Educación Cristiana Alternativa

Educación es algo muy diferente de lo que usted piensa …

La geometría de los recortables de cartulina – Continuación

Formas redondas

Cilindro:

La forma redonda más sencilla (como recortable) es el cilindro. Como introducción podemos mostrar a los niños un cilindro de cartón (p.ej. un rollo de papel higiénico) y preguntarles qué figura resultará si lo cortamos a lo largo y lo estiramos hasta aplanarlo. (¡Muy pocos niños lo acertarán!) Después de que los niños dan sus respuestas, realizamos la demostración práctica.
Ahora será indispensable introducir el número π, para poder calcular el perímetro del círculo si conocemos el radio o el diámetro. Así podremos construir la base circular del cilindro, y su manto, con las medidas correctas. Como valor aproximado para π, 3,14 es suficiente para modelos de cartulina (o 22/7 si preferimos calcular con fracciones en vez de decimales). Al pegar las partes del cilindro se notará si el cálculo era correcto o no.
Además, esta es una oportunidad para practicar el uso del compás, si los niños todavía no saben usarlo.

Con formas redondas, las lengüetas para pegar tienen que separarse en partes pequeñas. Cuanto más pequeñas son las partes, más exacto será el resultado, pero más difícil para armar.

Con un cilindro como forma básica se pueden construir ollas, torres redondas, ruedas realistas para carros, etc.

cilindro-recortable-peqRecortable para un cilindro abierto por un lado.

Este puente sencillo requiere la construcción de medio cilindro:

PuenteSencillo-peqUn poco más difícil es el siguiente modelo de puente:

Puente2-peqEsta es una posibilidad de realizarlo como recortable. Las dos tiras delgadas arriba a la izquierda se pegan debajo de los arcos:

Muestra-Puente-peq

Cono entero y cono truncado:

Podemos demostrar la construcción de un cono, construyendo un sector de un círulo, cortándolo, y uniéndolo con goma por sus dos radios. El resultado es obviamente un cono. Mientras las medidas exactas del cono no importan, podemos simplemente usar un semicírculo. Pero si el cono debe tener exactamente un radio r y una altura h, ¿cómo encontramos las medidas correctas de un sector que resultará en un cono con estas medidas?
Como construcción auxiliar dibujamos el alzado del cono, o sea cómo se ve exactamente de frente. Resulta un triángulo isósceles con base 2r y altura h. El lado de este triángulo es la generatriz del cono, y su longitud es igual al radio R del sector circular que tenemos que dibujar. (En vez de construir este triángulo, podemos también calcular R con el teorema de Pitágoras.)

cono

El perímetro de la base del cono (= 2 r π) es igual al arco de nuestro sector. Con un poco de álgebra podemos demostrar que entonces, el ángulo central del sector debe ser igual a 360º · r / R.

Estos razonamientos son todavía demasiado exigentes para alumnos promedios de primaria. Cuando mis hijos estaban en esa edad, les mostré como se hace, pero ellos todavía no podían hacerlo por sí mismos. Entonces, si ellos necesitaban un cono con medidas determinadas, ellos me dieron las medidas y yo calculaba para ellos las medidas del sector circular. Con eso, ellos mismos ya podían construir el sector con transportador, regla y compás. – Para alumnos de secundaria, en cambio, es un buen ejercicio que ellos mismos calculen la construcción de algunos conos.

Para un cono truncado se puede usar exactamente el mismo método. Simplemente cortamos un cono parcial de la punta del cono entero. En la construcción del sector circular, esto corresponde a cortar un sector más pequeño con el mismo centro como el sector grande.

La combinación de un cilindro y un cono se puede usar para modelos como los siguientes: una torre redonda con techo en punta; aviones; cohetes. – Para tales modelos, puede surgir la necesidad de construir rectas tangentes a círculos, o círculos tangentes entre sí. Estas son oportunidades para aprender nuevas construcciones geométricas.

(Abajo: Torre redonda con techo en punta.)

recortable-TorreRedonda

Otras formas redondas:

Ahora, los niños podrán experimentar con otras formas redondas, p.ej. un modelo de un carro que tenga líneas redondas en su perfil. Obviamente, tendrán que saber las longitudes de los segmentos redondos para construir el techo del carro con la longitud correcta. La longitud de una curva arbitraria se puede medir colocando un hilo a lo largo de la línea, después se estira el hilo y se mide su longitud con una regla.

En cambio, otros cuerpos de revolución como esferas, cebollas, espejos parabólicos, etc. son muy difíciles. Para tales formas, es necesario aproximarlas con muchos sectores o con troncos de conos. Esto es un tema bastante avanzado y requiere construcciones muy exactas, y/o conocimientos de la geometría analítica y del cálculo infinitesimal. Vemos entonces que la construcción de tales modelos no es solamente un juego de niños; está relacionada con temas que ocupan a los arquitectos e ingenieros en sus estudios superiores.

RecortablesArmadosUnos modelos armados: El carro y la torre de los ejemplos anteriores, y un modelo un poco más complicado de un avión.

 


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La geometría de los recortables de cartulina

En artículos anteriores describí algunas formas como los niños pueden aprender matemática en los quehaceres cotidianos del hogar, en sus juegos, y en sus pasatiempos. Describiré ahora un proyecto que mantuvo el interés de uno de nuestros hijos durante un tiempo prolongado (más que un año) y le incentivó a aprender muchos conceptos de geometría.

Cómo nació este proyecto

Deseamos dar a nuestros hijos la oportunidad de aprender según sus propios intereses. Este proyecto puede ser interesante para niños a quienes les gusta hacer trabajos manuales con papel y cartulina, y construir diversos objetos. Este fue el caso de nuestros hijos. Entonces, como padres no hemos comenzado diciendo: “Esta sería una forma novedosa de aprender geometría, vamos a hacer eso con nuestros hijos.” Al contrario, el interés de los niños fue lo primero. Observamos que ellos pasaban horas armando modelos recortables de cartulina prediseñados: casas y carros sencillos, animalitos, y con el tiempo también construcciones más complicadas. Se pueden encontrar diversos modelos ya prediseñados en internet para descargar, desde sencillos hasta muy complicados. La “fiebre de los recortables” contagió también a algunos amigos de nuestros hijos. Pero en algún momento esos modelos prediseñados ya no eran tan interesantes para los niños; entonces el siguiente desafío fue construir sus propios modelos. Convertimos este interés en un proyecto educativo. Para construir modelos propios, es necesario aprender diversas construcciones geométricas con regla, escuadra y compás. Y esta experiencia a su vez ayuda a los niños a entender los conceptos de la geometría. Para los niños, el mejor camino de aprendizaje comienza siempre con la experiencia concreta y práctica, y de allí procede hacia las generalizaciones y los conceptos abstractos.

Otros niños pueden tener otros intereses que los motivan a aprender matemática y geometría: cocinar según recetas; orientarse con mapa y brújula; tejer; carpintería; gráficos computarizados; etc. Todas estas actividades tienen mucha relación con la matemática y pueden servir como “puerta de entrada” hacia un proyecto interesante. Encuentre algo que capte el interés de sus hijos.

Prerrequisitos para este proyecto:

Como mínimo, los niños deberían entender unos conceptos básicos de la geometría: lo que es un ángulo; lo que significa “paralelo”; y los nombres de las figuras geométricas. En el caso que no lo sepan, habría que introducir estos conceptos durante los primeros trabajos prácticos. – Además, los niños deberían tener un poco de práctica en medir y marcar segmentos rectos con una regla.

Introducción para los niños:

El trabajo más sencillo para principiantes es fabricar una caja rectangular. Como introducción, podemos conseguir unas cajas de crema dental, de filtrantes de té, de jaboncillos, medicamentos, o parecido. Abrimos una o varias cajas para ver cómo son hechas. No hay que cortarlas al abrir; hay que separar cuidadosamente las partes pegadas. Así aparece la forma original (plana) de la caja, y los niños pueden ver como esta forma resulta en una caja, doblando y pegándola. Una vez que han entendido el principio, pueden construir su propia caja con las medidas que ellos mismos eligen. Seguramente se darán cuenta de que existen diversas posibilidades de diseñar la caja: adhiriendo todas las paredes laterales al fondo, o juntando las paredes laterales entre sí; etc.

La única construcción geométrica necesaria para este modelo es el rectángulo. Además, los niños tienen que entrenar su capacidad de imaginarse el objeto tridimensional, para entender dónde tienen que colocar lengüetas para poner goma, y cómo armar el modelo final. – Como regla, es mejor diseñar demasiadas lengüetas que muy pocas. Si al armar el modelo se nota que una lengüeta no es necesaria, se puede cortarla fácilmente; pero es más trabajo aumentar una lengüeta adicional si nos damos cuenta de que falta una.

Dificultades al construir rectángulos:

Los niños tendrán que acostumbrarse a dibujar tanto las rectas como los ángulos según la medida correcta. Muchos niños medirán al inicio solamente los lados del rectángulo, pero dibujarán el ángulo recto como les parece, sin medirlo. Entonces, si miden los nuevos lados y unen sus extremos para dibujar el último lado, probablemente notarán que este último lado no tiene la longitud correcta. – Si no lo notan, hay que señalárselo. O podemos esperar hasta que estén pegando la caja, y entonces notarán que la caja sale chueca.

Los niños tienen que aprender entonces cómo construir un ángulo recto, usando la escuadra.

Proyectos para principiantes

Estas son algunas otras construcciones bastante fáciles:

Casa con techo en caballete:

casaSencilla-peqLa pared lateral de la casa es un rectángulo con un triángulo encima. Después de construir una de estas paredes, la pared opuesta debe construirse congruente a la primera. Pero para principiantes puede ser demasiado difícil, construir una figura congruente a una figura dada. Es preferible enseñarles que dibujen el triángulo superior de una de las siguientes maneras:

a) midiendo la base (= el lado superior del rectángulo) y los ángulos adyacentes, usando el transportador.

b) midiendo la base y la altura, trazando la altura desde el punto medio de la base.

casa-triangulo-ambosAlumnos un poco más avanzados pueden en este punto también aprender la construcción de un triángulo a partir de las longitudes de sus tres lados (con compás). Además se pueden tratar en este contexto las leyes de congruencia en los triángulos.

Para construir las dos partes del techo correctamente, hay que medir su lado lateral en el triángulo ya dibujado. Si los niños no se dan cuenta de eso por sí mismos, habrá que enseñárselo.

CasaSencilla-recortableAsí podría verse el recortable para construir esta casa.

Si queremos que el techo sobresalga por los lados, tenemos que construirlo como una pieza aparte y hacerlo un poco más grande que la casa:

CasaSencilla-recortable2

Otras casas:

Se pueden diseñar las variaciones más diversas de casas. Unos ejemplos:

– Una casa con techo en caballete, donde el caballete no se encuentra en el medio (o sea, una parte del techo es más larga que la otra). En este caso es importante dibujar la pared opuesta de la casa en forma reflejada.

casaSencilla-a-peg

– Una casa con dos alas en ángulo recto. Con techo plano, esta construcción es bastante fácil. Pero este tipo de casa con caballete (o sea, dos caballetes en ángulo recto) ya es bastante difícil; la mayoría de los niños no podrán construirlo sin ayuda. La solución más fácil consiste en construir primero un plano de la casa; de allí podemos medir las longitudes de los caballetes hasta su intersección. Las otras medidas dependen de las medidas de las paredes.

casa2-peq

casa2-plano

Si el caballete se encuentra en el medio, entonces podemos también demostrar que su longitud es igual al promedio de las longitudes de las dos paredes paralelas a él. (Geométricamente, es la línea media de un trapecio.) Entramos aquí al tema de las figuras semejantes, las proporciones, y teoremas relacionados.

casa2-recortableEsta es una posibilidad de construir un recortable para la casa arriba mostrada.

– Una torre con techo en forma de pirámide. Esto es más fácil si la base de la torre es un cuadrado. En este caso, el techo consiste en cuatro triángulos congruentes.

torre-piramide-peq

Un carro sencillo:

recortable-carroEste modelo sencillo consiste solamente en dos lados iguales (o sea, reflejados), y el techo de en medio. Por abajo queda abierto. Para construir un modelo de este tipo hay que comenzar con uno de los lados, y delimitarlo enteramente con líneas rectas (con excepción de las ruedas). Con principiantes se recomienda todavía no usar formas redondas. (De los participantes en nuestros programas vacacionales, solamente los alumnos más avanzados lograron construir un cilindro como su primera forma redonda, y eso recién en la doceava lección.) – Aquellos niños que todavía no saben usar un compás, usarán un objeto redondo (p.ej. una moneda) para dibujar las ruedas.
Después de terminar un lado del carro, construimos sobre su lado superior una tira recta que formará el techo del carro. Los dos lados de esta tira tienen que ser paralelos.

carro2Dividimos esta tira en rectángulos, de manera que la longitud de cada rectángulo corresponde a la longitud de uno de los segmentos del lado del carro.

carro3Finalmente construimos al lado opuesto de la tira el otro lado del carro, congruente (pero reflejado) al lado que construimos al inicio. Aquí surgirá nuevamente el problema de que muchos niños medirán solamente las longitudes de los segmentos, pero dibujarán los ángulos sin medirlos con exactitud. Es bueno primero dejarlos que lo hagan así, y después comprobar la congruencia. Hay diversas maneras de realizar esta comprobación: Uno puede medir los ángulos y/o las diagonales; o se puede terminar de armar el primer modelo, y entonces se notará que sale chueco si los dos lados no son congruentes. También se puede doblar la cartulina de tal manera que los dos lados del carro se sobreponen, y mirarla hacia una luz fuerte. Si las líneas son suficientemente nítidas, se pueden ver los dos lados uno sobre el otro, y así se puede ver fácilmente si son congruentes o no. Así los niños llegarán a entender que en los polígonos con más de tres lados no es suficiente que tengan lados iguales para que sean congruentes, sino que también los ángulos tienen que ser iguales.

Proyectos propios

Después de dominar las construcciones sencillas como las que acabamos de describir, los niños podrán inventar y construir otros modelos con líneas rectas: otras variaciones de casas; muebles como mesas, sillas, etc; cuerpos geométricos; un tren; etc. A menudo los niños tienen ideas interesantes y novedosas. Por ejemplo, una alumna fabricó un modelo de un lápiz. – Es claro que a veces necesitan ayuda para sus construcciones. Así practicarán y aprenderán nuevos conceptos geométricos.

(Continuará)

 


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Más juegos que ayudan a desarrollar el pensamiento matemático

Suma, resta y multiplicación

Se juega con un solo dado que se tira cuatro veces seguidas. El puntaje del primer tiro simplemente se anota. De los tres tiros siguientes, uno tiene que sumarse, uno tiene restarse y uno tiene que multiplicarse. El jugador tiene que decidirse inmediatamente después de tirar, cuál operación desea aplicar a este tiro, antes de realizar el tiro siguiente. El jugador con el mayor puntaje gana. Se pueden jugar varios turnos y sumar los puntajes.
Un ejemplo: El primer tiro fue 4, se anota. El siguiente tiro fue 2, el jugador decide restar: 4 – 2 = 2. Después tiró 5 y decidió multiplicar: 2 x 5 = 10. El último tiro fue 3, ahora necesariamente tiene que sumar porque ya usó las otras operaciones: 10 + 3 = 13. Entonces el puntaje final del jugador en este turno es 13.
Obviamente, el puntaje final depende no solamente del azar; es también necesario decidir de manera óptima acerca del orden de las operaciones. Por ejemplo, en el ejemplo anterior, el puntaje hubiera resultado mayor si el jugador hubiera primero sumado y después multiplicado: 4 + 2 = 6, 6 x 5 = 30, 30 – 3 = 27. Pero con otros puntajes, otro orden de las operaciones puede ser más ventajoso.

Acércate a 1000

Un juego con tres dados para varios jugadores. Se juega por turnos: el jugador tira los tres dados juntos, los coloca en el orden que desea (sin alterar los puntajes), y forma de los puntajes un número de tres dígitos (interpretando cada dado como un dígito). Este número se anota con el nombre del jugador; después juega el siguiente. Esto se repite hasta que cada jugador haya jugado tres turnos (o sea, tenga tres números anotados, de tres dígitos cada uno). Estos tres números se suman. Gana el jugador cuya suma es más cerca de 1000 (sin importar si la suma es por encima o por debajo de 1000).
Ejemplo: Un jugador tira primero 2, 4, 5, decide anotar 425. Después tira 1, 3, 3, decide anotar 331. Por fin tira 2, 5, 6 y anota 256. Su suma es 425 + 331 + 256 = 1012; o sea, se alejó de la meta por 12 puntos. (Si en el segundo tiro hubiera anotado 313 y en el último 265, su resultado hubiera sido mejor, porque 425 + 313 + 265 = 1003, lo que es más cerca de 1000 que 1012.)
El desafío consiste en hacer la mejor decisión en cuanto al orden de los tres dados. Por ejemplo, si los dados muestran 3, 6 y 1, se puede formar el número 136, 163, 316, 361, 613 ó 631. Es obvio que en el tercer turno, el jugador puede calcular cuál de las seis posibilidades hará que su suma final sea más cerca de 1000. Pero ¿existe también una estrategia para hacer decisiones “óptimas” en el primer y segundo turno? (Por ejemplo, si en el primer turno anoté 652, no sería aconsejable en el segundo turno colocar otra vez un 6 adelante, porque así la suma final será mucho más grande que 1000.)

24 con cuatro dados

Otro juego matemático con dados: Un jugador tira cuatro dados simultáneamente, visibles para todos. Entonces cada jugador intenta formar con los cuatro puntajes una operación matemática que dé como resultado 24. Se debe usar cada dado exactamente una vez; y se pueden usar las cuatro operaciones básicas y paréntesis. El jugador que primero encuentra una solución, recibe un punto.
Ejemplo: Los dados muestran 1, 3, 4, 4. Una solución sería (4+4) x 3 x 1 = 24.
– Obviamente, algunas combinaciones no tienen solución (por ejemplo 1, 1, 1, 1). En este caso, nadie recibe un punto. Se puede acordar un límite de tiempo, p.ej. dos minutos, y si después de este tiempo nadie tiene una solución, no hay punto y el siguiente jugador tira los dados.

Variación: Se admiten operaciones adicionales, p.ej. potencias, y formar números de varios dígitos. Así aumentan las posibilidades de encontrar una solución. Por ejemplo, con 1, 1, 2, 5 se podría formar 52 – (1 ÷ 1) = 24, ó 25 – (1 ÷ 1) = 24; y con 1, 4, 4, 6 se podría formar 144 ÷ 6 = 24. (Aunque en este caso existe también la solución “regular” 4 x (6+1) – 4 = 24.)

Yatzy

Se juega con cinco dados. Primero se prepara la lista de entradas:

A B C
1
2
3
4
5
6
Subtotal
Bono (25 p.)
Un par
Dos pares
3 iguales
4 iguales
“Full” o Casa llena (2 y 3)
Escalera pequeña (12345)
Escalera grande (23456)
Oportunidad
Yatzy (5 iguales) 50 p.
Total

En lugar de A, B, C (etc.) se ponen los nombres de los jugadores. Por turno, cada jugador tira los dados de la siguiente manera: Primero tira los cinco dados juntos. Después puede elegir cuáles dados quiere dejar como están, y cuáles desea tirar otra vez. (Puede también elegir tirar todos los dados otra vez, o ninguno de ellos.) Del nuevo resultado, puede una vez más volver a tirar los dados que desea. Después tiene que anotar el resultado en la columna debajo de su nombre, en una fila de su elección que todavía esté libre. Las entradas tienen el siguiente significado:

1 a 6: Se anotan solamente los puntos de los dados que corresponden al número respectivo. Ejemplo: He tirado 2, 4, 4, 5, 4 y decido anotarlo en la fila “4”. Entonces anoto 12 puntos, porque 4+4+4 = 12; el 2 y el 5 no puedo anotar aquí.

Subtotal (se llena al final del juego): El total de las entradas “1” a “6”.

Bono (se llena al final del juego): Se pueden anotar 25 puntos si el subtotal es de 64 puntos o más. En caso contrario se anotan cero puntos en “Bono”.

Un par: Dos dados deben mostrar el mismo número; se anota el total de estos dados. Ejemplo: He tirado 1, 2, 3, 3, 5, entonces se anotan 3 + 3 = 6 puntos.

Dos pares: Es necesario tener 2 pares de números iguales, p.ej. 3, 3, 5, 5, 2. Entonces anoto 3+3+5+5 = 16 puntos (el 2 no cuenta).

3 (4) iguales: Es necesario que 3 (4) dados muestren el mismo número, entonces se anota el total de estos 3 (4) dados.

Casa llena (“Full”): Es necesario tener 3 números iguales, y los 2 restantes también deben ser iguales; p.ej. 2, 2, 2, 6, 6. (Se anota la suma de todos los dados.)

Escalera pequeña / grande: Los dados tienen que mostrar los números 1, 2, 3, 4, 5 (escalera pequeña) resp. 2, 3, 4, 5, 6 (escalera grande). Se anotan todos los puntos (da siempre 15 para la escalera pequeña y 20 para la escalera grande).

Oportunidad: Se anota la suma de todos los dados, sin restricciones adicionales. P.ej. 3, 5, 2, 6, 1, se anota 17.

Yatzy (5 iguales): Los 5 dados deben mostrar el mismo número. “Yatzy” vale siempre 50 puntos, sin importar el puntaje de los dados.

Total (se llena al final del juego): La suma de “Subtotal”, “Bono”, y todas las entradas debajo de “Bono”.

En cada turno, el jugador tiene que llenar una entrada que todavía está libre. O sea, después de exactamente 15 turnos debe tener todas sus entradas llenas. Esto significa que hacia el fin del juego se verá obligado a llenar algunas entradas sin poder cumplir la condición necesaria; y en este caso tiene que escribir cero puntos en la fila respectiva. Por ejemplo, puede suceder que un jugador tenga solamente las filas “4 iguales”, “Calle grande” y “Yatzy” libres, y no logra alcanzar ninguno de éstos. Entonces tiene que escribir cero puntos en una de estas filas.

El jugador con el mayor total de puntos gana.

En el transcurso de este juego es necesario hacer diversas decisiones estratégicas. Por ejemplo, si tiro tres veces el 5, ¿es mejor anotarlo en la fila “5” o en “3 iguales”? – Si en el primer intento tiro 1, 2, 4, 4, 6, ¿es mejor volver a tirar los dados 1, 2, 6 para intentar lograr tres o cuatro veces el 4; o es mejor volver a tirar los dados 1, 4 para intentar lograr la Calle grande? – Si he tirado unos números “inútiles” y ya he llenado “Oportunidad”, ¿en cuál fila conviene escribir cero puntos? – Etc.
Algunas de estas preguntas se pueden responder con un poco de reflexión; otras requieren un análisis combinatorio bastante complicado. Una investigación matemática completa de este juego para encontrar la mejor estrategia, sería un desafío incluso para estudiantes universitarios.

Kalaha

Este es un juego tradicional africano para dos jugadores. Los niños africanos lo juegan en el suelo arcilloso con frejoles y otras semillas, o con piedritas. Se forman huecos en la tierra según el siguiente diseño:

kalaha400

(En vez de jugarlo en la tierra, se puede fabricar este juego de madera o de arcilla.) Los huecos pequeños se llaman “casas”, los dos huecos grandes se llaman “almacenes”. A un jugador pertenece la fila superior de casas y el almacén a la izquierda; al otro jugador pertenece la fila inferior de casas y el almacén a la derecha. Se comienza con un mismo número de semillas en cada casa (por ejemplo 3, 4, 5 ó 6 semillas en cada casa), y los almacenes vacíos. Una jugada consiste en sacar todas las semillas de una casa y “sembrarlas” en las casas adyacentes, una por una, hasta acabarlas. Se siembra según las siguientes reglas:

– Cada jugador siembra en dirección hacia su almacén, o sea (considerando el tablero como un círculo) en el sentido contrario a las agujas del reloj, una semilla en cada casa y también en su almacén.

– Si el jugador al sembrar alcanzó su almacén y todavía sobran semillas, entonces sigue sembrando en las casas del otro jugador (siempre en el sentido contrario a las agujas del reloj), y si al terminarla todavía sobran semillas, salta otra vez a su propia fila (pasando por alto el almacén del oponente) y sigue sembrando así, hasta acabar todas las semillas que sacó de la casa.

– Si la última semilla sembrada cae en el almacén, el jugador puede jugar otra vez. Esto se puede repetir varias veces, hasta que la última semilla sembrada ya no caiga en el almacén.

kalaha1-300

kalaha2-300

– Si la última semilla sembrada cae en una casa vacía del propio jugador, entonces puede vaciar la casa adyacente del oponente y echar todo el contenido a su almacén, junto con la última semilla sembrada.

kalaha3-300

kalaha4-300

kalaha5-300

– El juego termina cuando uno de los jugadores tiene todas sus casas vacías. Entonces, el otro jugador vacía todas sus casas a su almacén. Ganador es el que tiene más semillas en su almacén.

Master Mind (Código secreto)

Este juego para dos jugadores fue inventado recién en la segunda mitad del siglo XX (a base de un juego tradicional más antiguo), y se hizo muy popular. El tablero consiste en una caja delgada de plástico (pero se puede fabricar también de una tabla de madera) con agujeros según el siguiente diseño:

Mastermind-Init-224

En los agujeros se colocan clavijas de diferentes colores. (Se pueden fabricar de fósforos, pintándolos con los colores necesarios). Existen clavijas de evaluación (blancas y negras), y clavijas de código (en seis colores diferentes). – El tablero tiene además cuatro agujeros escondidos en su borde trasero para el código secreto.

Mastermind-foto

Una edición comercial de “Mastermind”. A la derecha el código secreto que es invisible para el jugador del otro lado.

Y así se juega:
El jugador A inventa un código secreto, y el jugador B intenta adivinarlo. El jugador A establece su código, colocando cuatro clavijas de colores (sin usar las blancas ni las negras) en los agujeros escondidos, sin que el jugador B las pueda ver. Entonces B intenta adivinar el código, colocando cuatro clavijas de colores en los agujeros de la fila 1, de la forma como él piensa que podría ser el código. Obviamente, este primer intento será completamente al azar, puesto que el jugador no sabe nada acerca del código verdadero. Pero A “evalúa” cada intento de B, de manera que en el transcurso del juego se van acumulando pautas acerca del código verdadero.
Después de cada intento de B, A coloca unas clavijas blancas y/o negras en los agujeros en cuadrado de la fila correspondiente, según las siguientes reglas:
– Por cada color que se encuentra en la posición correcta (o sea, en la misma posición como en el código verdadero), se coloca una clavija negra.
– Por cada color que se encuentra en el código verdadero, pero en una posición distinta, se coloca una clavija blanca.
Entonces, B sabe el número de “aciertos” que tuvo, pero no sabe a cuáles de sus clavijas se refieren las clavijas blancas y negras. A base de esta información, hace un segundo intento en la fila 2, el cual es nuevamente evaluado por A. Y así sucesivamente, hasta que B adivina el código correcto (entonces A coloca cuatro clavijas negras como evaluación, porque todos los colores son correctos), o hasta que llegue a la fila 6 sin poder adivinar el código.

Antes de poder jugar este juego, es necesario practicar varias veces la manera de “evaluar”. Si A se equivoca en una evaluación, entonces B ya no tiene la posibilidad de adivinar el código correcto, y el juego tiene que anularse. Por tanto, es importante que ambos jugadores estén bien seguros en la forma de evaluar, antes de jugar “en serio”.

La siguiente ilustración muestra un juego de “Master Mind” como ejemplo. La fila superior muestra el código correcto (el cual es invisible para B.) Los comentarios abajo explican la forma como el jugador A debe evaluar las jugadas de B; y además aclaran el razonamiento de B para llegar a la solución correcta en la fila 6:

Mastermind-ejemplo-224

1) B colocó dos clavijas amarillas y dos celestes. Como evaluación, jugador A coloca una clavija negra por el color amarillo en la posición correcta (segunda desde la izquierda). La primera clavija amarilla colocada por B no recibe ninguna clavija de evaluación, porque este color existe una sola vez en el código original.
2) Una clavija blanca para el color amarillo en posición equivocada, y otra clavija blanca para el color rojo en posición equivocada. El color anaranjado no existe en el código original.
3) B supuso (correctamente) que la clavija negra de la fila 1 corresponde al color amarillo, y por tanto el código original debe contener amarillo en la segunda posición. (Si el color amarillo estuviera en la primera posición, hubiera recibido una clavija negra en la fila 2. Si estuviera en la tercera o cuarta posición, hubiera recibido una clavija blanca en la fila 1.) – Además, B pensó que la otra clavija blanca de la fila 2 podría referirse al color anaranjado; por tanto coloca ahora este color en posiciones distintas.
En este nuevo intento, el color amarillo es el único que figura en el código original, y está en la posición correcta: A coloca una clavija negra.
4) B sabe ahora (asumiendo que amarillo es correcto) que anaranjado y marrón no figuran en el código, y (según la fila 1) celeste tampoco. Por tanto intenta armar el código con los colores restantes. (Un desafío de razonamiento: Conociendo solamente la evaluación de los primeros tres intentos, todavía existe la posibilidad de que el código no contenga amarillo, sino que la clavija negra de la fila 1 se refiera al color celeste. ¿Cómo podría verse el código correcto en este caso?)
Evaluación: Tres clavijas negras para amarillo, rojo y verde en las posiciones correctas. Verde en la primera posición no recibe ninguna clavija de evaluación.
5) B cometió un error de razonamiento. Debería saber que la cuarta posición no puede contener rojo; de otro modo hubiera recibido una clavija negra en la fila 2. Pero concluyó correctamente que el color rojo, no el verde, debe aparecer duplicado. (El amarillo no puede estar duplicado, porque en este caso A hubiera colocado dos clavijas en la fila 1.)
Verde está en la posición equivocada (clavija blanca); amarillo está en la posición correcta (clavija negra). Rojo en la tercera posición también está correcto (otra clavija negra). Rojo en la cuarta posición recibe una clavija blanca, porque el código contiene una segunda clavija roja, pero en una posición distinta.
6) B sabe ahora que todos sus colores son correctos; solamente que la posición de dos de ellos todavía está equivocada. Con eso (y tomando en cuenta las filas anteriores) tiene suficiente información para deducir el código correcto en su último intento.

Desde un punto de vista matemático, este juego es “difícil”, en el sentido de que no se puede dar ninguna estrategia generalizada que sea “óptima” en cada caso. Pero si el jugador B razona de manera consistente, y elimina todas las combinaciones imposibles, siempre será capaz de adivinar el código con 6 intentos o menos. Existe una estrategia computarizada que puede descubrir el código en un máximo de 5 intentos.

 


Familias educadoras y escuelas alternativas interesadas en un aprendizaje lúdico de la matemática, revisen los libros de la serie “Matemática activa”.

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