeños, que sus planificadores ni siquiera toman en cuenta los resultados de las investigaciones pedagógicas y psicológicas. El Dr.Raymond Moore relata los siguientes datos:

“El doctor James T.Fisher, más tarde considerado como el ‘decano’ de los psiquiatras americanos, comenzó la escuela a los trece años de edad, cuando todavía no sabía ni leer ni escribir. A los dieciséis años se graduó de una escuela secundaria en Boston. (O sea, completó el equivalente de doce años escolares dentro de tres años.) En ese entonces, él pensaba que él tenía que ser un genio. Pero más tarde, durante sus estudios de psicología, descubrió que cada niño ‘normal’ podría hacer lo mismo. El añadió: ‘Si podríamos asegurar que cada niño tenga una vida familiar sana y un desarrollo físico apropiado, eso podría proveer la solución al problema de … la escasez de profesores calificados.’ (James T.Fisher y Lowell S.Hawley, ‘A Few Buttons Missing’, 1951)
(…) (El psicólogo William D.) Rohwer basa sus conclusiones parcialmente en las investigaciones conducidas por el sueco Torsten Husen en doce países: (…)
Todo el aprendizaje necesario para tener éxito en la escuela secundaria puede adquirirse en solamente dos o tres años de estudio formal. Si postergáramos la instrucción obligatoria en las destrezas básicas hasta los primeros años de la secundaria, podríamos lograr el éxito académico para millones de niños escolares que están condenados al fracaso bajo el sistema escolar tradicional.’ ”
(Dr.Raymond y Dorothy Moore, “The Successful Homeschool Family Handbook”, 1994)

Lo mismo es corroborado por Rebeca Wild, una pionera educativa en Ecuador:

“Un niño que es enseñado en el momento adecuado y de la forma adecuada, en un período que puede oscilar entre los cuatro y los siete meses, puede aprender sin dificultades toda la materia que se imparte en seis años de escuela primaria. Por lo tanto, no hay ningún motivo para respetar el plan de estudios oficial y perder la oportunidad de encontrar una alternativa.”
(Rebeca Wild, “Educar para ser”, 1999)

Entonces no hay por qué preocuparse si un niño aprende poco del currículo oficial durante sus años de primaria. Un niño normal, que no fue desanimado por exigencias académicas inadecuadas, tendrá una gran curiosidad natural y un deseo innato de investigar, descubrir y crear cosas nuevas. Así aprenderá muchas cosas casi por sí mismo – aunque tal vez no sean exactamente las cosas que figuran en el currículo oficial. Si el leer, escribir y realizar operaciones matemáticas es una parte normal de la vida diaria en su entorno familiar, entonces el niño aprenderá también estas cosas de manera natural, aun sin instrucción formal. (Vea ¿Cómo aprenden a leer?) – James T.Fisher fue una excepción en este respecto porque por razones familiares, él tuvo que criarse hasta sus trece años en un lugar remoto del campo, donde aparentemente la lectura y escritura no eran parte de la vida diaria.

Solamente habrá que tomar en cuenta los siguientes puntos:
– Una vida familiar sana es esencial. El niño debe crecer cerca de sus padres y tener la certeza de que ellos le aman y le apoyan.
– Los niños en edad de primaria se encuentran en la etapa de las “operaciones concretas” (según Piaget); o sea, ellos necesitan manipular objetos con sus manos y hacer experiencias prácticas para poder entender y razonar. Por tanto, se les debe ofrecer muchas oportunidades para hacer trabajos manuales, ser creativos, experimentar con diversos objetos y materiales concretos, etc.
– Cuando el niño manifiesta interés por un tema determinado, hay que ofrecerle oportunidades para hacer experiencias prácticas en este campo de interés, y proveerle informaciones adicionales (libros especializados; informaciones sacadas de internet; etc.)

La adolescencia es el tiempo cuando despierta la capacidad del pensamiento abstracto. Solo entonces, el aprendizaje teórico de definiciones y conceptos empieza a adquirir sentido. Y el alumno de secundaria entenderá las definiciones y los conceptos tanto mejor, cuanto más experiencias prácticas y concretas hizo durante sus años de primaria. (Vea también: “Cuando el cerebro no tiene manos”.)

La idea del “conocimiento completo” es una ilusión.

Realmente no tiene sentido exigir que un niño adquiera un “conocimiento completo”; porque tal conocimiento completo no existe. Nadie puede saber “todo”. Aun el currículo escolar, necesariamente selecciona entre todos los saberes posibles, aquellos que los planificadores escolares consideran importantes. Preguntamos:
– ¿Es esta selección de saberes la mejor para nuestros hijos?
– ¿Tiene que ser la misma selección de saberes para todos los alumnos?

Cada persona es diferente, tiene inclinaciones y talentos diferentes, y un proyecto de vida diferente. Los adultos tampoco nos interesamos por “todo” ni sabemos “todo”, entonces ¿por qué exigirlo de un niño? Yo digo: El conocimiento de una persona es lo suficientemente “completo” cuando sabe lo que necesita para cumplir el llamado de Dios para su vida. Y esto difiere mucho de una persona a otra.

Por el otro lado, los alumnos del sistema escolar tampoco adquieren el “conocimiento completo” que la enseñanza sistemática supuestamente provee. Mencioné arriba que mis hijos saben poco de historia, porque es un tema que nunca les interesó mucho. Pero descubrí que la mayoría de los niños escolares ¡no saben más que ellos! Por ejemplo, me sorprendí al darme cuenta de que muchos alumnos peruanos al terminar el sexto grado de primaria no saben decir quién proclamó la independencia del Perú. Es que los alumnos del sistema escolar tampoco aprenden lo que no les interesa, por más que el profesor intente enseñárselo. Haga la prueba y pregunte a unos alumnos acerca de unos temas, no de lo que están aprendiendo para el siguiente examen, pero de lo que estudiaron para el examen de hace tres meses. Encontrará que recuerdan muy poco, si no es por casualidad un tema que les interesa mucho.
Los alumnos del sistema escolar tienen la desventaja de que tienen que desperdiciar muchas horas de su vida escuchando y memorizando estos temas que no les interesan y que en seguida vuelven a olvidar. En cambio, los niños que tienen la posibilidad de aprender según sus intereses, pueden invertir este tiempo en algo que les interesa, y en consecuencia, adquieren un conocimiento más duradero.

Aun si existiera un alumno que pueda demostrar un “conocimiento completo” en todas las áreas prescritas por el currículo, eso no comprobaría el éxito del sistema escolar. Al contrario, eso comprobaría que el alumno muy probablemente sufre de un déficit de carácter. Como dijo el pionero educativo Roger Shank:

“Los alumnos exitosos son siempre personas que saben adivinar lo que el profesor quiere, y eso es lo que le dan. Pero en la vida real no se trata de agradar al profesor, y entonces estos ‘coleccionistas de buenas notas’ a menudo se sienten perdidos. Cuando yo hacía las admisiones a los programas de grado, y un estudiante presentaba notas ‘A’ en todas las asignaturas de su programa pregrado, yo lo rechacé inmediatamente. Simplemente no es posible que un estudiante sea igualmente bueno, o igualmente interesado, en todo. (Excepto en agradar al profesor.) Como docente universitario, yo no tenía paciencia con estudiantes que pensaban que el éxito académico consiste en repetirme siempre lo que yo acababa de decir.”
(Roger Shank, “Why do we still have schools?”)

En la adolescencia, el descubrir los intereses propios es esencial para la elección de su profesión futura.

En la adolescencia, la orientación vocacional empieza a adquirir actualidad. Demasiados jóvenes se hacen infelices de por vida, porque al momento de elegir una carrera aplicaron criterios equivocados como: “¿En qué profesión se gana más plata?”, o: “¿Cuál profesión tiene mayor prestigio?” – Después se quedan atrapados en una profesión que en el fondo de su alma aborrecen. Estarían mucho mejor si en su debido tiempo hubieran aprendido a hacer preguntas como: “¿Qué es lo que realmente me interesa?” – “¿Qué cosas sé hacer bien?” – “¿De qué manera puedo mejor servir a mis prójimos?” – “¿Qué quiere Dios de mí?” – “¿Qué me gustaría hacer con el resto de mi vida?”

Por naturaleza, en la adolescencia surgen normalmente los intereses que dominarán gran parte de la vida adulta. Esta es una buena razón para permitir al adolescente que se dedique a estos intereses con todas sus fuerzas. (Mientras no sean intereses dañinos o moralmente malos, por supuesto.) El adolescente necesita llegar a conocerse a sí mismo, a descubrir sus verdaderos intereses y talentos. Una buena elección vocacional será de acuerdo a estos intereses y talentos. Si el alumno tuvo anteriormente la libertad de aprender según sus intereses, entonces habrá avanzado en estos campos de su interés mucho más que los alumnos del sistema tradicional. Por tanto, estará mucho mejor preparado para su trabajo futuro. Y si no sabe mucho acerca de algunos temas que no son de su interés, eso no será ningún impedimento en el ejercicio de su profesión. Un ingeniero no necesita saber historia; y un psicólogo no necesita saber trigonometría.

Además, la mayoría de los conocimientos necesarios para ejercer una profesión no se adquieren durante los estudios (sean escolares, universitarios o vocacionales), sino durante el ejercicio práctico del trabajo mismo. Por tanto, los estudios previos no tienen tanto peso como la capacidad de seguir aprendiendo. Según encuestas, las quejas más frecuentes de los empleadores acerca de jóvenes graduados de la universidad, son que les falta iniciativa, les falta la capacidad de innovar, y la disposición de aprender. No hay nada peor que un joven graduado que piensa que ahora que tiene su título, él “sabe como se hace” y no necesita aprender nada más. Pero la capacidad de aprender no se adquiere al estar sometido a un programa de enseñanza forzosa. Se adquiere cuando uno tiene la oportunidad de trazar sus propias metas, y después se enfrenta con el desafío de buscar los conocimientos que necesita para alcanzar sus metas.

Vea también:
Manifiesto pedagógico cristiano alternativo, capítulo V.7. “Educación de acuerdo a las inclinaciones y los intereses propios de los niños” (p.127-133)
La educación intelectual en el hogar

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Recomendado: Simposios acerca de la educación en el hogar

Un grupo cristiano en Argentina ha organizado dos simposios acerca de la educación en el hogar, donde unas familias educadoras experimentadas compartieron su perspectiva, sus principios y sus testimonios. Publicaron las grabaciones de estos simposios (inclusive unos videos) en su página web http://haciendodiscipulos.com.ar/. ¡Muy interesante!

A continuación doy los enlaces directos a los archivos de audio, con una descripción abreviada tomada de su página web:

Había Una Vez Una Familia, Daniel Baker.
“Lo que hoy llamamos “familia” se ha transformado en un concepto indefinido, inpreciso, ya que en la historia reciente del mundo la familia dejó de ser lo que era. (…) Un llamado a volver nuestros corazones hacia nuestros hijos.”

Entendiendo Los Tiempos En Los Que Vivimos, Daniel Divano.
“(…) Daniel, partiendo de las Escrituras, coloca a la escuela en esta perspectiva, mostrándonos de qué manera se ha transformado en uno de las principales amenazas a la fe y moral, y hace un llamado a reflexionar y pensar “fuera de la caja” en medio de una sociedad que parece ir ciega hacia la perdición.”

El Tren Bala, Daniel Baker.
“Todas las mañanas de Lunes a Viernes, (…) desde que un niño cumple seis años (aunque ahora comienzan con unos pocos meses de vida), durante sus mejores 12 años, hasta que el niño se ha vuelto un joven de 18 años, por casa pasa un tren que viene a llevarse a nuestros hijos. No conocemos quién lo maneja, ni quienes van en él. (…) Tampoco sabemos adónde va, porque hemos confiado ciegamente en sus desconocidos conductores.”

El Currículum de Dios, Daniel Baker.
“(…) Dios nos dejó un mandato claro y preciso; un currículum y metas claras para la crianza de nuestros hijos, que, honestamente, hemos dejado en tercer plano. Si no cambiamos nuestra rutina no cambiará nuestro fruto, y Dios no tendrá en nuestros hijos lo que se propuso al crearlos.”

El Testimonio de la Familia Kerr, Cristian y Silvina Kerr.
“Pensar en un mundo y hogar sin escuela, es casi inconcebible. ¿Cómo se hace con el trabajo?, ¿Quién da las clases? ¿Cómo es la agenda de un hogar que no manda sus hijos a la la escuela? ¿Qué resultados académicos se obtienen? ¿Qué material de estudio se da? ¿Cuál es el plan de estudio? ¿Qué hacen los chicos todo el día? ¿Cómo se sociabilizan? Estas y muchas otras preguntas son respondidas con mucha claridad por un matrimonio que tiene 8 años de experiencia criando y educando en casa a sus 4 hijos, y que han realizado múltiples entrevistas en diarios y televisión.”

Volviendo Nuestros Corazones Hacia Nuestros Hijos, Daniel Baker
“Malaquías indica que el advenimiento del Nuevo Pacto traería una característica destacable: El corazón de los padres se volvería a sus hijos. Los hijos hoy tienen su corazón en otras cosas, y para que ellos se vuelvan a sus padres es necesario que primeramente nosotros nos volvamos a ellos.”

La Mujer y Sus Hijos, Daniel Divano.
“El hijo consentido avergonzará a su madre” dice Proverbios, pues la mujer, tradicionalmente, era la responsable del carácter y la enseñanza a sus hijos. Según era el comportamiento y fruto de los hijos, ella era alabada o avergonzada frente a otros. Hoy la mujer ha tercerizado su rol, y precisa volver a asumir de todo corazón su misión de madre.”

Preguntas y Respuestas, Matrimonios Kerr y Baker.

Nuestro Propósito y Nuestra Estrategia de Educación, Daniel Baker.
“Nuestro claro propósito y objetivos de formación para nuestros hijos nos exigen evaluar qué alternativas tenemos para enseñarles lo académico. (…) Educar a nuestros hijos implica mucho más que lo académico, pero el enfoque actual monopoliza la atención en esto solamente, inhibiendo la formación del carácter, lo cual es el factor determinante en el éxito o fracaso espiritual, moral y aun profesional.”

No Améis Al Mundo, Daniel Divano.
“La Iglesia y las familias de discípulos que la conforman, precisan comprender los efectos indelebles que la sociedad está dejando en nuestros hijos. (…) Mientras sea la sociedad, y no nuestros hogares, la mayor influencia que reciben nuestros hijos, estaremos renunciando a nuestro rol de padres ante Dios y dejando de lado la instrucción que Dios nos dejó. Un recorrido por las Escrituras que abrirá la mente de muchos.”

Consejos Prácticos Para Hogares Que Educan, Cristian y Silvina Kerr.
“(…) En continuación con su presentación  en el simposio anterior, esta vez se enfocaron más en la predisposición de la mujer que educa en casa. Dan mucha importancia a la actitud y fe de los padres a la hora de emprender la enseñanza en casa, poniendo las dificultades en el contexto de objetivos y esperanzas gloriosas.”

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