Educación Cristiana Alternativa

Educación es algo muy diferente de lo que usted piensa …

Más juegos que ayudan a desarrollar el pensamiento matemático

Suma, resta y multiplicación

Se juega con un solo dado que se tira cuatro veces seguidas. El puntaje del primer tiro simplemente se anota. De los tres tiros siguientes, uno tiene que sumarse, uno tiene restarse y uno tiene que multiplicarse. El jugador tiene que decidirse inmediatamente después de tirar, cuál operación desea aplicar a este tiro, antes de realizar el tiro siguiente. El jugador con el mayor puntaje gana. Se pueden jugar varios turnos y sumar los puntajes.
Un ejemplo: El primer tiro fue 4, se anota. El siguiente tiro fue 2, el jugador decide restar: 4 – 2 = 2. Después tiró 5 y decidió multiplicar: 2 x 5 = 10. El último tiro fue 3, ahora necesariamente tiene que sumar porque ya usó las otras operaciones: 10 + 3 = 13. Entonces el puntaje final del jugador en este turno es 13.
Obviamente, el puntaje final depende no solamente del azar; es también necesario decidir de manera óptima acerca del orden de las operaciones. Por ejemplo, en el ejemplo anterior, el puntaje hubiera resultado mayor si el jugador hubiera primero sumado y después multiplicado: 4 + 2 = 6, 6 x 5 = 30, 30 – 3 = 27. Pero con otros puntajes, otro orden de las operaciones puede ser más ventajoso.

Acércate a 1000

Un juego con tres dados para varios jugadores. Se juega por turnos: el jugador tira los tres dados juntos, los coloca en el orden que desea (sin alterar los puntajes), y forma de los puntajes un número de tres dígitos (interpretando cada dado como un dígito). Este número se anota con el nombre del jugador; después juega el siguiente. Esto se repite hasta que cada jugador haya jugado tres turnos (o sea, tenga tres números anotados, de tres dígitos cada uno). Estos tres números se suman. Gana el jugador cuya suma es más cerca de 1000 (sin importar si la suma es por encima o por debajo de 1000).
Ejemplo: Un jugador tira primero 2, 4, 5, decide anotar 425. Después tira 1, 3, 3, decide anotar 331. Por fin tira 2, 5, 6 y anota 256. Su suma es 425 + 331 + 256 = 1012; o sea, se alejó de la meta por 12 puntos. (Si en el segundo tiro hubiera anotado 313 y en el último 265, su resultado hubiera sido mejor, porque 425 + 313 + 265 = 1003, lo que es más cerca de 1000 que 1012.)
El desafío consiste en hacer la mejor decisión en cuanto al orden de los tres dados. Por ejemplo, si los dados muestran 3, 6 y 1, se puede formar el número 136, 163, 316, 361, 613 ó 631. Es obvio que en el tercer turno, el jugador puede calcular cuál de las seis posibilidades hará que su suma final sea más cerca de 1000. Pero ¿existe también una estrategia para hacer decisiones “óptimas” en el primer y segundo turno? (Por ejemplo, si en el primer turno anoté 652, no sería aconsejable en el segundo turno colocar otra vez un 6 adelante, porque así la suma final será mucho más grande que 1000.)

24 con cuatro dados

Otro juego matemático con dados: Un jugador tira cuatro dados simultáneamente, visibles para todos. Entonces cada jugador intenta formar con los cuatro puntajes una operación matemática que dé como resultado 24. Se debe usar cada dado exactamente una vez; y se pueden usar las cuatro operaciones básicas y paréntesis. El jugador que primero encuentra una solución, recibe un punto.
Ejemplo: Los dados muestran 1, 3, 4, 4. Una solución sería (4+4) x 3 x 1 = 24.
– Obviamente, algunas combinaciones no tienen solución (por ejemplo 1, 1, 1, 1). En este caso, nadie recibe un punto. Se puede acordar un límite de tiempo, p.ej. dos minutos, y si después de este tiempo nadie tiene una solución, no hay punto y el siguiente jugador tira los dados.

Variación: Se admiten operaciones adicionales, p.ej. potencias, y formar números de varios dígitos. Así aumentan las posibilidades de encontrar una solución. Por ejemplo, con 1, 1, 2, 5 se podría formar 52 – (1 ÷ 1) = 24, ó 25 – (1 ÷ 1) = 24; y con 1, 4, 4, 6 se podría formar 144 ÷ 6 = 24. (Aunque en este caso existe también la solución “regular” 4 x (6+1) – 4 = 24.)

Yatzy

Se juega con cinco dados. Primero se prepara la lista de entradas:

A B C
1
2
3
4
5
6
Subtotal
Bono (25 p.)
Un par
Dos pares
3 iguales
4 iguales
“Full” o Casa llena (2 y 3)
Escalera pequeña (12345)
Escalera grande (23456)
Oportunidad
Yatzy (5 iguales) 50 p.
Total

En lugar de A, B, C (etc.) se ponen los nombres de los jugadores. Por turno, cada jugador tira los dados de la siguiente manera: Primero tira los cinco dados juntos. Después puede elegir cuáles dados quiere dejar como están, y cuáles desea tirar otra vez. (Puede también elegir tirar todos los dados otra vez, o ninguno de ellos.) Del nuevo resultado, puede una vez más volver a tirar los dados que desea. Después tiene que anotar el resultado en la columna debajo de su nombre, en una fila de su elección que todavía esté libre. Las entradas tienen el siguiente significado:

1 a 6: Se anotan solamente los puntos de los dados que corresponden al número respectivo. Ejemplo: He tirado 2, 4, 4, 5, 4 y decido anotarlo en la fila “4”. Entonces anoto 12 puntos, porque 4+4+4 = 12; el 2 y el 5 no puedo anotar aquí.

Subtotal (se llena al final del juego): El total de las entradas “1” a “6”.

Bono (se llena al final del juego): Se pueden anotar 25 puntos si el subtotal es de 64 puntos o más. En caso contrario se anotan cero puntos en “Bono”.

Un par: Dos dados deben mostrar el mismo número; se anota el total de estos dados. Ejemplo: He tirado 1, 2, 3, 3, 5, entonces se anotan 3 + 3 = 6 puntos.

Dos pares: Es necesario tener 2 pares de números iguales, p.ej. 3, 3, 5, 5, 2. Entonces anoto 3+3+5+5 = 16 puntos (el 2 no cuenta).

3 (4) iguales: Es necesario que 3 (4) dados muestren el mismo número, entonces se anota el total de estos 3 (4) dados.

Casa llena (“Full”): Es necesario tener 3 números iguales, y los 2 restantes también deben ser iguales; p.ej. 2, 2, 2, 6, 6. (Se anota la suma de todos los dados.)

Escalera pequeña / grande: Los dados tienen que mostrar los números 1, 2, 3, 4, 5 (escalera pequeña) resp. 2, 3, 4, 5, 6 (escalera grande). Se anotan todos los puntos (da siempre 15 para la escalera pequeña y 20 para la escalera grande).

Oportunidad: Se anota la suma de todos los dados, sin restricciones adicionales. P.ej. 3, 5, 2, 6, 1, se anota 17.

Yatzy (5 iguales): Los 5 dados deben mostrar el mismo número. “Yatzy” vale siempre 50 puntos, sin importar el puntaje de los dados.

Total (se llena al final del juego): La suma de “Subtotal”, “Bono”, y todas las entradas debajo de “Bono”.

En cada turno, el jugador tiene que llenar una entrada que todavía está libre. O sea, después de exactamente 15 turnos debe tener todas sus entradas llenas. Esto significa que hacia el fin del juego se verá obligado a llenar algunas entradas sin poder cumplir la condición necesaria; y en este caso tiene que escribir cero puntos en la fila respectiva. Por ejemplo, puede suceder que un jugador tenga solamente las filas “4 iguales”, “Calle grande” y “Yatzy” libres, y no logra alcanzar ninguno de éstos. Entonces tiene que escribir cero puntos en una de estas filas.

El jugador con el mayor total de puntos gana.

En el transcurso de este juego es necesario hacer diversas decisiones estratégicas. Por ejemplo, si tiro tres veces el 5, ¿es mejor anotarlo en la fila “5” o en “3 iguales”? – Si en el primer intento tiro 1, 2, 4, 4, 6, ¿es mejor volver a tirar los dados 1, 2, 6 para intentar lograr tres o cuatro veces el 4; o es mejor volver a tirar los dados 1, 4 para intentar lograr la Calle grande? – Si he tirado unos números “inútiles” y ya he llenado “Oportunidad”, ¿en cuál fila conviene escribir cero puntos? – Etc.
Algunas de estas preguntas se pueden responder con un poco de reflexión; otras requieren un análisis combinatorio bastante complicado. Una investigación matemática completa de este juego para encontrar la mejor estrategia, sería un desafío incluso para estudiantes universitarios.

Kalaha

Este es un juego tradicional africano para dos jugadores. Los niños africanos lo juegan en el suelo arcilloso con frejoles y otras semillas, o con piedritas. Se forman huecos en la tierra según el siguiente diseño:

kalaha400

(En vez de jugarlo en la tierra, se puede fabricar este juego de madera o de arcilla.) Los huecos pequeños se llaman “casas”, los dos huecos grandes se llaman “almacenes”. A un jugador pertenece la fila superior de casas y el almacén a la izquierda; al otro jugador pertenece la fila inferior de casas y el almacén a la derecha. Se comienza con un mismo número de semillas en cada casa (por ejemplo 3, 4, 5 ó 6 semillas en cada casa), y los almacenes vacíos. Una jugada consiste en sacar todas las semillas de una casa y “sembrarlas” en las casas adyacentes, una por una, hasta acabarlas. Se siembra según las siguientes reglas:

– Cada jugador siembra en dirección hacia su almacén, o sea (considerando el tablero como un círculo) en el sentido contrario a las agujas del reloj, una semilla en cada casa y también en su almacén.

– Si el jugador al sembrar alcanzó su almacén y todavía sobran semillas, entonces sigue sembrando en las casas del otro jugador (siempre en el sentido contrario a las agujas del reloj), y si al terminarla todavía sobran semillas, salta otra vez a su propia fila (pasando por alto el almacén del oponente) y sigue sembrando así, hasta acabar todas las semillas que sacó de la casa.

– Si la última semilla sembrada cae en el almacén, el jugador puede jugar otra vez. Esto se puede repetir varias veces, hasta que la última semilla sembrada ya no caiga en el almacén.

kalaha1-300

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– Si la última semilla sembrada cae en una casa vacía del propio jugador, entonces puede vaciar la casa adyacente del oponente y echar todo el contenido a su almacén, junto con la última semilla sembrada.

kalaha3-300

kalaha4-300

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– El juego termina cuando uno de los jugadores tiene todas sus casas vacías. Entonces, el otro jugador vacía todas sus casas a su almacén. Ganador es el que tiene más semillas en su almacén.

Master Mind (Código secreto)

Este juego para dos jugadores fue inventado recién en la segunda mitad del siglo XX (a base de un juego tradicional más antiguo), y se hizo muy popular. El tablero consiste en una caja delgada de plástico (pero se puede fabricar también de una tabla de madera) con agujeros según el siguiente diseño:

Mastermind-Init-224

En los agujeros se colocan clavijas de diferentes colores. (Se pueden fabricar de fósforos, pintándolos con los colores necesarios). Existen clavijas de evaluación (blancas y negras), y clavijas de código (en seis colores diferentes). – El tablero tiene además cuatro agujeros escondidos en su borde trasero para el código secreto.

Mastermind-foto

Una edición comercial de “Mastermind”. A la derecha el código secreto que es invisible para el jugador del otro lado.

Y así se juega:
El jugador A inventa un código secreto, y el jugador B intenta adivinarlo. El jugador A establece su código, colocando cuatro clavijas de colores (sin usar las blancas ni las negras) en los agujeros escondidos, sin que el jugador B las pueda ver. Entonces B intenta adivinar el código, colocando cuatro clavijas de colores en los agujeros de la fila 1, de la forma como él piensa que podría ser el código. Obviamente, este primer intento será completamente al azar, puesto que el jugador no sabe nada acerca del código verdadero. Pero A “evalúa” cada intento de B, de manera que en el transcurso del juego se van acumulando pautas acerca del código verdadero.
Después de cada intento de B, A coloca unas clavijas blancas y/o negras en los agujeros en cuadrado de la fila correspondiente, según las siguientes reglas:
– Por cada color que se encuentra en la posición correcta (o sea, en la misma posición como en el código verdadero), se coloca una clavija negra.
– Por cada color que se encuentra en el código verdadero, pero en una posición distinta, se coloca una clavija blanca.
Entonces, B sabe el número de “aciertos” que tuvo, pero no sabe a cuáles de sus clavijas se refieren las clavijas blancas y negras. A base de esta información, hace un segundo intento en la fila 2, el cual es nuevamente evaluado por A. Y así sucesivamente, hasta que B adivina el código correcto (entonces A coloca cuatro clavijas negras como evaluación, porque todos los colores son correctos), o hasta que llegue a la fila 6 sin poder adivinar el código.

Antes de poder jugar este juego, es necesario practicar varias veces la manera de “evaluar”. Si A se equivoca en una evaluación, entonces B ya no tiene la posibilidad de adivinar el código correcto, y el juego tiene que anularse. Por tanto, es importante que ambos jugadores estén bien seguros en la forma de evaluar, antes de jugar “en serio”.

La siguiente ilustración muestra un juego de “Master Mind” como ejemplo. La fila superior muestra el código correcto (el cual es invisible para B.) Los comentarios abajo explican la forma como el jugador A debe evaluar las jugadas de B; y además aclaran el razonamiento de B para llegar a la solución correcta en la fila 6:

Mastermind-ejemplo-224

1) B colocó dos clavijas amarillas y dos celestes. Como evaluación, jugador A coloca una clavija negra por el color amarillo en la posición correcta (segunda desde la izquierda). La primera clavija amarilla colocada por B no recibe ninguna clavija de evaluación, porque este color existe una sola vez en el código original.
2) Una clavija blanca para el color amarillo en posición equivocada, y otra clavija blanca para el color rojo en posición equivocada. El color anaranjado no existe en el código original.
3) B supuso (correctamente) que la clavija negra de la fila 1 corresponde al color amarillo, y por tanto el código original debe contener amarillo en la segunda posición. (Si el color amarillo estuviera en la primera posición, hubiera recibido una clavija negra en la fila 2. Si estuviera en la tercera o cuarta posición, hubiera recibido una clavija blanca en la fila 1.) – Además, B pensó que la otra clavija blanca de la fila 2 podría referirse al color anaranjado; por tanto coloca ahora este color en posiciones distintas.
En este nuevo intento, el color amarillo es el único que figura en el código original, y está en la posición correcta: A coloca una clavija negra.
4) B sabe ahora (asumiendo que amarillo es correcto) que anaranjado y marrón no figuran en el código, y (según la fila 1) celeste tampoco. Por tanto intenta armar el código con los colores restantes. (Un desafío de razonamiento: Conociendo solamente la evaluación de los primeros tres intentos, todavía existe la posibilidad de que el código no contenga amarillo, sino que la clavija negra de la fila 1 se refiera al color celeste. ¿Cómo podría verse el código correcto en este caso?)
Evaluación: Tres clavijas negras para amarillo, rojo y verde en las posiciones correctas. Verde en la primera posición no recibe ninguna clavija de evaluación.
5) B cometió un error de razonamiento. Debería saber que la cuarta posición no puede contener rojo; de otro modo hubiera recibido una clavija negra en la fila 2. Pero concluyó correctamente que el color rojo, no el verde, debe aparecer duplicado. (El amarillo no puede estar duplicado, porque en este caso A hubiera colocado dos clavijas en la fila 1.)
Verde está en la posición equivocada (clavija blanca); amarillo está en la posición correcta (clavija negra). Rojo en la tercera posición también está correcto (otra clavija negra). Rojo en la cuarta posición recibe una clavija blanca, porque el código contiene una segunda clavija roja, pero en una posición distinta.
6) B sabe ahora que todos sus colores son correctos; solamente que la posición de dos de ellos todavía está equivocada. Con eso (y tomando en cuenta las filas anteriores) tiene suficiente información para deducir el código correcto en su último intento.

Desde un punto de vista matemático, este juego es “difícil”, en el sentido de que no se puede dar ninguna estrategia generalizada que sea “óptima” en cada caso. Pero si el jugador B razona de manera consistente, y elimina todas las combinaciones imposibles, siempre será capaz de adivinar el código con 6 intentos o menos. Existe una estrategia computarizada que puede descubrir el código en un máximo de 5 intentos.

 


Vea también:Libros de Matemática Activa

para un aprendizaje sistemático según los principios expuestos en este artículo.

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Matemática en la vida diaria: Juegos que ayudan a desarrollar el pensamiento matemático

Vea también:Libros de Matemática Activa

para un aprendizaje sistemático según los principios expuestos en este artículo.


En el artículo anterior hemos visto que muchos juegos de mesa son una forma de practicar la matemática pura. No es necesario que contengan números para que sea matemática. Un movimiento de ajedrez puede describirse como operación matemática, igual como una suma o una división. Existen matemáticos profesionales que pasan mucho tiempo analizando juegos.

Entre los juegos de tablero más conocidos figuran el ajedrez, el juego de damas, y las damas chinas. A casi todos los niños les gusta jugar estos juegos, y así entrenan su pensamiento lógico y estratégico. No lo considero necesario describir estos juegos aquí, porque se pueden conseguir fácilmente en cualquier tienda de juegos, y sus reglas se pueden averiguar en internet.
A continuación mencionaré algunos otros juegos idóneos para entrenar el pensamiento matemático:

Michi

Este juego muy conocido se juega entre dos jugadores, en un cuadrado de 3 por 3 cuadraditos dibujado en papel. Por turnos, cada jugador marca uno de los cuadraditos con su símbolo respectivo ( O resp. X ). Gana el primero en tener tres de sus símbolos en una línea recta (horizontal, vertical o diagonal).
Los niños más pequeños simplemente jugarán pensando en su turno actual. Niños más grandes podrán anticipar mentalmente una o más jugadas y así desarrollar una “estrategia ganadora” más eficaz.

Variación: “Michi cilíndrico”: Los jugadores se imaginan que el cuadrado fuera enrollado en forma de un cilindro, de manera que saliéndose por el borde derecho uno vuelve a entrar al cuadrado desde la izquierda. Esto significa que las siguientes configuraciones también constituyen “líneas rectas” y por tanto gana el jugador que alcanza una de ellas:

michi-cilindrico

Variación: “Michi al revés”: El que tenga tres de sus símbolos en una línea recta, pierde.

Marcar casitas

Se juega entre dos jugadores en papel cuadriculado. Primero se marca una “cancha de juego”, por ejemplo un rectángulo. La meta del juego es “conquistar” dentro de la cancha la mayor cantidad posible de cuadraditos, encerrándolos con rayas por sus cuatro lados. Los jugadores trazan por turno cada uno un lado de uno de los cuadraditos dentro de la cancha. Si un jugador logra encerrar un cuadradito completamente (trazando su último lado), puede marcarlo con su símbolo (O resp. X) y trazar una raya adicional. Si con esta raya adicional él completa otro cuadradito, puede marcarlo también y seguir jugando, etc. hasta que ya no puede completar ningún cuadrado. Los bordes de la cancha valen como rayas ya trazadas. Se juega hasta que todos los cuadrados de la cancha son marcados. Entonces es ganador el que marcó el mayor número de cuadrados.

Un ejemplo de una jugada:

marcarCasitas1

Comenzando con la situación a la izquierda, el jugador del turno pudo sucesivamente marcar los dos cuadraditos mostrados, y después trazó una línea más (última imagen). Su adversario podrá entonces marcar para sí el cuadradito abajo en el medio. (Normalmente, la cancha se hará más grande que esta.)
– Aunque se dé la situación de que un jugador puede con una sola línea marcar dos cuadraditos a la vez, puede después trazar una sola línea adicional, no dos.

Nim

Se juega entre dos jugadores con objetos pequeños como palitos de fósforos o piedritas. Los palitos se colocan en tres, cuatro o más filas. No hay regla acerca del arreglo inicial, los jugadores están libres para comenzar con cualquier arreglo que deseen. Por ejemplo, se puede comenzar con una fila de 3, una fila de 4 y una fila de 5 palitos. Otra posición inicial común es con cuatro filas que contienen 1, 3, 5 y 7 palitos respectivamente.
Entonces, por turnos, cada jugador quita unos palitos de una fila. Puede quitar tantos palitos como desea, con tal que todos se encuentren en la misma fila. El que puede quitar el último palito, gana.

Este es un juego muy antiguo, y uno de los primeros que fue analizado a fondo por matemáticos profesionales. Se encontró que existe una estrategia generalizada que permite ganar siempre al jugador afortunado que la puede aplicar primero. Pero no la explicaré aquí, para que el juego siga siendo interesante …

Solitario

Este juego se juega a solas. También es conocido con el nombre “senku”. El tablero tiene 33 agujeros en la siguiente forma:

solitaire267

En cada agujero se coloca un palito de fósforo, excepto en el agujero del medio que queda vacío.

Una jugada válida consiste en saltar con un palito sobre un palito vecino y colocarlo inmediatamente detrás del palito vecino en un agujero vacío, y enseguida se quita el palito vecino:

solitaire-salto267

O sea, un palito puede saltar solamente si a su lado se encuentra otro palito (el cual será quitado), y si detrás de ese otro palito hay un agujero vacío. Se puede saltar solamente en dirección horizontal o vertical, pero no diagonal. Ningún otro tipo de jugadas es permitido. Cuando ya no se puede hacer ninguna jugada válida, el juego termina. La meta consiste en saltar y quitar palitos tantas veces como sea posible, o sea hasta que quede un número mínimo de palitos. La solución perfecta (que es difícil de lograr) consiste en dejar un solo palito.

Variaciones: Se puede comenzar con posiciones iniciales distintas, usando menos que 32 palitos. Es una tarea de investigación interesante (pero exigente), descubrir con cuáles posiciones iniciales es posible que al final del juego sobre un solo palito. – Existe también una variación donde el tablero tiene una estructura hexagonal, de manera que se puede saltar en 6 direcciones.

Golf matemático

Este es un juego puramente matemático que se puede jugar sin ningún material, y existen muchas variaciones del mismo. Básicamente se trata de llegar desde un número inicial (normalmente el cero) exactamente hasta un número determinado, aplicando solamente ciertas operaciones prescritas.

La variación más sencilla para niños permite solamente sumar al número actual uno de dos números prescritos; y se puede jugar con regletas Cuisenaire y una cinta métrica pegada en la mesa (o una recta numérica dibujada en una tira larga de papel, con unidades de 1 cm). Por ejemplo, se permite solamente sumar 3 ó 5. Entonces, se juega únicamente con las regletas de las longitudes 3 y 5. Si el “número destino” es 19, entonces gana el jugador que primero alcanza exactamente 19, según las siguientes reglas:

– Jugando por turnos, cada jugador construye por su lado de la cinta métrica una fila ininterrumpida de regletas, comenzando desde el cero.

– Se pueden usar solamente regletas de las longitudes permitidas (3 ó 5, en nuestro ejemplo).

– En cada turno, se puede:
a) aumentar una regleta al final de la fila; o
b) remplazar una regleta de la fila por una regleta de la “otra” longitud (o sea, corregir un error cometido).

– No es permitido colocar una regleta solamente para “probar”. Si un jugador coloca una regleta y entonces no está conforme con su jugada, tiene que esperar el siguiente turno para corregirla.

– Si un jugador sobrepasa el destino (por ejemplo, llega con su fila al 20 en vez del 19), pierde.

– Si el jugador que comenzó el juego llega al destino, y el otro jugador puede enseguida también llegar al destino, ambos ganan.

GolfMatematico

Jugando así, se puede dar el problema de que el segundo jugador “copia” las jugadas del primer jugador, en vez de pensar por sí mismo. Esto se podría evitar haciendo que ambos jueguen simultáneamente (por ejemplo contando “uno, dos, tres” para cada turno), sin poder ver cuál regleta está escogiendo el otro jugador.
– Otra forma de evitar el problema consiste en no dar las mismas regletas a los dos jugadores; pero en este caso tendríamos que asegurar que ambos jugadores puedan llegar al destino con el mismo número de turnos. Por ejemplo, con las regletas de 3 y 5, el número 19 se puede alcanzar con un mínimo de 5 turnos, porque 5+5+3+3+3=19. Usando regletas de 3 y 4, también se puede llegar en 5 turnos, porque 4+4+4+4+3=19. Por tanto, con el 19 como destino, se podría dar a un jugador regletas de 3 y 5, y al otro jugador regletas de 3 y 4; entonces ambos tienen las mismas oportunidades, pero no pueden “copiar” el uno del otro. Esto requiere unos cálculos por parte de un adulto que define con anticipación el “número destino” y las regletas permitidas.

Este juego puede dar lugar a unas investigaciones interesantes. Por ejemplo, ¿se puede calcular de antemano la “solución más corta”? ¿Cómo se puede hacer eso? – ¿Qué pasa si jugamos con regletas de 4 y de 6, y queremos alcanzar el número 21? ¿Por qué sucede eso? – ¿Es posible alcanzar todos los destinos con palitos de 3 y 4? ¿con palitos de 4 y 5? ¿con palitos de 3 y 7? Etc…

Más difícil se vuelve el juego cuando se permiten tres (o más) números diferentes para sumar, pero que son relativamente grandes en comparación con el número destino. Por ejemplo, ¿cómo se puede alcanzar 38 en un mínimo de jugadas con regletas de 7, 9 y 10? ¿o cómo se puede llegar a 100 con los sumandos 13, 19 y 23? – ¿Cuáles son los destinos que no se pueden alcanzar con 7, 9 y 10? – Investigaciones como estas son un entrenamiento excelente en pensamiento matemático; pero la mayoría de los niños tendrán que alcanzar los doce años o más, antes que puedan emprender tales investigaciones con éxito y de manera sistemática.

Lobo y ovejas

Este es un juego para principiantes (niños pequeños) que se puede jugar antes de enseñarles el juego de damas. Como el juego de damas, se juega en un tablero de ajedrez, usando solamente los cuadrados negros. Las fichas avanzan diagonalmente, un paso a la vez. Un jugador es el lobo (una ficha negra en un borde del tablero), el otro jugador tiene cuatro ovejas (cuatro fichas blancas que se colocan en los cuadrados negros del borde opuesto del tablero). Las ovejas pueden solamente ir hacia adelante (diagonalmente); el lobo puede ir hacia adelante y hacia atrás.

lobo-ovejas240

No se puede saltar ni “matar” fichas. El lobo gana si logra llegar al borde opuesto del tablero (donde comenzaron las ovejas). Las ovejas ganan si logran encerrar al lobo, de manera que ya no puede moverse.

Molino

Se juega entre dos jugadores con fichas de damas en un tablero como en el dibujo:

Molino1-420

Un jugador tiene 9 fichas blancas, el otro 9 fichas negras. El juego tiene dos fases: la de colocar fichas, y la de mover fichas.

Primera fase:
Por turnos, cada jugador coloca una de sus fichas en uno de los puntos de intersección (o esquina) del tablero. Cada vez que un jugador logra colocar tres de sus fichas en una misma línea recta del tablero, puede quitar del tablero una ficha del oponente. Las fichas quitadas ya no juegan.

Las tres fichas en una línea se llaman “molino”. Una ficha que pertenece a un molino no puede ser quitada, excepto si todas las fichas del jugador pertenecen a molinos. – Aun si un jugador lograse en un solo turno crear dos molinos simultáneamente, puede quitar una sola ficha del oponente. (Estas reglas valen también para la segunda fase.)

Molino2-420

Segunda fase:
Cuando todas las fichas están colocadas, los jugadores (por turnos) mueven una de sus fichas por un paso; o sea, siguiendo una de las líneas negras hasta el siguiente punto (intersección o esquina). Si con este movimiento el jugador logra formar un molino, puede nuevamente quitar una ficha a su oponente.

Un jugador puede, en movimientos sucesivos, “abrir” y “cerrar” un mismo molino varias veces y quitar una ficha al oponente, cada vez que cierra el molino. Jugadores experimentados logran construir molinos combinados de tal manera que al abrir uno de ellos, con el mismo movimiento cierran otro.

MolinoCombinado-420

Arriba: Negro puede cerrar un molino si este es su turno. Blanco tiene molinos combinados.

Si un jugador tiene solamente tres fichas en el tablero, puede saltar con una de ellas a cualquier punto libre.

Ganador es el que quita todas las fichas de su oponente; o el que logra encerrar a su oponente de manera que ya no puede hacer ningún movimiento.

Variación: El mismo juego se puede jugar con 12 fichas por jugador. En este caso, al tablero se le añaden cuatro líneas diagonales:

Molino1diag-420

Unas variaciones del ajedrez

“Ajedrez con desventaja”: Si un jugador es mucho más experimentado que el otro (por ejemplo cuando un adulto juega con un niño que recién está empezando a aprender), el jugador más experimentado puede comenzar con una o dos figuras menos. Por ejemplo puede jugar sin reina, o con una sola torre y un solo alfil.

“Ajedrez cilíndrico”: Los jugadores se imaginan que el tablero es “enrollado” en forma cilíndrica, de manera que si una figura sale del tablero por el borde izquierdo, vuelve a entrar por el borde derecho, y viceversa. Así por ejemplo, un peón blanco en h4 y un peón negro en a5 podrían matarse mutuamente.

“Ajedrez al revés”: Quien tiene la posibilidad de comer una figura enemiga, tiene que comerla. Ganador es quien se queda primero sin figuras. (En esta variación, el rey se trata como cualquier pieza común: el juego continúa aunque el rey esté muerto.)

 


Vea también:Libros de Matemática Activa

para un aprendizaje sistemático según los principios expuestos en este artículo.

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Matemática en la vida diaria: Primeros pasos

Vea también:Libros de Matemática Activa

para un aprendizaje sistemático según los principios expuestos en este artículo.


La educación en casa permite que los niños aprendan matemática de la manera más natural: en su vida diaria y en los sucesos normales de su entorno familiar. Esto es algo que una escuela no puede brindar, aun si quisiera hacerlo.
Pero antes de mencionar sugerencias prácticas, trataré de dibujar “el cuadro grande”.

Un poco de trasfondo

Los niños escolares y sus profesores conocen generalmente una sola manera de aprender matemática: memorizando fórmulas, procedimientos y definiciones abstractas, y resolviendo una cantidad sumamente exagerada de ejercicios que exigen la aplicación mecánica de estos procedimientos. Pero aquellos matemáticos profesionales que se ocupan de cuestiones educativas – por lo menos en las universidades prestigiosas de los Estados Unidos -, en su mayoría están sumamente descontentos con esta manera de enseñar y aprender matemática. Se quejan de que los alumnos no aprenden a pensar matemáticamente, no se les da suficiente tiempo para procesar mentalmente los principios fundamentales, y se les transmite una noción muy equivocada de lo que “es” la matemática. Aparte de ser burocrático, el método escolar desconecta la matemática de la vida diaria, y así la hace incomprensible e inaplicable para el alumno. Charlotte Iserbyt documenta que esto puede haberse hecho intencionalmente:

“Según el ‘Educador Nacional’, Julio de 1979:
(Testimonio del educador jubilado, O.A.Nelson)
(…) Un cierto Dr.Ziegler me pidió asistir a una reunión educativa especial. (…) Fuimos 13 personas. Dos cosas habían causado que el Dr.Ziegler me invitase: Mi charla acerca de la enseñanza de física funcional en las escuelas secundarias, y el hecho de que yo era miembro de un grupo conocido como los ‘Educadores progresivos de América’. Yo pensaba que la palabra ‘progresivo’ significaba un progreso para escuelas mejores, pero (más tarde me enteré de que) no era otra cosa que un frente comunista. Once de los presentes eran líderes en la educación. Los doctores John Dewey y Edward Thorndike de la Universidad de Columbia estaban allí, y los demás eran de igual influencia. Más tarde averigüé y descubrí que TODOS ellos eran miembros pagados del Partido Comunista ruso. Yo también era clasificado como un miembro del partido, aunque en aquel entonces yo no lo sabía.
¡El único trabajo de ese grupo consistía en destruir nuestras escuelas! Pasamos una hora y cuarenta y cinco minutos hablando acerca de la ‘Matemática Moderna’. En un punto yo les contradije porque su propuesta contenía demasiada memorización; y dije que la matemática es razonar, no memorizar. El Dr.Ziegler se volvió hacia mí y dijo: ‘Nelson, ¡despierta! Eso es lo que queremos … ¡una matemática que los alumnos no podrán aplicar a ninguna situación de la vida después de terminar la escuela!‘ – Esta matemática se introdujo en las escuelas solamente muchísimos años más tarde, porque en aquel entonces pensaban que iba a ser un cambio demasiado radical. (…) Entonces, si los alumnos terminan la secundaria sin saber nada de matemática, no los culpen por ello. Estos resultados son planeados.”
(Charlotte Iserbyt, “The Deliberate Dumbing Down of America”, http://www.deliberatedumbingdown.com)

Así es como la enseñanza escolar de la matemática sigue funcionando hasta hoy – también aquí en el Perú, y supongo que en muchos otros países más. Hace mucho tiempo ya, educadores como María Montessori y Jean Piaget han demostrado que los niños de primaria necesitan experimentar situaciones concretas y manipular materiales concretos para poder razonar correctamente; y que el pensamiento abstracto, en la mayoría de los niños, no despierta hasta la edad de la secundaria. Sin embargo, el sistema escolar obliga a los pequeños a memorizar definiciones abstractas como por ejemplo: “La sustracción es la operación matemática en la cual se sustrae el sustraendo del minuendo, para dar como resultado la diferencia.” – Después tienen que “aplicar” estos términos en ejercicios como: “Si en una sustracción, el minuendo es 76 y la diferencia es 39, ¿cuánto es el sustraendo?” – Con este método, el 99% de los alumnos nunca comprenderán lo que es una sustracción, por más que resuelvan cientos de estos ejercicios. Esto simplemente no corresponde a la manera de pensar de un niño de diez años. Además, con toda probabilidad nunca más va a tener que resolver tales ejercicios en su vida adulta, ni va a tener que usar las palabras “minuendo” y “sustraendo” – excepto si se decide ser profesor(a) de primaria y así perpetuar esta tortura con la siguiente generación de alumnos.

Nota aparte: Tan pronto como la comprensión matemática avanza un poco más, ya no es necesario usar los conceptos de “minuendo” y “sustraendo”, porque ambos son implicados en el concepto de “sumando” – tomando en cuenta que un sumando puede ser tanto positivo como negativo. Esto corresponde a la esencia de la matemática que consiste en generalizar y simplificar, no diversificar y complicar. La buena matemática consiste en expresar todo de la forma más sencilla posible.

Un niño comprenderá mucho mejor lo que es una sustracción, si lo experimenta en diversas situaciones concretas de su vida diaria. Por ejemplo, jugando a los tiros, experimentará que de vez en cuando pierde algunos de sus tiros. O teniendo cierta cantidad de dinero, va a hacer compras y experimenta que su dinero disminuye. O en la cocina hay cierto número de manzanas, y la familia come cinco manzanas, entonces quedan menos manzanas en la cocina. Así puede formarse en la mente del niño el concepto de que “sustraer (o restar) es quitar”. Más tarde se puede formalizar este concepto, usando materiales específicos para la matemática (p.ej. un ábaco, o las regletas Cuisenaire), y haciendo dibujos correspondientes (p.ej. dibujar 12 círculos que representan 12 manzanas, después tachar 5 de ellos para representar que se comieron 5 manzanas). Como último paso, se puede enseñar al niño cómo anotar una sustracción con números. Este es el camino que corresponde a la mente del niño: comenzando con la experiencia concreta (¡una multitud de experiencias!), uno lo puede guiar poco a poco hacia conceptos más abstractos (el principio general de que “restar es quitar”, y su notación matemática). Pero mientras un niño no ha hecho suficientes experiencias concretas, no va a comprender realmente el concepto abstracto.

Los términos técnicos necesarios se pueden introducir de manera natural, conversando juntos en el transcurso de la experiencia práctica. Por ejemplo, tenemos 3 tazas rojas y 5 tazas azules, juntas son 8 tazas – mientras el niño hace esta experiencia, podemos decir: “Entonces la suma de las tazas rojas y azules es ocho.” – O en la tienda venden seis naranjas por un sol; entonces podemos decir (si el niño ya tiene suficiente madurez para entenderlo): “La proporción de naranjas a soles es de seis a uno.”

Iniciar a los niños en la matemática

Los primeros conceptos del pensamiento matemático pueden formarse a una edad temprana, de manera natural, en el transcurso de la vida cotidiana. Cuando papá o mamá realizan los quehaceres de la casa juntos con sus hijos, juegan juntos, o simplemente conversan juntos en el transcurso del día, se presentan numerosas “oportunidades educativas” que incluyen conceptos matemáticos básicos. He aquí unos ejemplos:

El concepto del orden

Dios ha creado un universo ordenado, y de la misma manera nos conviene a nosotros mantener orden en el pequeño “universo” de nuestro hogar. El orden es un elemento importante en la matemática. El niño pequeño que aprende a guardar sus juguetes en la caja de juguetes, está al mismo tiempo aprendiendo un concepto matemático: Aprende a clasificar los objetos en su alrededor según un criterio definido. ¿Pertenece a la caja de juguetes o no? (Varios años más tarde expresará esta relación en los términos de la teoría de los conjuntos.)
Esta misma actividad del “clasificar y ordenar” es esencial en otros trabajos de la vida diaria: al poner la mesa; al guardar los cubiertos y servicios después de lavarlos; al guardar la ropa limpia en el lugar apropiado; al escoger verduras para cocinar; etc. – Más adelante, el niño puede aprender a clasificar objetos según diversos otros criterios: juguetes de madera y de plástico; papas grandes y pequeñas; manzanas verdes, amarillas y rojas; etc.
Igualmente se pueden ordenar objetos según a quién pertenecen: “Este es el pantalón de papá, esta es la media de Rut, esta es la falda de mamá …” – “¿A quíén pertenece este carrito? ¿A quién pertenece este pañuelo?” – Esto a la vez enseña al niño a cuidar sus pertenencias, y a respetar la propiedad ajena.
Al “orden” pertenece también el concepto de la relación entre dos o más objetos. Por ejemplo, existe una relación entre una herramienta y los objetos con los cuales se usa: El martillo se usa para los clavos, el serrucho para la madera, la plancha para la ropa, la aguja con el hilo, etc. – Relaciones similares existen entre objetos que se complementan o se usan juntos: la olla se relaciona con su tapa, el fósforo con su cajita, la llave con la cerradura. Al usar tales objetos en la vida diaria, se puede conversar con el niño acerca de la relación que existe entre estos objetos. Más adelante se le puede mostrar por ejemplo la tapa de una olla y preguntar: ¿A qué pertenece esto?, o mostrar una aguja y preguntar: ¿Con qué se usa esto? Aun un paso más allá consistiría en expresar la pregunta de manera puramente verbal, sin mostrar el objeto: ¿Con qué se usa la llave? – ¿Con qué se usa el pasador? – Esto se puede hacer fácilmente durante las conversaciones entre padres e hijos a lo largo del día.
Otro aspecto del orden es la comparación – por ejemplo del tamaño: ¿Cuál manzana es más grande? – ¿Quién es más alto, papá o mamá? – Se pueden comparar también otras cualidades como el peso, el matiz del color (claro-oscuro), etc. – Los niños pequeños normalmente no pueden comparar más de dos objetos entre sí. Solamente cuando entran a la etapa de las “operaciones concretas” (según Piaget), pueden realizar “seriaciones”, o sea, ordenar una serie de tres, cuatro o más objetos según tamaño, peso, color, etc.

El concepto del espacio

La matemática (particularmente la geometría) tiene que ver también con el ubicarse en el espacio y describir relaciones espaciales: “encima de”, “al lado de”, “delante de”, “dentro de”, etc. Los quehaceres diarios brindan muchas oportunidades para practicar descripciones que hacen uso de estas relaciones espaciales:
– Tráeme la escoba; está detrás de la puerta.
– Por favor, ponme este florero encima de la mesa.
– ¿Dónde está el cucharón? – En el cajón de arriba.
La ubicación en el espacio se facilita también jugando juegos que requieren un desplazamiento en el espacio (juegos de pelota; manejar tríciclo o bicicleta; hasta trepar árboles …), y ubicándose en las calles del vecindario.
La relación “izquierda – derecha” normalmente presenta mayores dificultades. Esto puede ser debido a que la integración entre los hemisferios izquierdo y derecho del cerebro se completa recién entre los siete y los nueve años de edad, en la mayoría de los niños. Por tanto, puede ser que tengamos que conceder a los niños más tiempo para desarrollar su capacidad de distinguir entre “izquierda” y “derecha”. Particularmente difícil es para aquellos niños que usan ambas manos con la misma destreza (o sea, que no desarrollan una preferencia para el uso de la mano derecha, pero tampoco son zurdos), porque ellos no disponen de ninguna manera práctica para distinguir entre sus dos manos. Una vez que se sienten seguros con la lectura y escritura, uno puede ayudarles explicándoles que el lado de la página donde comenzamos con leer o escribir, es siempre el lado izquierdo.
Una dificultad particular ocurre cuando la relación “izquierda – derecha” implica un cambio de la perspectiva: Cuando estamos frente a una cómoda o un escritorio, llamamos “cajón derecho” al cajón que está a mi mano derecha. Sin embargo, cuando estamos frente a una persona, su mano derecha está donde está mi mano izquierda. Esto parece paradójico a muchos niños, y necesitan bastante tiempo (¡y experiencias concretas!) para comprenderlo. Nuevamente, este aprendizaje sucede de la manera más natural en la vida cotidiana, mediante situaciones que involucran esta relación de “izquierda – derecha”.

El concepto del número

En la vida diaria hay muchas oportunidades para contar objetos: Frutas (p.ej. una para cada miembro de la familia), juguetes (tengo uno, dos, tres, cuatro tiros), platos (¿cuántos tenemos que poner en la mesa?), etc. Si aprovechamos estas oportunidades para contar objetos con nuestros hijos, pronto entenderán el concepto del número y aprenderán a contar ellos mismos. (El concepto del número lo entienden cuando se dan cuenta de que “uno”, “dos”, “tres” no son nombres de determinados objetos, sino que se usan para señalar la misma cantidad de objetos cualesquieras.) Entonces no hay necesidad de hacer repetir a los niños como loros: “Uno, dos, tres, cuatro, cinco…” – así los niños pensarán que se trata solamente de palabras y sonidos sin sentido. Debemos darles la experiencia de que los números se asocian a cantidades de objetos reales y concretos – sean papas, nuestros dedos, o aun los cuadrados en el diseño del mantel de la mesa.
Normalmente, el niño aprende a contar y a entender números, mucho antes de que aprende a leer y escribir números. Lo último es un acto bastante abstracto y vendrá varios años más tarde, si permitimos al niño desarrollarse de manera natural.

El concepto de medir

Muchas veces en nuestro quehacer diario necesitamos medir longitudes, pesos, tiempos, etc. Cada vez que realizamos una medición, hacemos matemática. – El concepto de “medida” es bastante más avanzado que el contar, y los niños normalmente no lo entienden hasta que son capaces también de escribir y leer números. Por tanto, trataremos de este tema en la parte siguiente.
Al tratar con niños pequeños, debemos tener en cuenta que ellos todavía no pueden imaginarse nada concreto cuando hablamos de “un metro”, “un litro” o “una hora”. Tenemos que encontrar maneras más concretas de describir medidas para niños pequeños: “desde aquí hasta allí” (señalando con la mano); “tanto tiempo como necesitas para caminar hasta el mercado”; “esta botella llena”; etc.

(Continuará)


Vea también:Libros de Matemática Activa

para un aprendizaje sistemático según los principios expuestos en este artículo.

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Sugerencia para una olimpiada de matemática que realmente incentive el pensamiento matemático

En la primera parte de este artículo expliqué por qué las “olimpiadas de matemática” no incentivan mucho el pensamiento matemático. En cambio, incentivan otras capacidades que no tienen mucho que ver con pensar matemáticamente: Memorizar una gran cantidad de fórmulas y datos matemáticos; y resolver ejercicios prescritos en un mínimo de tiempo (lo cual induce una forma de pensar superficial).

El verdadero pensamiento matemático consiste en encontrar soluciones nuevas y creativas para un problema que uno nunca antes ha encontrado. Y como vimos en la parte anterior, esto requiere tiempo. Entonces, una olimpiada matemática que realmente incentive el pensamiento matemático, no puede consistir en un examen que debe resolverse dentro de un tiempo muy limitado. Consistiría en un problema novedoso, y se debe dar mucho tiempo para resolverlo. Además, no se calificaría simplemente la solución final. Se calificaría el razonamiento que el estudiante empleó para llegar a la solución. O sea, el estudiante debe ser capaz de explicar de manera lógica y coherente, cómo llegó a la solución.

Esto es lo que se hace también en la matemática profesional. No es suficiente que un matemático presente una solución a un problema, o que establezca un nuevo teorema. El matemático tiene que explicar lógicamente cómo llegó a la solución, y tiene que demostrar de manera convincente que su solución o teorema es correcto. Y los matemáticos profesionales no hacen esto en sesiones con límite de tiempo, donde tienen que entregar su respuesta dentro de noventa minutos. No, ellos demoran semanas, meses, a veces hasta años reflexionando acerca del mismo problema, intentando las más diversas maneras de resolverlo, hasta que finalmente encuentren una solución.

Ahora, yo no sé si alguna vez estaré en la situación de organizar un concurso de matemática. Pero quién sabe si algún día algún lector de este blog tenga esta oportunidad. Para este caso, presento aquí mi sugerencia.

Una olimpiada de matemática que realmente incentive el pensamiento matemático, requerirá la entrega de un trabajo escrito acerca de un problema matemático novedoso, inusual, de una clase que no figure dentro de los currículos escolares; de preferencia un problema que permita una multitud de soluciones posibles. Para la elaboración de este trabajo se debe dar suficiente tiempo – por lo menos un mes a partir del momento en que se conoce el tema. Como tema se pueden dar varios problemas para elegir entre ellos, o se puede dar libertad para que el estudiante proponga un tema propio. En su trabajo escrito, el estudiante presentará no solamente su solución del problema. Explicará también detalladamente los pasos que lo llevaron a su solución, y dará una demostración lógica de que su solución es correcta. Este trabajo escrito tendrá entonces un formato comparable con un ensayo o una tesis académica.

Entre los trabajos entregados, se seleccionarán los mejores para que participen en una sustentación pública. Los autores de estos trabajos expondrán ante un jurado el contenido de su trabajo y responderán a preguntas del jurado (y puede que aun del público), para demostrar su dominio del tema. Serán premiados los estudiantes que presenten el razonamiento más lógico y coherente, y las soluciones más ingeniosas y novedosas, tomando en cuenta también la dificultad del problema.

Hasta se podría publicar un libro con los mejores trabajos de un tal concurso.

Por supuesto que esta forma de concurso de matemática impone mayores exigencias al jurado. El jurado tiene que integrarse por personas que sepan pensar matemáticamente ellos mismos – y muchos profesores de matemática no cumplen con este requisito. (¿Será por eso que no se organizan olimpiadas matemáticas de esta forma?) También tendrán que invertir más tiempo en la calificación, y en la preparación de preguntas para la sustentación. No podrán maquinalmente asignar puntos a un examen de selección múltiple. Pero la recompensa consistirá en un nivel más elevado de pensamiento matemático por parte de los participantes.
Y, de paso sea dicho: No se generaría el trabajo administrativo excesivo de tener que calificar miles de trabajos de estudiantes que sacarán “cero puntos” como en las olimpiadas convencionales; porque estos estudiantes de “cero puntos”, si no entienden el tema, ya se darán cuenta de ello en el proceso de escribir su trabajo, y se retirarán del concurso. Pero quizás ¿esta es otra razón por la cual no se organizan olimpiadas matemáticas de esta forma – porque los muchos participantes con “cero puntos” generan ingresos adicionales para los organizadores? De ser cierto, esto comprobaría que el dinero les importa más que el incentivar el pensamiento matemático…

Uno podría decir que la calificación de tales trabajos y sustentaciones puede ser subjetiva. Sí, existe cierto elemento subjetivo en esto. Al igual como en las calificaciones de tesis y sustentaciones en toda universidad. Y en una universidad, esto tiene aun mayores consecuencias: El participante de una olimpiada de matemática recibe solamente un premio para esta única oportunidad; pero el estudiante que sustenta su tesis en la universidad, gana o pierde la aprobación de su carrera entera. Sin embargo, ninguna universidad renunciaría por ello a este proceso “subjetivo” de calificar tesis y sustentaciones. Mas bien se esfuerzan por hacer el proceso lo más objetivo posible. Es que los educadores universitarios saben que esta es una de las mejores maneras de incentivar el pensamiento independiente del estudiante, y su capacidad de investigación. Entonces no hay razón para no hacer lo mismo con estudiantes de niveles inferiores que quieren destacar en el pensamiento matemático. Si las universidades logran calificar a sus estudiantes de manera justa con este sistema, los organizadores de una olimpiada de matemática lo pueden lograr también.

Daré unos ejemplos de problemas apropiados para esta clase de olimpiadas matemáticas:


1. Investiga las propiedades de sucesiones aritméticas de números primos, tales como:

11, 41, 71, 101, 131

(131 es el último miembro de esta sucesión, porque 161 ya no es primo.)
En particular:
– Investiga y describe cómo se pueden encontrar tales sucesiones de longitud máxima con valores numéricos mínimos.
– Demuestra o refuta la hipótesis: Existen sucesiones aritméticas de números primos de longitudes arbitrariamente largas.
– Describe y fundamenta cualquier otra propiedad de tales sucesiones que encuentres.


2. Investiga diversas clases de ecuaciones diofantinas* de segundo grado, tales como:

ax + b = y2
ax + by = xy
x
2 + y2 = z2

etc. (donde a, b representan números conocidos; x, y, z son incógnitas.)
Analiza casos especiales; busca también soluciones generalizadas donde fuera posible. Toma en cuenta que una ecuación diofantina por lo general tiene múltiples soluciones.
* “Ecuaciones diofantinas” son ecuaciones que deben resolverse de tal manera que las incógnitas representen números naturales.

(Note que la tarea anterior es intencionalmente formulada de manera abierta: Se dan algunos ejemplos de formas que puede asumir una ecuación diofantina de segundo grado, pero el “etc.” incentiva al estudiante a ampliar el tema con formas adicionales de su propia creación.)


3. Propón una forma de construir un reloj solar que indique no solamente las horas del día, sino también los días del año; y que pueda funcionar en distintas latitudes geográficas. Presenta un diseño, y fundamenta tu solución geométricamente.


4. (Para alumnos de grados inferiores):
Investiga el juego de “Michi”:
– ¿Cuál es la mejor jugada para el primer jugador?
– Para cada jugada posible del primer jugador, ¿cuál es la mejor jugada para el segundo jugador?
– ¿Cómo terminará un juego de “Michi” donde ambos jugadores juegan de manera óptima, o sea, eligiendo siempre la mejor jugada posible?
Fundamenta tus respuestas lógicamente. Describe cualquier otra propiedad interesante que descubras acerca de este juego.


Problemas como estos no figuran en los libros escolares, ni en las olimpiadas matemáticas convencionales. Son problemas que requieren una investigación profunda y prolongada, y que no tienen una “única solución” que se podría marcar en un cuadro de selección múltiple. Y es exactamente por estas características, que tales problemas incentivan el pensamiento matemático mucho más que las tareas convencionales.

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Por qué Einstein no hubiera ganado la olimpiada de matemática

Parece que las olimpiadas de matemática están de moda. Cada país, cada ciudad, cada escuela que se siente orgullosa de su existencia, quiere organizar una. Y todos los alumnos quieren participar – y los que no quieren participar, son obligados a ello por sus profesores o por sus padres. Aun los que desde un inicio no tienen posibilidades de ganar. Por eso, las listas de resultados de tales olimpiadas suelen llevar una larga cola de nombres que figuran con cero puntos.

La creencia general es que tales olimpiadas incentiven el pensamiento matemático en los alumnos. Pero, ¿es realmente “pensamiento matemático” lo que se necesita para ganar una olimpiada de matemática?

Primeramente, la gran mayoría de participantes que sacan cero puntos, no se han beneficiado en nada. No han aprendido nada, ni antes ni durante el evento, porque obviamente las tareas están por encima de su comprensión. Solamente se llevan una mala experiencia, y lo más probable es que pierdan la motivación por la matemática.

Ahora, los que sí tienen el potencial de sacar un buen puntaje, ¿qué capacidades han entrenado por medio de un tal evento?

Las tareas que se dan en las olimpiadas de matemática, normalmente requieren el conocimiento de una sola propiedad matemática, una fórmula, una sola “idea feliz”, para resolverla en el tiempo más breve posible. (En casos excepcionales se requiere una combinación específica de dos o tres propiedades matemáticas.) Y los límites de tiempo en estas olimpiadas son muy estrechos: Si uno quiere resolver todo, puede invertir ni siquiera cinco minutos para cada tarea. – Entonces, aquellos participantes que se quedan atrás, normalmente se ven limitados por estos dos factores: Memoria y tiempo.

El factor “memoria”: Los que no logran ganar, no han podido meter en sus cabezas una cantidad tan enorme de fórmulas y datos matemáticos como los ganadores. Con lo que tienen presente en su memoria, podrían encontrar las soluciones de algunas tareas, pero probablemente por un camino un poco más difícil, un poco más lento. Los ganadores, en cambio, pueden recurrir a su memoria y sacar de allí una fórmula memorizada que “dispara” la tarea de un solo golpe.

El factor “tiempo”: Los que resuelven las tareas por un camino un poco más lento, no pueden terminar todas las tareas en el tiempo asignado. Entonces se quedan con un bajo puntaje, no porque no hubieran entendido la tarea, ni porque fueran incapaces de resolverla, sino solamente porque no les queda tiempo para hacerlo.

Pero estos dos factores, memoria y tiempo, tienen muy poco que ver con pensamiento matemático. Memorizar una gran cantidad de fórmulas todavía no es pensar matemáticamente. Resolver un gran número de tareas en tiempo mínimo tampoco es pensar matemáticamente.

El gran científico Albert Einstein, cuando era niño, era “atrasado” en su desarrollo. No sabía hablar hasta los cuatro años de edad, y hasta los nueve años tenía problemas del habla. Sus profesores lo describieron como un alumno de comprensión lenta. Mucho más tarde dijo acerca de su descubrimiento de la teoría de la relatividad: “Un adulto ordinario nunca se preocupa por los problemas del espacio y del tiempo. El considera estos pensamientos como cosas de niños. Pero yo me desarrollé tan lentamente que empecé a curiosear acerca del espacio y del tiempo recién cuando ya era adulto. En consecuencia, me introduje más profundamente en este problema de lo que un niño ordinario hubiera hecho.”

Einstein, de niño o joven, probablemente no hubiera ganado ninguna olimpiada de matemática. El no era un niño precoz como lo son los ganadores de estas olimpiadas. Y puesto que él necesitaba tiempo para pensar profundamente acerca de los problemas, se hubiera estrellado contra los límites de tiempo.

Pero si él no hubiera tomado más tiempo que las personas ordinarias, para pensar acerca de los problemas del espacio y del tiempo, entonces nunca hubiera descubierto la teoría de la relatividad. En cambio el pensamiento apresurado, bajo presión del tiempo, es una forma superficial de pensar. Por tanto, las olimpiadas de matemática no fomentan el verdadero pensamiento matemático. Solo fomentan un pensamiento superficial que busca soluciones rápidas para problemas poco profundos. Los ganadores de olimpiadas matemáticas raramente son los mejores matemáticos.

Keith Devlin, profesor de matemática en la universidad de Stanford, dice:

“Nosotros los matemáticos profesionales nos desesperamos por los sistemas escolares que imponen estrechos límites de tiempo sobre los exámenes de matemática, y obligan a trabajar rápidamente. La verdadera matemática requiere tiempo.

Y también: “Pensar matemáticamente no es lo mismo como hacer matemática – por lo menos no de la manera como nuestro sistema escolar normalmente presenta la matemática. (…) La clave para el éxito en la matemática escolar consiste en pensar como el profesor quiere que pienses. En contraste, una característica clave del pensamiento matemático es pensar en contra del pensamiento convencional.

Y el matemático Paul Lockhart dijo:

“Los alumnos aprenden de sus profesores lo que (supuestamente) es la matemática, y éstos a su vez lo aprendieron de sus profesores, y así se repite en cada generación esta falta de comprensión y valoración de la matemática. Aun peor: Esta “seudo-matemática”, este énfasis en la manipulación correcta (pero sin sentido) de símbolos, crea su propia cultura y sus propios valores (equivocados). Aquellos que la dominan, se vuelven presumidos. No quieren saber nada de que la matemática es creatividad y estética. A muchos alumnos, sus profesores les dijeron durante diez años que eran “buenos en matemática”; pero cuando llegaron a la universidad, se decepcionaron al descubrir que no tenían ningún talento matemático. Solamente habían sido “buenos” en seguir las órdenes de otras personas. Pero la matemática no trata de seguir las órdenes de otra gente. Se trata de descubrir direcciones nuevas.

Por tanto, en una segunda parte trazaré algunas sugerencias de cómo podría organizarse un concurso de matemática que realmente fomente el pensamiento matemático.

(Continuará)

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